2021年江苏省苏州市吴中区中考数学一模试卷
一、选择题〔本大题共有10小题，每题3分，共30分．在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕 1．2的相反数是〔 〕 A．﹣2 B．﹣ C．2 2．实数
D．
的值在〔 〕
B．1和2之间
C．2和3之间
D．3和4之间
A．0和1之间
3．年初，工信部官网发布了2021年通信运营业统计公报，数据显示，2021年，4G用户数呈爆发式增长，全年新增3.4亿户，总数到达770 000 000亿户，将770 000 000用科学记数法表示应为〔 〕 ×109×107 ×108×109
4．把xy﹣y分解因式，正确的选项是〔 〕 A．y〔x2﹣1〕 5．函数y=
B．y〔x+1〕 C．y〔x﹣1〕 中，x的取值范围是〔 〕
D．y〔x+1〕〔x﹣1〕
2
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2
6．一组数据：10，15，10，17，18，20．对于这组数据，以下说法错误的选项是〔 〕 A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是7．如图，斜面AC的坡度〔CD与AD的比〕为1：2，AC=3
米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端
B点与A点有一条彩带相连．假设AB=10米，那么旗杆BC的高度为〔 〕
A．5米 B．6米 C．8米 D．〔3+〕米
8．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，那么阴影局部面积为〔结果保存π〕〔 〕
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.
A．16 B．24﹣4π C．32﹣4π D．32﹣8π
9．二次函数y=ax+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，以下说法： ①2a+b=0；
②当﹣1≤x≤3时，y＜0；
③假设〔x1，y1〕、〔x2，y2〕在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2 ④9a+3b+c=0
其中正确的选项是〔 〕
2
A．①②④ B．①②③ C．①④ D．③④ 10．如图，矩形ABCD中，AB=长交DC于F，那么
，BC=
，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延
等于〔 〕
A．
B． C． D．
二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卷相对应的位置上．〕 11．计算：a2•a3= ．
12．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于A、B两点，假设∠1=70°，那么∠2= ．
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13．某校九年级数学兴趣小组的同学调查了假设干名家长对“初中学生带手机上学〞现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，那么表示“无所谓〞的家长人数为 ．
14．假设2a﹣3b=5，那么6﹣2a+3b= ．
15．如图，▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，假设BF=6，AB=5，那么AE的长为 ．
22
16．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△ 0〔填：“＞〞或“=〞或“＜〞〕．
17．如图，二次函数Y=﹣x2﹣x+2象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D〔m，n〕是抛物线在第二象限的局部上的一动点，那么四边形OCDA的面积的最大值是 ．
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18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO
绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，假设点B的坐标为〔2，0〕，那么点C的坐标为 ．
三、解答题〔本大题共10题，共76分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕 19．计算：
﹣
+|﹣5|．
20．解不等式组．
21．先化简，再求值：〔﹣x+1〕÷，其中x=﹣2．
22．本学期开学前夕，苏州某文具店用4000元购进假设干书包，很快售完，接着又用4500元购进第二批书包，第二批所购进书包的只数是第一批所购进书包的只数的1.5倍，且每只书包的进价比第一批的进价少5元，求第一批书包每只的进价是多少？
23．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全一样，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
〔1〕请用列表或树状图的方法〔只选其中一种〕，表示出两次所得数字可能出现的所有结果； 〔2〕求出两个数字之积能被2整除的概率．
24．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE． 〔1〕求证：△ACD≌△BCE； 〔2〕假设∠D=53°，求∠B的度数．
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25．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y=〔k为常数，且k≠0〕的图象交于A〔1，a〕，B两点．
〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；
〔2〕在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
26．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB=∠AEC，AE与BC交于F． 〔1〕判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明； 〔2〕当⊙O的半径是5，BF=2
，EF=
时，求CE及BH的长．
27．如图，抛物线y=x2﹣bx+c过点B〔3，0〕，C〔0，﹣3〕，D为抛物线的顶点． 〔1〕求抛物线的解析式以及顶点坐标；
〔2〕点C关于抛物线y=x﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求∠CBE的正切值； 〔3〕在〔2〕的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使△DMB和△BCE相似？假设存在，求点M坐标；假设不存在，请说明理由．
2
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28．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点Q从点A出发，沿着AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着对角线BD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒〔0＜t≤5〕，以P为圆心，PB长为半径的⊙P与BD、AB的另一个交点分别为E、F，连结EF、QE． 〔1〕填空：FB= 〔用t的代数式表示〕； 〔2〕当t为何值时，点Q与点F相遇？
〔3〕当线段QE与⊙P有两个公共点时，求t的取值范围．
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2021年江苏省苏州市吴中区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共有10小题，每题3分，共30分．在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕 1．2的相反数是〔 〕 A．﹣2 B．﹣ C．2 【考点】14：相反数．
【分析】依据相反数的定义求解即可． 【解答】解：2的相反数是﹣2． 应选：A． 2．实数
的值在〔 〕
B．1和2之间
C．2和3之间
D．3和4之间
D．
A．0和1之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
【分析】直接利用估算无理数大小，正确得出【解答】解：∵1＜∴实数
＜2，
接近的有理数，进而得出答案．
的值在：1和2之间．
应选：B．
3．年初，工信部官网发布了2021年通信运营业统计公报，数据显示，2021年，4G用户数呈爆发式增长，全年新增3.4亿户，总数到达770 000 000亿户，将770 000 000用科学记数法表示应为〔 〕 ×109×107 ×108×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
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×10， 应选：C．
4．把x2y﹣y分解因式，正确的选项是〔 〕 A．y〔x2﹣1〕
B．y〔x+1〕 C．y〔x﹣1〕
D．y〔x+1〕〔x﹣1〕
8
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式y，然后利用平方差公式进展分解． 【解答】解：原式=y〔x﹣1〕=y〔x+1〕〔x﹣1〕． 应选：D． 5．函数y=
中，x的取值范围是〔 〕
2
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣2 【考点】62：分式有意义的条件．
【分析】由分式有意义的条件得出不等式，解不等式即可． 【解答】解：根据题意得：x+2≠0， 解得x≠﹣2． 应选：D．
6．一组数据：10，15，10，17，18，20．对于这组数据，以下说法错误的选项是〔 〕 A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是
【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的概念分别对每一项进展分析，即可得出答案． 【解答】解：A、这组数据的平均数是：
B、∵10出现了2次，出现的次数最多，∴众数是10，正确； C、把这些数从小到大排列为10，10，15，17，18，20，那么中位数是项错误；
D、这组数据的方差是： [2×〔10﹣15〕2+〔15﹣15〕2+〔17﹣15〕2+〔18﹣15〕2+〔20
=16，故本选
=15，正确；
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﹣15〕]=应选C．
2
，正确；
7．如图，斜面AC的坡度〔CD与AD的比〕为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端
B点与A点有一条彩带相连．假设AB=10米，那么旗杆BC的高度为〔 〕
A．5米 B．6米 C．8米 D．〔3+〕米
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】设CD=x，那么AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长． 【解答】解：设CD=x，那么AD=2x， 由勾股定理可得，AC=∵AC=3∴
x=3
米， ，
=
x，
∴x=3米， ∴CD=3米， ∴AD=2×3=6米， 在Rt△ABD中，BD=∴BC=8﹣3=5米． 应选A．
8．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，那么阴影局部面积为〔结果保存π〕〔 〕
=8米，
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A．16 B．24﹣4π C．32﹣4π D．32﹣8π 【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以得出结论．
【解答】解：连接AD，OD， ∵等腰直角△ABC中， ∴∠ABD=45°． ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形， ∴
=
．
=
，S
阴影
=S△ABC﹣S△ABD﹣S
弓形AD
由此可
∵AB=8， ∴AD=BD=4
，
∴S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD =S△ABC﹣S△ABD﹣〔S扇形AOD﹣S△ABD〕 =×8×8﹣×4=24﹣4π． 应选B．
×4
﹣
+××4
×4
=16﹣4π+8
9．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，以下说法：
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①2a+b=0；
②当﹣1≤x≤3时，y＜0；
③假设〔x1，y1〕、〔x2，y2〕在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2 ④9a+3b+c=0
其中正确的选项是〔 〕
A．①②④ B．①②③ C．①④ D．③④
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由抛物线与x轴的两交点坐标可求出抛物线的对称轴为x=1，进而即可得出2a+b=0，①符合题意；②结合图形即可得出当﹣1≤x≤3时，y≤0，②不符合题意；③根据二次函数的性质找出：当x≤1时，y值随x的增大而减小，进而即可得出③不符合题意；④由〔3，0〕在抛物线上，代入后即可得出9a+3b+c=0，④符合题意．综上即可得出结论．〔只需分析①②利用排除法即可得出结论〕
【解答】解：①∵抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕、〔3，0〕， ∴抛物线的对称轴为x=﹣
=1，
∴b=﹣2a，即2a+b=0，①符合题意；
②∵抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕、〔3，0〕，且抛物线开口向上， ∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，②不符合题意； ③∵抛物线的对称轴为x=1，且开口向上， ∴当x≤1时，y值随x的增大而减小， ∴当x1＜x2≤1时，y1＞y2，③不符合题意； ④当x=3时，y=9a+3b+c=0， ∴9a+3b+c=0，④符合题意． 应选C．
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10．如图，矩形ABCD中，AB=长交DC于F，那么
，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延
等于〔 〕
A． B． C． D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．
【分析】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF，计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，又AB=∴BD=∵BE=1.8， ∴DE=3﹣1.8=1.2， ∵AB∥CD， ∴
=
，即
=，
，
， =3，
，BC=
，
解得，DF=
那么CF=CD﹣DF=
∴==，
应选A．
二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卷相对应的位置上．〕 11．计算：a2•a3= a5 ． 【考点】46：同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
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.
【解答】解：a•a=a=a． 故答案为：a．
12．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于A、B两点，假设∠1=70°，那么∠2= 110° ．
5
232+35
【考点】JA：平行线的性质；J2：对顶角、邻补角．
【分析】根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°，即可求出答案． 【解答】解：如下图，∵直线l1∥l2，∠1=70°， ∴∠3=∠1=70°， ∴∠2=180°﹣∠3=110°， 故答案为：110°．
13．某校九年级数学兴趣小组的同学调查了假设干名家长对“初中学生带手机上学〞现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，那么表示“无所谓〞的家长人数为 40 ．
【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．
【分析】根据赞同的人数和所占的百分比求出承受这次调查的家长人数；再根据表示“无所
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谓〞的家长所占的百分比和总人数，求出表示“无所谓〞的家长人数即可． 【解答】解：由条形统计图和扇形统计图可知，赞同的人数是50人，占25%， ∴承受这次调查的家长人数为50÷25%=200人， ∵200×20%=40，
∴表示“无所谓〞的家长人数为40人． 故答案为：40．
14．假设2a﹣3b=5，那么6﹣2a+3b= 1 ． 【考点】33：代数式求值．
【分析】将2a﹣3b2=5代入原式即可求出答案． 【解答】解：当2a﹣3b2=5时， ∴原式=6﹣〔2a﹣3b2〕 =1
故答案为：1
15．如图，▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，假设BF=6，AB=5，那么AE的长为 8 ．
2
2
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】由根本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，那么根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图， ∵AB=AF，AO平分∠BAD， ∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3， ∵四边形ABCD为平行四边形，
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.
∴AF∥BE， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AB=EB， 而BO⊥AE， ∴AO=OE， 在Rt△AOB中，AO=∴AE=2AO=8． 故答案为：8．
=4，
16．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△ ＞ 0〔填：“＞〞或“=〞或“＜〞〕．
【考点】AA：根的判别式；F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】先利用一次函数的性质得到k＞0，b＜0，再计算判别式的值得到△=﹣4kb，于是可判断△＞0．
【解答】解：∵次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限， ∴k＞0，b＜0，
∴△=〔﹣2〕2﹣4〔kb+1〕=﹣4kb＞0． 故答案为＞．
17．如图，二次函数Y=﹣x2﹣x+2象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D〔m，
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n〕是抛物线在第二象限的局部上的一动点，那么四边形OCDA的面积的最大值是 8 ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H7：二次函数的最值．
【分析】根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况． 【解答】解：在y=﹣x2﹣x+2中，当x=0时，y=2， ∴C〔0，2〕，
当y=0时，有﹣x﹣x+2=0，解得：x=﹣4或x=1， ∴点A〔﹣4，0〕、B〔1，0〕，
2
∵点D〔m，n〕是抛物线在第二象限的局部上的一动点， ∴D〔m，﹣m2﹣m+2〕，
过点D作DH⊥x轴于点H，那么DH=﹣m﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m， ∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S=〔m+4〕×〔﹣m2﹣m+2〕+〔﹣m2﹣m+2+2〕×〔﹣m〕， =﹣m2﹣4m+4
=﹣〔m+2〕2+8，〔﹣4＜m＜0〕；
那么m=﹣2时，S取得最大值，最大值为8， 故答案为：8．
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2
.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=
x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO
绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，假设点B的坐标为〔2，0〕，那么点C的坐标为 〔﹣1，〕 ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】在RT△AOB中，求出AO的长，根据旋转的性质可得AO=CD=4、OB=BD、△OBD是等边三角形，进而可得RT△COE中∠COE=60°、CO=2，由三角函数可得OE、CE． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵OB=2，AB⊥x轴，点A在直线y=∴AB=2
，OA=
=4， =
x上，
∴RT△ABO中，tan∠AOB=∴∠AOB=60°，
，
又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到， ∴∠D=∠AOB=∠OBD=60°，AO=CD=4， ∴△OBD是等边三角形， ∴DO=OB=2，∠DOB=∠COE=60°， ∴CO=CD﹣DO=2，
在RT△COE中，OE=CO•cos∠COE=2×=1，
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CE=CO•sin∠COE=2×∴点C的坐标为〔﹣1，故答案为：〔﹣1，
=， 〕，
〕．
三、解答题〔本大题共10题，共76分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕 19．计算：
﹣
+|﹣5|．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：=3﹣1+5 =7
20．解不等式组
．
﹣
+|﹣5|
﹣
+|﹣5|
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共局部即可． 【解答】解：解①得x≥10； 解②得x＜1； 所以，原不等式无解．
21．先化简，再求值：〔
﹣x+1〕÷
，其中x=
﹣2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x的值即可求解． 【解答】解：原式=[
﹣
]•
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==当x=原式=
，
•
﹣2时，
=
=2
．
22．本学期开学前夕，苏州某文具店用4000元购进假设干书包，很快售完，接着又用4500元购进第二批书包，第二批所购进书包的只数是第一批所购进书包的只数的1.5倍，且每只书包的进价比第一批的进价少5元，求第一批书包每只的进价是多少？ 【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】设第一批书包每只是x元，那么第一批进的数量是：
，第二批进的数量是：
，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5可得方程． 【解答】解：设第一批书包每只是x元， 依题意得：解得x=20．
经检验x=20是原方程的解，且符合题意． 答：第一批书包每只的进价是20元．
23．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全一样，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
〔1〕请用列表或树状图的方法〔只选其中一种〕，表示出两次所得数字可能出现的所有结果； 〔2〕求出两个数字之积能被2整除的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】〔1〕首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
〔2〕画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：〔1〕画树状图为：
×1.5=
，
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〔2〕由树状图可知，共有6种等可能的结果数，其中两个数字之积能被2整除的结果数为4，
所以两个数字之积能被2整除的概率为=．
24．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE． 〔1〕求证：△ACD≌△BCE； 〔2〕假设∠D=53°，求∠B的度数．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCE，由C是线段AB的中点，得到AC=BC．根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
〔2〕根据平角的定义得到∠ACD=∠DCE=∠BCE=60°，根据全等三角形的性质得到∠E=∠D=53°，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】〔1〕证明：∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=∠DCE， ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE=∠BCE， ∴∠ACD=∠BCE， ∵C是线段AB的中点， ∴AC=BC．
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.
在△ACD与△BCE中∴△ACD≌△BCE；
〔2〕解：∵∠ACD=∠DCE=∠BCE=∵△ACD≌△BCE， ∴∠E=∠D=53°，
∴∠B=180°﹣60°﹣53°=67°．
，
180°=60°，
25．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y=〔k为常数，且k≠0〕的图象交于A〔1，a〕，B两点．
〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；
〔2〕在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；PA：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】〔1〕将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；
〔2〕作B点关于x轴的对称点B′〔2，﹣1〕，连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标． 【解答】解：〔1〕∵点A〔1，a〕在一次函数y=﹣x+3的图象上， ∴a=﹣1+3=2， ∴点A〔1，2〕．
∵点A〔1，2〕在反比例y=〔k为常数，且k≠0〕的图象上，
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.
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为y=．
联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：
，解得：
∴点B〔2，1〕．
〔2〕作B点关于x轴的对称点B′〔2，﹣1〕，连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如下图． ∵点B、B′关于x轴对称， ∴PB=PB′．
∵点A、P、B′三点共线， ∴此时PA+PB取最小值．
设直线AB′的函数表达式为y=mx+n〔m≠0〕， 将A〔1，2〕、B〔2，﹣1〕代入y=mx+n，
，解得：
， ，
，
∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5． 当y=﹣3x+5=0时，x=，
∴满足条件的点P的坐标为〔，0〕．
26．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB=∠AEC，AE与BC交于F． 〔1〕判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
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〔2〕当⊙O的半径是5，BF=2，EF=时，求CE及BH的长．
【考点】MB：直线与圆的位置关系；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】〔1〕由同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由∠ODB=∠AEC，等量代换得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，等量代换得到∠OBD为直角，即可得到BD是圆O的切线；
〔2〕证明△CEF∽△ABF，得出对应边成比例求出CE，由勾股定理求出BE和AE，得出AF，求出CF，得出BC的长，由垂径定理得出BH的长． 【解答】解：〔1〕BD是⊙O的切线；理由如下： ∵∠AEC与∠ABC都对∴∠AEC=∠ABC， ∵∠ODB=∠AEC， ∴∠ABC=∠ODB，
在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线；
〔2〕∵∠A=∠C，∠ABF=∠CEF， ∴△CEF∽△ABF， ∴
=
，即
，
，
解得：CE=；
连接BE，如下图： ∵AB是⊙O的直径，
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.
∴∠AEB=90°， ∴BE=∴AE=∴AF=AE﹣EF=
==﹣
， ， =
，
∴=，
解得：CF=∴BC=BF+CF=∵OE⊥BC， ∴BH=CH=BC=
，
，
．
27．如图，抛物线y=x2﹣bx+c过点B〔3，0〕，C〔0，﹣3〕，D为抛物线的顶点． 〔1〕求抛物线的解析式以及顶点坐标；
〔2〕点C关于抛物线y=x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求∠CBE的正切值； 〔3〕在〔2〕的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使△DMB和△BCE相似？假设存在，求点M坐标；假设不存在，请说明理由．
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【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】〔1〕设抛物线的解析式为y=〔x+3〕〔x+n〕，将点C的坐标代入可求得n的值，那么可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
〔2〕过点E作ED⊥BC，垂足为D．由题意可得到△OBC和△CDE均为等腰直角三角形，然后求得CE、BC、DE的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可； 〔3〕先证明tan∠FDB=tan∠CBE，从而得到∠FDB=∠CBE，当时，△DMB和△BCE相似．
【解答】解：〔1〕设抛物线的解析式为y=〔x+3〕〔x+n〕，将点C的坐标代入得：3n=﹣3，解得n=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=〔x+3〕〔x﹣1〕即y=x2﹣2x﹣3． ∵y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4， ∴D〔1，﹣4〕．
〔2〕如图1所示：过点E作ED⊥BC，垂足为D．
=
或当∠BMD=∠BCE=45°
∵B〔3，0〕，C〔0，﹣3〕， ∴OC=OB=3．
∴∠OCB=∠OBC=45°，BC=3
∵点E与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴CE⊥OC， ∴∠DCE=45°． ∵ED⊥CD，
∴△DEB为等腰直角三角形． ∵y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4，
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∴抛物线的对称轴为x=1． ∴CE=2． ∴CD=ED=
．
． =．
∴BD=BC﹣CD=2∴tan∠CBE=
〔3〕如图2所示：
∵B〔3，0〕，D〔﹣1，﹣4〕， ∴A〔﹣1，0〕，F〔1，0〕． ∴FB=2，DF=4． ∴tan∠FDB=． ∴tan∠FDB=tan∠CBE． ∴∠FDB=∠CBE． ∴当∴
==
时，△BCE∽△DBM． ，解得：MD=
．
∴点M的纵坐标=﹣4+∴M〔1，﹣〕． 如图3所示：
=﹣．
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∵∠FDB=∠CBE，
∴当∠BMD=∠BCE=45°时，△DMB∽△BCE． ∴FM=FB=2． ∴M〔1，2〕．
综上所述，当点M的坐标为〔1，﹣〕或〔1，2〕时，△DMB和△BCE相似．
28．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点Q从点A出发，沿着AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着对角线BD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒〔0＜t≤5〕，以P为圆心，PB长为半径的⊙P与BD、AB的另一个交点分别为E、F，连结EF、QE． 〔1〕填空：FB=
t 〔用t的代数式表示〕；
〔2〕当t为何值时，点Q与点F相遇？
〔3〕当线段QE与⊙P有两个公共点时，求t的取值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】〔1〕只要证明EF∥AD，可得=，即=，可得BF=t．
〔2〕当点Q与点F相遇时，AQ+BF=AB，可得t+t=6，解方程即可． 〔3〕求出直线QE与⊙P相切时的时间t，观察图象即可解决问题． 【解答】解：〔1〕∵BE是⊙P的直径，四边形ABCD是矩形， ∴∠EFB=∠A=90°
在Rt△ABC中，∵AD=8，AB=6， ∴BD=∵EF∥AD， ∴∴
==
， ，
=10，
∴BF=t． 给答案为t．
〔2〕当点Q与点F相遇时，AQ+BF=AB， ∴t+t=6， ∴t=∴当t=
〔3〕当直线QE与⊙P相切时， ∵∠BEQ=∠A=90°，∠QBE=∠ABD， ∴△QBE∽△DBA， ∴∴∴t=
==， ， s，
s时，点Q与点F相遇．
s，
∵线段QE与⊙P有两个公共点，
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∴t的取值范围：＜t＜．
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