用Zernike多项式实现光机分析的技术方法

第２８卷第１期　应用光学　Ｖｏ１．２８，Ｎｏ．１　２００７年１月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｏｐｔｉｃｓ　Ｊａｎ．，２００７　文章编号：１００２—２０８２（２００７）０１—００３８—０５　用Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式实现光机分析的技术方法　李　福　，阮　萍　，马小龙　，赵葆常　（１．中国科学院西安光学精密机械研究所，西安７１００６８；　２．中国科学院研究生院，北京１０００３９）　摘要：　由于光学软件不能直接利用有限元分析的结果，而Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式的各项与光学像差有　对应关系，因此常用Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式作为光机接口。针对目前常用轴向位移作为拟合量描述拟合面　形的不足，给出了几种常用的表面位移校正方法并说明了其优缺点。用具体实例比较各校正位移，　并对其进行Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式拟合，从拟合系数的差异可以看出，曲率比较大的表面必须采用校正位　移进行拟合。最后指出：在不知道初始表面方程的情况下，轴向和法向校正位移均采用从初始表面　出发的方法，如果已知初始表面方程，则轴向校正位移采用从变形表面出发的方法，法向校正位移　仍采用从初始表面点出发进行计算。　关键词：　光机分析；表面位移校正；有限元分析；Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式　中图分类号：０４３９；ＴＨ７４４　文献标志码：Ａ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｏｐｔｏ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｗｉｔｈ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ＬＩ　Ｆｕ　，ＲＵＡＮ　Ｐｉｎｇ　，ＭＡ　Ｘｉａｏ—ｌｏｎｇ　，ＺＨＡＯ　Ｂａｏ—ｃｈａｎｇ　（１．Ｘｉ　ａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｏｐｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｘｉ　ａｎ　７１００６８，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｇｒａｄｕａｔｅ　Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｉｉｎｇ　１０００３９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ａｒｅ　ｕｓｅｄ　ａｓ　ｉｎｔｅｒｆａｃｅ　ｆｏｒ　ｏｐｔｏ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｔｈｅ　ｉｔｅｍｓ　ｏｆ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ｈａｖｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｍｅａｎｉｎｇｓ　ｔｏ　Ｓｅｉｄｅｌ　ａｂｅｒｒａｔｉｏｎｓ，ｂｅｃａｕｓｅ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｃａｎ　ｎｏｔ　ｂｅ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｕｓｅｄ　ｂｙ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｓｏｆｔｗａｒｅ．Ａｔ　ｐｒｅｓｅｎｔ，ｏｐｔｉｃａｌ—　ａｘｉｓ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｏｆ　ｎｏｄａｌ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｉｓ　ｆｉｔｔｅｄ　ｂｙ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｎｏｔ　ａｃｃｕｒａｔｅ．Ｓｏｍｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｏｆ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ａｒｅ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ａｎｄ　ｃｏｍｐａｒｅｄ．Ｅａｃｈ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｉｓ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ　ｅｘａｍｐｌｅｓ，ａｎｄ　ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｆｉｔｔｅｄ　ｂｙ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ．Ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｉｔ　ｉｓ　ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｍｕｓｔ　ｂｅ　ａｄｏｐｔｅｄ　ｉｆ　ｔｈｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｃｕｒｖａｔｕｒｅ　ｉｓ　ｌａｒｇｅ．Ｉｔ　ｉｓ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ　ｔｈａｔ　ｂｏｔｈ　ａｘｉａｌ　ａｎｄ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ　ａｄｏｐｔ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｒｏｍ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｎｏｄｅｓ　ｉｆ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｕｎｋｎｏｗｎ，ｔｈｅ　ａｘｉａｌ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｕｓｅｓ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｄｅｆｏｒｍｅｄ　ｎｏｄｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｍａｋｅｓ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｒｏｍ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｎｏｄｅｓ　ｉｆ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｋｎｏｗｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｏｐｔｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ；ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ；ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ；　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　收稿日期：２００６—０７—３０；修回日期：２００６—０８—０３　基金项目：国家高技术８６３基金资助（２００３ＡＡ７８２０３２）　作者简介：李福（１９８０一），男，山西应县人，中国科学院西安光学精密机械研究所博士研究生，主要从事光学仪器结构设计　和分析方面的研究。Ｅ—ｍａｉｌ：ｄａｉｓｙｆｕｑ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ　维普资讯 http://www.cqvip.com

应用光学２００７，２８（１）　李福，等：用Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式实现光机分析的技术方法　・３９・　引言　光机系统的光学元件在外载荷的作用下，由于　固紧结构的变形将作整体相对位移，同时，光学表　面也发生面形变化。所有这些变化都将引起光学系　统的同心度变化及波前畸变，从而影响光学系统的　特性，因此，分析恶劣环境下光机系统的光学性能　是很有必要的　］。为了实现这一功能，通常用有限　元分析的方法对光机系统进行热和结构响应分析，　但有限元分析的结果并不能直接用到光学分析软　件中，需要有一个把有限元分析结果转换到光学分　析软件可接受的方法。　对于微小变形量（微米级）的光学元件，比较适　合用变形引起的波面误差来评价变形后的面形质　量。变形引起的波面误差一般具有复杂的形状，难　以用一般的函数来描述。但是，变形波面总是趋于　光滑和连续的，所以，可以将面形的变化表示成一　个完备基底函数的线性组合或一个与线性无关的　基底函数系的组合　］。由于Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式的相互　正交性及与Ｓｅｄｉｅｌ像差有一定的关系，因此，把有　限元分析变形结果分解成一系列Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式的　线性组合，能帮助确认和分离（在结构分析水平）各　种光学像差。　面形的拟合精度直接关系到光机分析的可靠　性，因此需要选择一种合适的算法。由于轴向位移　△ｚ并不能精确描述表面变形ｎ］，所以本文对目前　常用的校正算法进行了精度分析比较，并给出了具　体的应用实例。　１　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式　关于Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式，已经在大量文献中讨论　过　＿６ｌ，本文仅列出它的定义和主要性质。根据　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式的奇偶项，它的表达式表示成　［　］　㈩　这里Ｒ　（｜０）为径向函数，定义为　嘴　２　ｃ　‘　５＝一ｏ　５　１（　一５）！（　一５）！　ｐ（　一２Ｓ　（２）　式中：Ⅳ和　是整数；ＪＤ是无量纲的标准化半径，　即０≤Ｊ０≤１；０是极角且０≤０≤２７ｃ。Ｚｅｒｎｉｋｅ级　数仅在Ⅳ≥Ｍ≥０，Ｎ—Ｍ是偶数时才存在。　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式具有如下性质。　１）Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式互为正交，而且可以唯一　的、归一化描述系统圆形孔径的波前边界，即　ｊ　ｊ　ｚ　（１０，　（１０，　）ｌＤｄｌＤｄ　一　，　删，　（３）　２）Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式和Ｓｅｄｉｅｌ像差的关系为　ＡＷ（ｐ，　）一Ａ。。＋∑Ａ　。Ｒ　（Ｊ０）＋　Ｎ＝２　Ｎ＝１Ｍ—ｌ　∑∑Ｒｆ（ｐ）［Ａ　Ｍ　ｃｏｓ（ＭＯ）＋　ＢⅣＭ　ｓｉｎ（Ｍ　）］　（４）　从（４）式可以看出，Ｓｅｄｉｅｌ像差可以表示成　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式的线性组合。　２　表面位移校正方法　光学表面变形可用两种不同的形式描述：轴向　基和表面法向（波前）基　］。轴向变形定义为在平　行于光轴方向上的初始表面到变形表面的距离。表　面法向变形定义为在垂直于初始表面方向的初始　表面到变形表面的距离。这２个量都是实际节点变　形的分量。因为在干涉检验中，检验的是法线方向　的面形误差，因此表面法向基也可作为一个干涉检　验的结构。但是，有限元分析的数据并不是这２种　形式，而是实际节点对应的变形，因此需对有限元　变形数据进行处理。在实际的操作中，可以从以下　２个方面出发进行数据处理。　２．１　从没有变形的表面点Ｐ出发　图１是从初始表面出发得到表面校正位移的　示意图。从图１可以看到，由于光学表面的弹性变　形和刚性运动，初始表面上的点Ｐ移到Ｐ　，平移量　为ＡＲ和ＡＺ，旋转量为ＡＯ。图１中平移量分别用矢　量ＰＧ和ＧＰ　表示，而旋转量ＡＯ是角　ＤＰ　Ｅ，这　里线段ＤＰ　是没有变形光学表面在点Ｐ处的切　线，线段ＥＰ　是变形光学表面在点Ｐ　处的切线。图　１中精确的轴向表面位移为线段ＰＡ，法向表面位　移为线段尸Ｆ。但实际上点　和Ｆ在有限元分析中　并不能精确地确定，因此这２个量很难获得。通过　有限元分析，仅有点Ｐ和Ｐ　的斜率和位置可确定，　在ＳｉｇＦｉｔ的参考手册＿８　中给出了计算轴向和法线　方向节点校正位移详细过程，本文不再赘述。笔者　最终用Ｐｃ代替ＰＡ作为轴向变形，ＰＤ代替ＰＦ作　为法向位移。　ＰＡ≈ＰＣ＝＝＝△Ｒ・ｔａｎ（　）　（５）　维普资讯 http://www.cqvip.com

・４０・　应用光学２００７，２８（１）　李福，等：用Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式实现光机分析的技术方法　ＰＦ≈ＰＤ一　＿　坐　（６）　精确计算Ｐ的ｚ坐标值。这样，Ｐ　的位置可认为　１＋ｔａｎ　（　）　式中ｔａｎＯ是初始表面在点Ｐ处的斜率。　无变形　图ｌ　从初始点出发的轴向和法向校正位移　Ｆｉｇ．１　Ａｘｉａｌ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｓｔａｒｔｉｎｇ　ｆｒｏｍ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｎｏｄｅ　从（５）式和（６）式可以看出，当初始表面的斜　率很小时（一般　是在几度范围内），轴向校正位移　和法向校正位移近似相等，都为ＡＺ；但随着表面斜　率的增加，用△ｚ作为拟合量的偏差将增加。　２．２　从变形表面移位后的点Ｐ　出发　和上边的描述一样，结构变形ＡＲ和△ｚ使点Ｐ　已经移到Ｐ　。笔者把Ｐ　位置作为开始点进行计算。　先分析法向位移，首先搜索初始表面上的点Ⅳ　的位置。如图２所示，点Ⅳ定义为通过变形点Ｐ　垂　直于初始表面矢量的位置，因此表面法向变形是位　移ⅣＰ　。面的法向矢量定义为在给定点的表面方　程斜率的负倒数，可使用搜索算法完成。假设搜索　到Ⅳ点的坐标为（尺　，Ｚ　），则法向校正位移为　ＮＰ　＝√（尺＋ＡＲ—Ｒ１）　＋（Ｚ＋△Ｚ—Ｚ１）　（７）　表面　Ｚ　图２　从变形表面出发的轴向和法向校正位移　Ｆｉｇ．２　Ａｘｉａｌ　ａｎｄ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｓｔａｒｔｉｎｇ　ｆｒｏｍ　ｄｅｆｏｒｍｅｄ　ｎｏｄｅ　表面法向变形的计算要求初始表面的表面方　程是可微的，而且要求精确的Ｐ　位置。假定变形　（ＡＲ和ＡＺ）是精确的，而实体模型初始表面的网　格划分和有限元分析输出数据的低精度格式导致　Ｐ初始位置可能不精确。因此，笔者在这个算法中　使用了初始表面的表面方程，从节点的（尺，　）坐标　是精确的。　如图２所示，对于轴向位移，过Ｐ　点作平行于　光轴的直线，与原始表面交于丁点，矢量长度丁Ｐ　就是所求的轴向位移；如果知道原始表面方程　Ｚ（尺），就可以精确确定点丁。设其坐标为（尺＋　△尺，Ｚ（尺＋△Ｒ）），则　丁Ｐ　一Ｅｚ（尺）＋Ａｚ３一Ｚ（尺＋　）　（８）　２．３校正位移的比较　根据数据的最终用途，校正位移有如下的优缺　点。　２．３．１　轴向校正　从初始点Ｐ出发具有通用性（如果从有限元分　析中得到初始表面的斜率，那么就不受初始表面方　程的限制）。但在计算中去掉了许多非线性项，并且　计算结果不能和干涉检查结果比较。　从变形移位后的点Ｐ　出发，不需要计算初始　表面的斜率，但必须知道初始表面的方程。如果不　考虑有限元结果的低精度，则整个计算是精确的，　它的精度最高，但其结果也不能和干涉检测结果进　行比较。　２．３．２　法向校正　法向校正的共同点是拟合后的结果可直接和　干涉检验结果比较，能用来计算ＲＭＳ波前像差。　从Ｐ点出发，计算过程简单，只需要知道初始　表面在Ｐ点的斜率（可通过有限元计算结果的相邻　节点求得，也可通过初始表面方程求得）。　从Ｐ　点出发，需要一个可微的初始表面方程，　并且在搜索Ⅳ点时也比较费时。　３计算结果及分析　对一个最大斜率为０．１６的旋转抛物面镜在自　重作用下进行有限元分析，分别计算和比较４种表　面校正位移，并用△Ｚ和４种校正位移进行Ｚｅｒｎｉｋｅ　多项式拟合。拟合采用Ｆｒｉｎｇｅ　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式，它　包括３７项。　３．１表面校正位移　表１给出了沿抛物面径向部分节点的轴向位　移和校正位移值。其中：ＡＺ表示有限元分析计算　的轴向（Ｚ向）位移；Ｓａｇｚ表示从初始表面出发的　轴向校正位移；Ｓａｇｎ是从初始表面出发的法向校　正位移；Ｓａｇｚｄ是从变形表面出发的轴向校正位　移；Ｓａｇｎｄ是从变形表面出发的法向校正位移。　为了直观显示轴向位移△Ｚ和各校正位移，图３　维普资讯 http://www.cqvip.com

暑暑　０一×＼ｌｕ　暑　０　厶昕一０　应用光学２００７，２８（ｉ）　李福，等：加　用Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式实现光机分析的技术方法　ｍ　・４１・　给出了轴向位移和表面校正位移的关系图。图４是　表１用于Ｚｅｒｎｉｋｅ拟合的表面变形值（单位：ａｒｍ）　各节点对应的斜率。比较图３和４可以看出，ＡＺ和　Ｔａｂｌｅ　１　Ｓｕｒｆａｃｅ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｖａｌｕｅｓ　ｆｏｒ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｆｉｔｔｉｎｇ　Ｓａｇｚ之间的差值随着表面斜率的增加而增加，这　Ｎｏｄｅ　ＡＺ　Ｓａｇｚ　Ｓａｇｎ　Ｓａｇｚｄ　Ｓａｇｎｄ　与公式（５）相符，并且Ｓａｇｚ和Ｓａｇｚｄ的值基本相同，　８　２．５４５　５ｅ一００５　２．５４５　４ｅ一００５　２．５４５　４ｅ一００５　２．５４５　４ｅ一００５　２．５４５　４ｅ一００５　这主要是受表面方程的影响。对于法向校正位移，　１２　２．４９９　６ｅ　００５　２．４９７　５ｅ一００５　２．４９６　７ｅ一００５　２．４９７　５ｅ一００５　２．４９６　７ｅ一００５　２种校正位移计算的结果基本相同，但从变形后的　１６　２．３９５　５ｅ一００５　２．３８８　６ｅ一００５　２．３８６　３ｅ一００５　２．３８８　６ｅ一００５　２．３８６　３ｅ一００５　点出发，工作量比较大。　２０　２．２３８　５ｅ一００５　２．２２４　４ｅ一００５　２．２１９　９ｅ一００５　２．２２４　４ｅ一００５　２．２１９　９ｅ一００５　２４　２．０３６　９ｅ一００５　２．Ｏ１３　４ｅ一００５　２．００６　６ｅ一００５　２．Ｏ１３　４ｅ一００５　２．００６　６ｅ一００５　２８　１．８０３　ｌｅ一００５　１．７６９　Ｏｅ一００５　１．７５９　９ｅ一００５　１．７６９　Ｏｅ一００５　１．７５９　９ｅ一００５　３２　１．５５２　９ｅ一００５　１．５０８　Ｏｅ一００５　１．４９７　Ｏｅ一００５　１．５０８　Ｏｅ一００５　１．４９７　Ｏｅ一００５　３６　１．３０３　９ｅ　００５　１．２４９０ｅ－００５　１．２３６　８ｅ一００５　１．２４９　Ｏｅ一００５　１．２３６　８ｅ一００５　４０　１．０７０２ｅ一００５　１．００５　８ｅ一００５　９．９３２　ｌｅ一００６　１．００５　８ｅ一００５　９．９３２　ｌｅ一００６　３．２　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式拟合　在许多Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式拟合的文献　中，都已　经证明采用最小二乘法口。］和Ｇｒａｍ～Ｓｃｈｉｍｄｔ正交　５　ｌ０　ｌ５　２０　２５　３０　３５　４０　Ｎｏｄｅ　化方法具有等效性，因此笔者采用比较简单的最小　图３轴向和表面校正位移值　二乘法。在拟合过程中需要注意的是，所有表面上　Ｆｉｇ．３　Ａｘｉａｌ　ａｎｄ　ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　的节点必须归一化到单位圆内，并且对于非圆孑Ｌ径　０　ｌ６　的光瞳必须对表面节点进行正交归一化处理，否则　０　ｌ４　Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式的正交性就不成立口　。　Ｏ１２　表２列出了计算的Ｚｅｒｎｉｋｅ系数和对应的像差　０　０ｌ０　０．０８　含义。其中：Ｑｚ表示根据ＡＺ计算的Ｚｅｒｎｉｋｅ系数；　００６　Ｑｓａｇｚ，Ｑｓａｇｎ，Ｑｓａｇｚｄ，Ｑｓａｇｎｄ类似。由于篇幅　００４　限制，这里只列出了前９项Ｚｅｒｎｉｋｅ系数。　Ｏ０２　０　从表２可以看出，对于曲面面形的Ｚｅｒｎｉｋｅ多　Ｎｏｄｅ　项式拟合，轴向位移△ｚ和轴向校正位移拟合的　图４各节点对应的斜率　Ｚｅｒｎｉｋｅ系数还是有一定差异的，从前面的分析可　Ｆｉｇ．４　Ｃ０ｒｒｅｓｐ０ｎｄｉｎｇ　ｓｌｏｐｅ　ｔｏ　ｅａｃｈ　ｎｏｄｅ　知，对于轴向拟合，从变形后的点出发精度最高，可　表２各种表面位移对应的Ｚｅｒｎｉｋｅ系数　Ｔａｂｌｅ　２　Ｃ０ｒｒｅｓｐ０ｎｄｉｎｇ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｔｏ　ｖａｒｉｏｕｓ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　以把用Ｓａｇｚｄ拟合的Ｚｅｒｎｉｋｅ系数Ｑｓａｇｚｄ作为轴向　Ｑｓａｇｚ之间差异比较明显，Ｑｓａｇｚ和Ｑｓａｇｚｄ除个　拟合的基准。由于拟合量存在差异，因此Ｑｚ和　别值外总体比较接近，Ｑｓａｇｎ和Ｑｓａｇｎｄ的值也比　维普资讯 http://www.cqvip.com

・４２・　应用光学２００７，２８（１）　李福，等：用Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式实现光机分析的技术方法　Ｚ００４．　较接近。若考虑计算时间，一般采用Ｑｓａｇｎ。　ＬＩ　Ｘｉａｎ—ｈｕｉ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ａｎｄ　ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｏｐｔｏ—　４　结论　本文介绍了用Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式拟合的４种校正　位移，并用实例比较了轴向位移分量△ｚ和４种校　正位移。对一般的旋转对称抛物面，２种轴向校正　位移结果比较相近，２种法向校正位移结果也比　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｆｉｇｕｒｅ　ｐｏｓｔ—　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｉ＇Ｄ］．Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ：Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｏｐｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｆｉｎｅ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００４．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［４］ＧＥＮＢＥＲＧ　Ｖ，ＭＩＣＨＥＬＳ　Ｇ．Ｏｐｔｏ—ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎａ—　ｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｅｇｍｅｎｔｅｄ／ａｄａｐｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｃｓ［Ｊ］．ＳＰＩＥ，２００１，　４４４４：９０—１Ｏ１．　较接近。并且可以得出，在初始表面方程斜率很小　的情况下，轴向变形位移数据△ｚ和校正位移Ｓａｇｚ　及Ｓａｇｚｄ之间的差异很小，用ＡＺ进行Ｚｅｒｎｉｋｅ拟合　是比较精确的。但对于表面方程斜率不可忽视的情　况（如本文给出的实例），宜采用本文给出的几种校　正方法。如果不知道初始表面方程，轴向和法向位　移校正均采用从初始表面出发的方法；若知道初始　表面方程，从计算过程的简单性和运算时间考虑，　轴向校正位移则采用从变形表面出发的方法，法向　校正位移仍采用从初始表面点出发进行计算。　参考文献：　［１］张卫国，冯卓祥，陶忠，等．扫描镜动态面形变化和模　态分析［Ｊ］．应用光学，２００６，２７（１）：５８—６１．　ＺＨＡＮＧ　Ｗｅｉ—ｇｕｏ，ＦＥＮＧ　Ｚｈｕｏ—ｘｉａｎｇ，ＴＡＯ　Ｚｈｏｎｇ，　ｅｔ　ａ１．Ｍｏｄａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｃａｎｎｉｎｇ　ｍｉｒｒｏｒ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｏｐｔｉｃｓ，　２００６，２７（１）：５８—６１．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　Ｉ－２］单宝忠，王淑岩，牛憨笨，等．Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式拟合方　法及应用［Ｊ］．光学精密工程，２００２，１０（６）：３１８—３２３．　ＳＨＡＮ　Ｂａｏ—ｚｈｏｎｇ．ＷＡＮＧ　Ｓｈｕ—ｙａｎ，ＮＩＵ　Ｈａｎ—ｂｅｎ，　ｅｔ　ａ１．Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｌ，Ｊ］．Ｏｐｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，　２００２，１０（６）：３１８－３２３．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［３］李贤辉．光机集成仿真计算面形后处理研究与实现　［Ｄ］．长春：中国科学院长春光学精密机械研究所，　［５］ＰＲＡＴＡ　Ａ，Ｊｒ．，ＲＵＳＣＨ　Ｗ　Ｖ　Ｔ．Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｏｐｔｉｃｓ，１９８９，２０（４）：７４９—　７５４．　［６］ＷＡＮＧ　Ｊ　Ｙ，ＳＩＬＶＡ　Ｄ　Ｅ．Ｗａｖｅ—ｆｒｏｎｔ　ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓＩ－Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｏｐｔｉｃｓ，１９８０，　１９（９）：１５１０—１５１８．　［７］　ＣＯＲＯＮＡＴＯ　Ｐ　Ａ，ＪＵＥＲＧＥＮＳ　Ｒ　Ｃ．Ｔｒａｎｓｆｅｒｒｉｎｇ　ＦＥＡ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｔｏ　ｏｐｔｉｃｓ　ｃｏｄｅｓ　ｗｉｔｈ　Ｚｅｒｎｉｋｅｓ：ａ　ｒｅｖｉｅｗ　ｏｆ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓＩ－Ｊ］．ＳＰＩＥ，２００３，５１　７６：１－８．　［８］　ＳｉｇＦｉｔ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｍａｎｕａｌ　ｖｅｒｓｉｏｎ　２００４一Ｒ１［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｉｇｍａｄｙｎｅ　Ｉｎｃ，２００４．　［９］　莫卫东．Ｚｅｒｎｉｋｅ多项式拟合干涉面方法研究［Ｊ］．高　速摄影与光子学，１　９９１，２Ｏ（４）：３８９—３９６．　ＭＯ　Ｗｅｉ—ｄｏｎｇ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｆｉｔ　ｉｎｔｅｒｆｅｒｏｇｒａｍ　ｗｉｔｈ　Ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ［Ｊ］．Ｈｉｇｈ　Ｓｐｅｅｄ　Ｐｈｏｔｏｇｒａｐｈｙ　ａｎｄ　Ｐｈｏｔｏｎｉｃｓ。１　９９１，２０（４）：　３８９—３９６．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［１Ｏ］张良，曹辉，史云飞．基于最小二乘法的波面函数拟合　［Ｊ］．应用光学，２００１，２２（２）：４２—４５．　ＺＨＡＮＧ　Ｌｉａｎｇ，ＣＡＯ　Ｈｕｉ，ＳＨＩ　Ｙｕｎ—ｆｅｉ．Ｗａｖｅｆｒｏｎｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｂｙ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅｓ　ｍｅｔｈｏｄ　，ｌＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｏｐｔｉｃｓ，２００１，２２（２）：４２—４５．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［１１］ＧＥＮＢＥＲＧ　Ｖ，ＭＩＣＨＥＬＳ　Ｇ．Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｚｅｒｎｉｋｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ［Ｊ］．ＳＰＩＥ，２００２，４７７１：２７６—　２８６．