报童数学建模

国贸系报关班：王曦

法学系行政法务一班：何国泽

一、问题：

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。

二、模型分析：

购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。

三、模型建立：

假设每天购进量是n份，需求量是随机的，r可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。

记报童每天购进n份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r份；如果需求量人r>n,则r份将全部售出。需求量为r的概率是f(r),则

问题归结为在fr,a,b,c已知时，求n是G(n)最大。

四、模型求解：

购进量n都相当大，将r视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r) 计算

ndGdG2acnpnbcprdrabprdr 令0 得0ndndn

prdrab得到 prdrbc0nnn应满足上式。0prdr1 使报童日平均收入达到最大的购进量为

n0prdrab ac根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n在图中用p1,p2分别

表示曲线p(r)下的两块面积，则

P1ab P2bc O n r dr是需求量r不超过n的概率； 因为当购进n份报纸时，P1pr0nP2prdr是需求量r超过n的概率，既卖完的概率，所以上式表明，

n购进的份数n应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。

五、结论：

当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比约大时，报童购进的份数就应该越多。

六、练习：

利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？

当a=1, b=0.75, c==0.6时 需求量r服从r~N(500,502)分布。

P1ab10.755对应的正态分布表得到对应概率为0.9515 P2bc0.750.63所以购进量为5005312.5 8当r<=n时最高收入为10.75312.50.95178.15

当r>n时最高收入为10.75312.50.750.6500312.50.951547.6