初二数学难题

20．已知，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，AE=CD，连接AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q （1）求∠BPD的度数；

（2）若PQ=3，PE=1，求AD的长。

解（1）证得，△ABE≌△ACD－—－—－（3分） ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP =∠BAC=60° （5分）

（２）在RT△BPQ中，∠BPQ=60°，∴∠PBQ＝30° 又PQ=3，∴BP=2PQ=6 （7分） 又PE=1，∴BE=BP+PE=7

由（1）得△ABE≌△ACD ∴AD＝BE＝7 （8分）

21．两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数

21、解：设大数为x，则小数为999-x， （1分 ） 由题意得

（5分 ）

解这个方程得：x=857, （7分 ） ∴999-x=142

答：大数为857，小数为142。 （8分）

23．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD•于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．(友情提示:角平分线上的点到这个角两边的距离相等)

23．解析：CE=CF=GB． （1分） 理由：（1）∵∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°．

∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°． ∴∠ACD=∠ABC．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE． ∵∠CEF=∠BAE+∠ABC， ∠CEF=∠CAE+∠ACD，

∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF（等角对等边）． （5分） （2）如答图，过E作EH⊥AB于H． （6分） ∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC．

∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

∴EH=EC，∴EH=CF． ∵EG∥AB，∴∠CGF=∠EBH．

∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴∠CFG=∠EHB=90°． 在Rt△CFG和Rt△EHB中，

∠CGF=∠EBH，∠CFG=∠EHB，CF=EH， ∴Rt△CFG≌Rt△EHB． ∴CG=EB，∴CE=GB．

∴CE=CF=GB． （9分）

其他方法酌情给分。

33、如图，已知：Rt△ABC中，C90，ACBC2，将一块三角尺的直角顶点与

斜边AB 的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC，AC交于D，E两点（D，E不与B，A重合）． （1）求证：MDME； B

D （2）求四边形MDCE的面积；

M

C

E

A

∴BF＝AC＝AB＝BD．

又∠CBF＝∠CBA+∠ABF＝∠BCA+∠CAB＝∠CBD，BC公用， ∴△CBF≌△CBD．（SAS） ∴CF＝CD，即2CE＝CD．

发散2 如图5—21，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD=CE．求证：AB=AC，AD=AE．

分析 本题利用等式相加减的性质进行角的相加减，将∠BAC＝∠DAE转化为∠BAD=∠CAE，达到将间接条件转化为直接条件的目的．

证明 ∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC（等量代换） ∴∠BAD＝∠CAE(等式性质)． 在△BAD与△CAE中， ∵∠BAD＝∠CAE（已证），BD=CE（已知），∠ABD＝∠ACE（已知） ∴△BAD≌△CAE（AAS）． 构造发散

发散1 如图5—22，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．

分析 本题算延长FD到G，使FD=DG，构造新△EDG，通过证明△BDG≌△CDF，达到转移线段位置的目的（如图5-22将BE+CF转移为BE+BG，将EF转移为EG）

证明 延长FD到G，使DG=DF，连结BG． ∵∠BDG=∠CDF，BD=DC． ∴△BDG≌△CDF ∴BG=CF 连结EG

∵ED⊥DF，又DG=DF ∴EG=EF

在△EBG中，BE+BG>EG， ∴BE+CF>EF.

发散2 如图5-23，已知AB∥ED，AE∥BD，AF=CD，EF=BC．求证：∠C=∠F

分析 欲证∠C=∠F，须证△AEF≌△DBC， 即须证EF=BC（已知），AF=CD（已知）

现缺少条件AE=BD．若连结BE，构造一对三角形△ABE和△BDE，欲证AE=DB，须证△ABE≌△DEB，这显然可以得证

证明 连结BE， ∵ AB∥ED， ∴ ∠1＝∠2． ∵ AE∥BD， ∴ ∠3＝∠4．

在△ABE和△DEB中，

∵ ∠1＝∠2，BE＝BE，∠A＝∠3， ∴ △ABE≌△DEB(ASA)． ∴ AE＝DB．

在△AEF和△DBC中，

∵ AF＝CD，EF＝BC，AE＝DB，

∴ △AEF≌△DBC． ∴ ∠C＝∠F．