专题09 二次函数-2020年中考数学模拟试题优选汇编考前必练(解析版)

专题09 二次函数

一．选择题

1．（2020•连云港一模）把抛物线yax2bxc图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是yx26x5，则abc的值为( ) A．3

B．2

C．1

D．0

【解析】yx26x5(x3)24．则其顶点坐标是(3,4)，将其向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到(1,1)．

故原抛物线的解析式是：y(x1)21x22x． 所以a1，b，2，c0． 所以abc1201． 故选：C．

2．（2020•和平区二模）已知二次函数y1mx24mx5m(m0)，一次函数y22x2，有下列结论： ①当x2时，y随x的增大而减小；

②二次函数y1mx24mx5m(m0)的图象与x轴交点的坐标为(5,0)和(1,0)； ③当m1时，y1y2；

1④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y2y1均成立，则m．

3其中，正确结论的个数是( ) A．0 【解析】①

B．1

C．2

D．3

y1mx24mx5mm(x2)29m，y22x2，

当x2时，y2随x的增大而增大，当m0时，y1随x的增大而减小，故①错误；

②令y10，则mx24mx5m0，x1或5，二次函数y1mx24mx5m(m0)的图象与x轴交点的坐标为(5,0)和(1,0)，故②正确；

③当m1时，二次函数y1mx24mx5m的图象与一次函数y22x2的图象的交点的横坐标为3和 1，

当3x1时，y1y2；故③错误；

④mx24mx5m2x2整理得，mx2(4m2)x25m0， 当△(4m2)24m(25m)0时，函数值y2y1成立， 1

解得m，故④正确．

3

故选：C．

3．（2020•曾都区模拟）抛物线yax2bxc经过点(1,0)，且对称轴为直线x1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc0；②2ab0；③9a3bc0；④若mn0，则xm1时的函数值小于xn1时的函数值．其中正确结论的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】①观察图象可知： a0，b0，c0，abc0，

所以①正确；

②∵对称轴为直线x1， 即b1，解得b2a，即2ab0， 2a所以②正确；

③∵抛物线yax2bxc经过点(1,0)，且对称轴为直线x1，

抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，

当a3时，y0，即9a3bc0， 所以③正确； mn0，

m1n11，

由x1时，y随x的增大而减小知xm1时的函数值小于xn1时的函数值，所以④正确； 故选：D．

4．（2020•宁乡市一模）定义[a，b，c]为函数yax2bxc的特征数，下面给出特征数为[m1，m1，

2m]的函数的一些结论，其中不正确的是( ) 325A．当m2时，函数图象的顶点坐标为(,)

24

B．当m1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3 C．当m0时，函数在x1时，y随x的增大而增大 2D．不论m取何值，函数图象经过两个定点

【解析】因为函数yax2bxc的特征数为[m1，m1，2m]；

32532252A、当m2时，yx3x4(x)，顶点坐标是(，)；此结论正确；

24242B、当m1时，令y0，有(m1)x(1m)x2m0，

解得，x11，x2|x2x1|2m， m13m13，所以当m1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确； m1C、当m0时，y(m1)x2(1m)x2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：xm1，在

2(m1)对称轴的左边y随x的增大而增大， 因为当m0时，xm1m1211111，即对称轴在x右边，可能大于，所以在

2(m1)2(m1)2m12221时，y随x的增大而减小，此结论错误； 22D、当x1时，y(m1)x(1m)x2m0 即对任意m，函数图象都经过点(1,0)，

那么同样的：当x2时，y(m1)x2(1m)x2m6，即对任意m，函数图象都经过一个点(2,6)，此结论正确． 故选：C．

5．（2020•宁波模拟）已知点P(m,n)在抛物线ya(x5)29(a0)上，当3m4时，总有n1，当7m8时，总有n1，则a的值为( ) A．1

B．1

C．2

D．2

【解析】抛物线ya(x5)29(a0)，

抛物线的顶点为(5,9)，

∵当7m8时，总有n1，

a不可能大于0，

则a0，

x5时，y随x的增大而增大，x5时，y随x的增大而减小，

∵当3m4时，总有n1，当7m8时，总有n1，且x3与x7对称， m3时，n1，m7时，n1， 4a91，

4a914a91， a2，

故选：D．

6．（2020•历下区二模）如果我们把函数yax2b|x|c称为二次函数yax2bxc的“镜子函数”，那么对于二次函数C1:yx22x3的“镜子函数” C2:yx22|x|3，下列说法：①C2的图象关于y轴对称；②C2有最小值，最小值为4；③当方程x22|x|3m有两个不相等的实数根时，m3；④直线yxb与C2的图象有三个交点时，A．1个

B．2个

13b3中，正确的有( ) 4C．3个 D．4个

【解析】①a22|a|3(a)22|a|3，

C2:yx22|x|3的图象关于y轴对称， 故①正确； ②

yx22|x|3(|x|1)24，

当|x|1即x1时，y有最小值为4，

故②正确；

③当m4时，方程x22|x|3m为x22|x|34，可化为(|x|1)20，解得x1，有两个不相等的实数根，此时m43， 故③错误；

④直线yxb与C2的图象有三个交点，

方程x22|x|3xb，即x22|x|x3b0有3个解，

方程x23x3b0(x0)与方程x2x3b0(x0)一共有3个解，

19124b019124b0或，

1124b01124b022解得，b当b13或无解， 413时，直线yxb与C2的图象有三个交点， 4故④错误； 故选：B．

7．（2020•高青县一模）如图，抛物线yx22xm1(m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．

①抛物线yx22xm1与直线ym2有且只有一个交点；

1②若点M(2,y1)、点N(，y2)、点P(2,y3)在该函数图象上，则y1y2y3；

2③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y(x1)2m；

④点A关于直线x1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m1时，四边形BCDE周长的最小值为342． 其中正确判断有( )

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③

【解析】①把ym2代入yx22xm1中，得x22x10， △440，

此方程两个相等的实数根，则抛物线yx22xm1与直线ym2有且只有一个交点，故①结论正

确；

②抛物线的对称轴为x1，

点P(2,y3)关于x1的对称点为P(0,y3)，

a10，

当x1时，y随x增大而增大，

又20

11，点M(2,y1)、点N(，y2)、点P(0,y3)在该函数图象上，y2y3y1，故②结论错误； 22③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：

y(x2)22(x2)xm12，即y(x1)2m，故③结论正确；

④当m1时，抛物线的解析式为：yx22x2，

A(0,2)，C(2,2)，B(1,3)，作点B关于y轴的对称点B(1,3)，作C点关于x轴的对称点C(2,2)，连接BC，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，

则BEEDCDBCBEEDCDBCBCBC，根据两点之间线段最短，知BC最短，而BC的长度一定，

此时，四边形BCDE周长BCBC最小，为：

BM2CM2BM2CM232521212342，故④结论正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：C．

48．（2020•石家庄模拟）对于题目：在平面直角坐标系中，直线yx4分别与x轴、y轴交于两点A、

52B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线yax2ax3a(a0)与

线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a14；乙的计算结果是a，则( ) 33A．甲的结果正确 B．乙的结果正确

C．甲与乙的结果合在一起正确 D．甲与乙的结果合在一起也不正确

【解析】yax22ax3a，令y0，则x1或3，令x0，则y3a， 故抛物线与x轴的交点坐标分别为：(1,0)、(3,0)，与y轴的交点坐标为：(0,3a)， 函数的对称轴为：x1，顶点坐标为：(1,4a)，

4直线yx4分别与x轴、y轴交于两点A、B，则点A、B的坐标分别为：(5,0)、(0,4)，则点C(5,4)．

5（1）当a0时，

当抛物线过点C时，抛物线与线段BC有一个公共点，

1将点C的坐标代入抛物线表达式得：425a10a3，解得：a，

3故抛物线与线段BC有唯一公共点时，a（2）当a0时，

1； 3当顶点过BC时，此时抛物线与BC有唯一公共点， 即4a4，解得：a1；

当抛物线过点B时，抛物线与BC有两个交点，

4将点B的坐标代入抛物线表达式得：3a4，解得：a，

34故当抛物线与线段BC有一个公共点时，a，

34故a或a1；

3综上，a14或a或a1； 33故选：D． 二．填空题

9．（2020•宁波模拟）如图，抛物线yax2经过点A(2,1)和B(2n，m)(n1)，则AOB的面积为__________（用n的代数式表示）．

【解析】作ACx轴于C，BDx轴于D， ∵抛物线yax2经过点A(2,1)， 14a，解得a抛物线为y1， 412x， 4∵抛物线yax2经过点B(2n，m)(n1)， mn2，

B(2n,n2)，

111SAOBSBODS梯形ACDBSAOC2nn21n22n221n2n．

222故答案为n2n．

10．（2020•南通二模）已知二次函数yax24axa21，当xa时，y随x的增大而增大．若点A(1,c)在该二次函数的图象上，则c的最小值为__________． 【解析】

yax24axa21a(x2)24aa21，

对称轴为x2，

∵当xa时，y随x的增大而增大．

a2，

∵点A(1,c)在该二次函数的图象上，

313ca4aa21a23a1(a)2，

24当a3时，c随a的增大而增大， 2a2，

当a2时，c的值最小为：c43213，

故答案为：3．

11．（2020•江岸区校级模拟）抛物线yx2x2与y轴的负半轴交于C点，直线ykx1交抛物线于A，．使得ABC被y轴分成的两部分面积差为2．则K的值为__________． B两点(A点在B点的左边）

【解析】设直线直线ykx1与y轴的交点为点D，则D(0,1)，

∵抛物线yx2x2与y轴的负半轴交于C点， C(0,2)， CD3，

yx2x2联立方程组，

ykx1k1k22k13k1k22k13xx22解得，，或，

2222kk2kk2k13kk2kk2k13yy22k1k22k13k2k2kk22k13k1k22k13k2k2kk22k13A(,)，B(,)，

2222ABC被y轴分成的两部分面积差为2．

2213k1k2k1313k1k2k132，

22221k1k22k131k1k22k13或332， 222217解得，k，或k

3312．（2020•禅城区一模）已知二次函数yax2bxc(a0)的部分图象如图所示，则下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2bxc0的根是1，3； ②函数的解析式是yx22x3； ③a2bc；

其中正确的是__________（填写正确结论的序号）．

【解析】①函数的对称轴为直线x1，根据函数的对称性，函数与x轴的另外一个交点为(1,0)， 故关于x的一元二次方程ax2bxc0的根是1，3，正确，符合题意； ②函数的表达式为ya(x1)(x3)a(x22x3)，故②错误，不符合题意； ③函数的对称轴为直线x1b，解得：b2a， 2a当x1时，yabc3ac0， 而a2b3ac，故③正确，符合题意； 故答案为①③．

10)，13．（2020•乌鲁木齐模拟）如图，二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点(，对称轴为直线x1，2下列5个结论：①abc0；②a2b4c0；③2ab0；④2c3b0；⑤abm(amb)．其中正确的结论为__________．（注:只填写正确结论的序号）

【解析】①函数的对称轴在y轴右侧，则ab0，而c0，故abc0，故①错误，不符合题意； 1②将点(，0)代入函数表达式得：a2b4c0，故②正确，符合题意；

2③函数的对称轴为直线xb1，即b2a，故2ab0，故③错误，不符合题意； 2a5a7a0，故④错误，不符合题意； ，故2c3b42④由②③得：a2b4c0，b2a，则c⑤当x1时，函数取得最小值，即abcm(amb)c，故⑤正确，符合题意； 故答案为②⑤．

14．3，（2020•南充模拟）如图，抛物线yax2bxc的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为1，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论： ①2ab0； ②4a2bc0；

③对任意实数x，ax2bxab； ④只有当a1时，ABD是等腰直角三角形； 2⑤使ABC为等腰三角形的a值可以有3个． 其中正确的结论有__________．（填序号）

【解析】①图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为1，3，

AB4，

对称轴xb1， 2a即2ab0；

故①正确，符合题意；

②由图象看，当x2时，y4a2bc0， 故②错误，不符合题意；

③函数的对称轴为直线x1，函数在x1时，取得最小值， 故ax2bxcabc，

即ax2bxab正确，符合题意；

④要使ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；

D到x轴的距离就是当x1时y的值的绝对值．

当x1时，yabc， 即|abc|2， 当x1时，y0， abc2，

又图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为1，3，

当x1时y0，即abc0；

当x3时，y0． 9a3bc0，

解这三个方程可得：b1，a故④正确，符合题意；

13，c， 22⑤要使ACB为等腰三角形，则必须保证ABBC4或ABAC4或ACBC， 当ABBC4时，

AO1，BOC为直角三角形，

又OC的长即为|c|， c21697，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， c7，

与2ab0、abc0联立组成解方程组，解得a同理当ABAC4时，

AO1，AOC为直角三角形，

7； 3又OC的长即为|c|， c216115，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， c15，

与2ab0、abc0联立组成解方程组，解得a同理当ACBC时

在AOC中，AC21c2， 在BOC中BC2c29， ACBC，

15； 31c2c29，此方程无解．

经解方程组可知只有两个a值满足条件． 故⑤错误． 故答案为：①③④．

15．（2020•东湖区模拟）如图，二次函数yax2bxc(a0)的图象过点(2,0)，对称轴为直x1线，下列结论中一定正确的是__________（填序号即可）．①abc0；②若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当xx1x2时，yc；③若方程a(x2)(4x)2的两根为x1，x2，且x1x2，则2x1x24；④(ac)2b2．

【解析】①函数的对称轴在y轴右侧，则ab0，而c0，故abc0，故①正确，符合题意；

②

A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：x1x2122，

当x2时，y4a2bc4a4acc，故②正确，符合题意；

③抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0)，

yax2bxca(x2)(x4) 若方程a(x2)(4x)2，

即方程a(x2)(x4)2的两根为x1，x2，

则x1、x2为抛物线与直线y2的两个交点的横坐标， x1x2，

x124x2，③错误，不符合题意；

④当x1时，yabc0， 当x1时，yabc0，

故(ac)2b2(abc)(abc)0， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④．

16．（2020•贵港一模）如图，二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，11b24ac0； ②abc0； ③关于x的方程且OAOC，对称轴为直线x1，则下列结论：①

244aax2bxc20无实根，④acb10；⑤OAOBc．其中正确结论的有__________． a

b24ac2x0，故①不正【解析】抛物线与轴有两个不同交点，因此b4ac0，开口向下，a0，因此

4a确；

抛物线与y轴交于正半轴，因此c0，对称轴为x1，所以111111abcbbcc0，故②不正确；

242244b11，也就是ab， 2a2当y2时，根据图象可得ax2bxc2有两个不同实数根，即ax2bxc20有两个不等实根，因此③不正确；

OAOC，A(c,0)代入得：ac2bcc0，即：acb10，因此④正确；

设A(x1，0)，B(x2，0)，有x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，有有x1x2c所以OAOB，故⑤正确；

acOBx2，，又OAx1，

a综上所述，正确的有④⑤， 故答案为：④⑤ 三．解答题

17．（2020•秦淮区一模）已知二次函数y(xk)22(xk)(k为常数）． （1）该函数的图象与x轴有__________个公共点；

（2）在该函数的图象上任取两点A(2k,y1)，B(2k1,y2)，试比较y1与y2的大小． 【解析】（1）函数y(xk)22(xk)x2(22k)xk22k(k为常数），

△(22k)24(k22k)40， 该函数的图象与x轴有2个交点，

故答案为2；

（2）因为点A(2k,y1)、B(2k1,y2)在y(xk)22(xk)的函数图象上， 所以y1k22k，y2(k1)22(k1)k24k3． 所以y2y1k24k3(k22k)2k3． 3当k时，y2y10，y1y2．

23当k时，y2y10，y1y2．

23当k时，y2y10，y1y2．

218．（2020•高青县一模）已知：二次函数yx22x3与一次函数y3x5． （1）两个函数图象相交吗？若相交，有几个交点？

（2）将直线y3x5向下平移k个单位，使直线与抛物线只有一个交点，求k的值．

yx22x3【解析】（1），

y3x5x1x2解得，或，

y2y11即两个函数图象相交，有两个交点；

（2）将直线y3x5向下平移k个单位，得直线y3x5k， 令x22x33x5k， 得x2x2k0，

∵直线与抛物线只有一个交点，

△b24ac124(2k)184k0，

解得，k9． 419．（2020•工业园区一模）如图，已知抛物线yx22x1与y轴相交于点A，其对称轴与抛物线相交于点B，与x轴相交于点C． （1）求AB的长；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P．若新抛物线经过原点O，且POAABC，求新抛物线对应的函数表达式．

【解析】（1）令x0，则y1， A(0,1)，

yx22x1(x1)2， B(1,2)，

AB(01)2(12)22；

（2）A(0,1)，

抛物线向上平移1个单位经过原点，此时四边形ABPO是平行四边形，

POAABC，

此时新抛物线对应的函数表达式为yx22x，

抛物线yx22x，关于y轴对称的抛物线为：yx22x，图象经过原点，且POAABC，

新抛物线对应的函数表达式为yx22x或yx22x．

20．（2020•枣阳市模拟）已知关于x的二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1,0)． （1）求c的值和a，b之间的关系式； （2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交 于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0al时，求证：S1S2为常数，并求出该常数．

【解析】（1）将点C(0,1)代入yax2bxc得c1，则yax2bx1， 将点A(1,0)代入得ab10， b(a1)；

（2）二次函数yax2(a1)x1的图象与x轴交于不同的两点，

一元二次方程ax2(a1)x10的判别式△0，

而△[(a1)]24aa22a14aa22a1(a1)2， a的取值范围是a0，且a1；

（3）0a1，

对称轴为xa1a11， 2a2aAB2(a11a1)． 2aa把y1代入yax2(a1)x1得ax2(a1)x0， 解得x10，x2CD1a， a1a， a11a11aS1S2SPCDSPABSACDSCAB111．

2a2aS1S2为常数，这个常数为1．

21．（2020•市南区一模）如图，某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度y(m)与地面水平距离x(m)之间的关系式可以用21124yx2bxc表示，且抛物线经过B(2,)，C(5,)．

555请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数关系式； （2）求遮阳棚跨度ON的长；

（3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固（点F，G分别在x轴，y轴上，且EG//x轴，EF//y轴），现有库存10米的钢材是否够用？

46242bcb555【解析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，

211655bcc5512616故抛物线的表达式为：yxx；

55512616（2）yxx，

555令y0，解得：x2（舍去）或8， 故ON8；

12616（3）设点E(x,xx)，

55512616由题意得：GEEFxxx10，

555整理得：x211x340， △(11)24340， 故方程无解，

故现有库存10米的钢材不够用．

22．（2020•宁波模拟）已知：如图，二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为(1,0)，M(2,9)为二次函数图象的顶点．

（1）求二次函数的表达式； （2）求MCB的面积．

【解析】（1）函数的表达式为：ya(x2)29， 将点A(1,0)代入上式得：0a(12)29， 解得：a1，

故抛物线的表达式为：y(x2)29，即yx24x5； （2）由yx24x5可知点C(0,5)，

A点坐标为(1,0)，对称轴为直线x2，

B(5,0)，

则直线BC函数表达式为：yx5，

把x2代入得y3，

过点M作y轴的平行线交BC于点H， 则点H(2,3)， SMCB11HMBO5615． 22