(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)

高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)

单选题

−

121、计算：2lg√5−lg4=（ ）

A．10B．1C．2D．lg5 答案：B

分析：应用对数的运算性质求值即可.

2lg√5−lg4−2=lg(√5)2+lg√4=lg5+lg2=lg10=1. 故选：B

2、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ）

1

1𝑥

−

131

A．𝑓(𝑥)=|𝑥|B．𝑓(𝑥)=(3)C．𝑓(𝑥)=lg|𝑥|D．𝑓(𝑥)=𝑥 答案：A

分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．

1

解：𝑓(𝑥)=|𝑥|是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件； 𝑓(𝑥)=()是非奇非 偶函数，不满足条件；

3

𝑓(𝑥)=lg|𝑥|是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； 𝑓(𝑥)=𝑥−3是奇函数不是偶函数，不合题意.

1

1𝑥

1

故选：A．

2,𝑥>𝑚 ，若方程𝑓(𝑥)−𝑥=0恰有三个根，那么实数𝑚的取值范围是（ ） 3、已知函数𝑓(𝑥)={2

𝑥+4𝑥+2,𝑥≤𝑚A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1] 答案：A

分析：由题意得，函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑥有三个不同的交点，结合图象可得出结果. 解：由题意可得，直线𝑦=𝑥与函数𝑓(𝑥)=2(𝑥>𝑚)至多有一个交点， 而直线𝑦=𝑥与函数𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥+2(𝑥≤𝑚)至多两个交点， 函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑥有三个不同的交点，

则只需要满足直线𝑦=𝑥与函数𝑓(𝑥)=2(𝑥>𝑚)有一个交点 直线𝑦=𝑥与函数𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥+2(𝑥≤𝑚)有两个交点即可，

如图所示，𝑦=𝑥与函数𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥+2的图象交点为𝐴(−2,−2)，𝐵(−1,−1)， 故有𝑚≥−1.

而当𝑚≥2时，直线𝑦=𝑥和射线𝑦=2(𝑥>𝑚)无交点， 故实数𝑚的取值范围是[−1,2). 故选：A.

4、下列计算中结果正确的是（ ） A．log102+log105=1B．log43=log42=2

4

log61

2

C．(log55)=3log55=−3D．3log28=3√log28=√3 答案：A

分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；

解：对于A：log102+log105=log10(2×5)=log1010=1，故A正确； 对于B：log43=log36，故B错误；

4

13

11

3

log6

对于C：(log55)=(log55−1)3=(−log55)3=−1，故C错误； 对于D：log28=log223=×3log22=1，故D错误；

3

3

3

1

1

1

13

故选：A

5、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：𝐼(𝑡)=

𝐾1+e−0.23(𝑡−53)，其中K为最大确诊病例数．当

I(𝑡∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则𝑡∗约为（ ）（ln19≈3）

A．60B．63C．66D．69 答案：C

分析：将𝑡=𝑡∗代入函数𝐼(𝑡)=1+𝑒−0.23(𝑡−53)结合𝐼(𝑡∗)=0.95𝐾求得𝑡∗即可得解. ∵𝐼(𝑡)=

，所以𝐼(𝑡∗)=−0.23(𝑡−53)𝐾

𝐾

∗1+𝑒−0.23(𝑡−53)𝐾

1+𝑒

=0.95𝐾，则𝑒0.23(𝑡

∗−53)

=19，

所以，0.23(𝑡∗−53)=ln19≈3，解得𝑡∗≈故选：C.

30.23

+53≈66.

小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号𝐹遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式𝑣=𝑣0⋅ln𝑚计算火箭的最大速度𝑣(m/s)，其中𝑣0(m/s)是喷流相对速

3

𝑀

度，𝑚(kg)是火箭（除推进剂外）的质量，𝑀(kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若某型火箭的

𝑚

𝑀

喷流相对速度为1000m/s，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge≈0.434,lg2≈0.301） A．5790m/sB．6219m/sC．42m/sD．66m/s 答案：C

分析：根据对数的换底公式运算可得结果. 𝑣=𝑣0 ln𝑚=1000×ln625=1000×故选：C．

𝑥−2,𝑥∈(−∞,0)

，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚恰有两个零点，则实数m不可能是𝑙𝑛𝑥,𝑥∈(0,1)7、已知函数𝑓(𝑥)={．．．

2

−𝑥+4𝑥−3,𝑥∈[1,+∞)（ ）

A．−1B．0C．1D．2 答案：D

解析：依题意画出函数图象，函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚的零点，转化为函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑚的交点，数形结合即可求出参数𝑚的取值范围；

𝑥−2,𝑥∈(−∞,0)

，画出函数图象如下所示， 𝑙𝑛𝑥,𝑥∈(0,1)解：因为𝑓(𝑥)={

−𝑥2+4𝑥−3,𝑥∈[1,+∞)

函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚的有两个零点，即方程𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚=0有两个实数根，即𝑓(𝑥)=𝑚，即函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑚有两个交点，由函数图象可得𝑚≤0或𝑚=1，

𝑀

4lg5lge

=1000×

4(1−lg2)lge

≈42m/s.

4

故选：D

小提示：函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

8、已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥−𝑏)（𝑎>0且𝑎≠1，𝑎，𝑏为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）

A．𝑎>0，𝑏<−1B．𝑎>0，−1<𝑏<0 C．0<𝑎<1，𝑏<−1D．0<𝑎<1，−1<𝑏<0

5

答案：D

分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解. 因为函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥−𝑏)为减函数，所以0<𝑎<1

又因为函数图象与𝑥轴的交点在正半轴，所以𝑥=1+𝑏>0，即𝑏>−1 又因为函数图象与𝑦轴有交点，所以𝑏<0，所以−1<𝑏<0， 故选：D

9、函数①𝑦=𝑎𝑥；②𝑦=𝑏𝑥；③𝑦=𝑐𝑥；④𝑦=𝑑𝑥的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，

45

√3，3，2中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）

11

A．4，√3，3，2B．√3，4，3，2 C．，，√3，，D．，，，√3，

234324答案：C

分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.

由题图，直线𝑥=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而√3>4>2>3. 故选：C．

10、若2𝑥−2𝑦<3−𝑥−3−𝑦，则（ ）

6

5

1

1

1

1

5

1

1

5

5

1

1

5

1

1

A．ln(𝑦−𝑥+1)>0B．ln(𝑦−𝑥+1)<0C．ln|𝑥−𝑦|>0D．ln|𝑥−𝑦|<0 答案：A

分析：将不等式变为2𝑥−3−𝑥<2𝑦−3−𝑦，根据𝑓(𝑡)=2𝑡−3−𝑡的单调性知𝑥<𝑦，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.

由2𝑥−2𝑦<3−𝑥−3−𝑦得：2𝑥−3−𝑥<2𝑦−3−𝑦， 令𝑓(𝑡)=2𝑡−3−𝑡，

∵𝑦=2𝑥为𝑅上的增函数，𝑦=3−𝑥为𝑅上的减函数，∴𝑓(𝑡)为𝑅上的增函数， ∴𝑥<𝑦，

∵𝑦−𝑥>0，∴𝑦−𝑥+1>1，∴ln(𝑦−𝑥+1)>0，则A正确，B错误； ∵|𝑥−𝑦|与1的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A.

小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到𝑥,𝑦的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 多选题

𝑥2+10𝑥+1,𝑥≤0

()11、设函数𝑓𝑥={，若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑎(𝑎∈𝑅)有四个实数解𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4，且𝑥1<

|lg𝑥|,𝑥>0𝑥2<𝑥3<𝑥4，则(𝑥1+𝑥2)(𝑥3−𝑥4)的值可能是（ ） A．0B．1C．99D．100 答案：BC

分析：首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到𝑥1+𝑥2=−10，根据对数函数的性质得到𝑥4=从而得到(𝑥1+𝑥2)(𝑥3−𝑥4)=−10(𝑥3−𝑥)，再根据函数单调性求解即可.

3

1𝑥3

，

1

如图所示：

7

因为关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑎(𝑎∈𝑅)有四个实数解𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4，且𝑥1<𝑥2<𝑥3<𝑥4， 所以0<𝑎≤1.

𝑦=𝑥2+10𝑥+1的对称轴为𝑥=−5，所以𝑥1+𝑥2=−10. 因为|lg𝑥3|=|lg𝑥4|，所以lg𝑥3+lg𝑥4=0，即𝑥3𝑥4=1，𝑥4=

1

1𝑥3

.

因为|lg𝑥3|≤1，所以10≤𝑥3<1. 所以(𝑥1+𝑥2)(𝑥3−𝑥4)=−10(𝑥3−

1

1

1𝑥3

)，

因为𝑦=−10(𝑥−𝑥)，10≤𝑥<1为减函数， 所以(𝑥1+𝑥2)(𝑥3−𝑥4)=−10(𝑥3−故选：BC

12、下列运算（化简）中正确的有（ ）．

16

1𝑥3

)∈(0,99].

A．(𝑎)

−1

⋅(𝑎−2)−3=𝑎2

𝑎

11

B．(𝑥𝑎𝑦)⋅(4𝑦−𝑎)=4𝑥

−1

8

C．[(1−√2)]−(1+√2)2

2

1

2

12

−1

+(1+√2)=3−2√2 52

7

2

0

D．2𝑎3𝑏3⋅(−5𝑎3𝑏3)÷(4√𝑎4𝑏5)=−𝑎3𝑏−3

3

答案：ABD

分析：根据指数幂的运算法则逐一验证即可

16对于A：(𝑎)

−1

⋅(𝑎

𝑎

−2)−31

=𝑎

−+1263=𝑎

12，故A正确；

对于B：(𝑥𝑎𝑦)⋅(4𝑦−𝑎)=4𝑥𝑎×𝑎𝑦𝑎−𝑎=4𝑥𝑦0=4𝑥，故B正确；

1212−1

1

对于C：[(1−√2)]−(1+√2)错误；

2323133

2−1

+(1+√2)=[(√2−1)]−1+02

1√2+1=√2−1−(√2−1)+1=1，故C

对于D：2𝑎𝑏⋅(−5𝑎𝑏)÷

3

(4√𝑎4𝑏5)=[2×(−5)÷4]𝑎

3+−

2433𝑏

215+−333=−2𝑎𝑏，故D正确；

5

73−

23故选：ABD

|ln𝑥|,𝑥>0

13、已知函数𝑓(𝑥)={2，若存在𝑎<𝑏<𝑐，使得𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)成立，则（ ）

−𝑥+1,𝑥≤0A．𝑏𝑐=1B．𝑏+𝑐=1 C．𝑎+𝑏+𝑐>1D．𝑎𝑏𝑐<−1 答案：AC

分析：采用数形结合可知−1<𝑎≤0，≤𝑏<1，1<𝑐≤𝑒，然后简单计算可知𝑏+𝑐>1，𝑏𝑐=1，𝑎+𝑏+

𝑒1

𝑐>1，故可知结果. 如图：

9

可知−1<𝑎≤0，𝑒≤𝑏<1，1<𝑐≤𝑒，则𝑏+𝑐>𝑐>1， 且−ln𝑏=ln𝑐，所以ln𝑏+ln𝑐=ln𝑏𝑐=0，即𝑏𝑐=1.

因为𝑏𝑐=1，所以𝑎𝑏𝑐=𝑎∈(−1,0]，𝑎+𝑏+𝑐=𝑎+𝑐 +𝑐>𝑎+2>1. 故选:AC.

14、下列各式化简运算结果为1的是（ ） A．log53×log32×log25B．lg√2+2lg5 C．log√𝑎𝑎2(𝑎>0且𝑎≠1)D．𝑒ln3−(0.125)−3 答案：AD

分析：根据指对数的运算性质依次分析各选项即可得答案. 解：对于A选项，原式=lg5×lg3×lg2=1； 对于B选项，原式=2lg2+2lg5=2lg(2×5)=2； 对于C选项，原式=2lg√𝑎𝑎=2×2=4； 对于D选项，原式=3−8=3−2=1. 故选：AD.

15、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（ ）

131

1

1

1

lg3lg2lg5

1111

10

A．2.5元B．3元 C．3.2元D．3.5元 答案：BC

𝑥−20.2

分析：设每册杂志定价为𝑥 (𝑥>2)元，根据题意由(10−×0.5)𝑥 ≥22.4，解得𝑥的范围，可得答案.

依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，

𝑥−20.2

设每册杂志定价为𝑥 (𝑥>2)元，则发行量为10−

𝑥−20.2

×0.5万册，

则该杂志销售收入为(10−

𝑥−20.2

×0.5)𝑥万元，

所以(10−

×0.5)𝑥 ≥22.4，化简得𝑥2−6𝑥+8.96≤0，解得2.8≤𝑥≤3.2，

故选：BC

小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为𝑥 (𝑥>2)元时的发行量是解题关键. 填空题

16、已知4√(𝑎−1)4+1=𝑎，化简(√𝑎−1)2+√(1−𝑎)2+√(1−𝑎)3=_________． 答案：𝑎−1

分析：根据已知条件判断𝑎的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 由已知√(𝑎−1)4+1=𝑎，即|𝑎−1|=𝑎−1，即𝑎⩾1，

所以(√𝑎−1)2+√(1−𝑎)2+√(1−𝑎)3=(𝑎−1)+(𝑎−1)+(1−𝑎)=𝑎−1， 所以答案是：𝑎−1

小提示：本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可.

17、函数f（x）＝3𝑥+3−𝑥+2，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________. 答案：（1，＋∞）

11

3𝑥−3−𝑥

3

4

3

分析：构造函数F（x）＝f（x）－2，则f（a）＋f（a－2）＞4等价于F（a）＋F（a－2）＞0，分析𝐹(𝑥)奇偶性和单调性即可求解.

3𝑥−3−𝑥3𝑥+3

3𝑥−3−𝑥3𝑥+3

32𝑥−132𝑥+1

2

设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝增函数，

−𝑥，易知F（x）是奇函数，F（x）＝−𝑥＝＝1－

32𝑥+1

在R上是

由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0， 于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1. （1，＋∞）

𝑎,𝑎≥𝑏,

18、若max{𝑎,𝑏}={则函数𝑀(𝑥)=max{log2𝑥,3−𝑥}的最小值为________．

𝑏,𝑎<𝑏,答案：1

分析：结合图象可得答案.

如图，函数𝑦=log2𝑥,𝑦=3−𝑥在同一坐标系中，

且log22=3−2=1，所以𝑀(𝑥)在𝑥=2时有最小值，即𝑀(2)=1. 所以答案是：1. 解答题

19、（1）当𝑎=−1时，解关于x的方程log2(𝑥+𝑎)=1；

（2）当𝑎=5时，要使对数log2(𝑥+𝑎)有意义，求实数x的取值范围；

12

1

1

（3）若关于x的方程log2(+𝑎)−log2[(𝑎−4)𝑥+2𝑎−5]=0有且仅有一个解，求实数a的取值范围

𝑥

1

答案：（1）𝑥=；（2）𝑥<−或𝑥>0；（3）(1,2]∪{3，4}

3

5

1

11

分析：（1）解对数方程，其中log22=1；（2）log2(𝑥+𝑎)有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为(𝑎−4)𝑥2+(𝑎−5)𝑥−1=0有且仅有一个解，对𝑎进行分类讨论，注意变形中的真数𝑥+𝑎>0要始终成立，所以要检验.

（1）∵log2(𝑥−1)=1 ∴𝑥−1=2 ∴𝑥=3

（2）对数log2(+5)有意义，则+5>0，解得：𝑥<−或𝑥>0，

𝑥

𝑥

5

1

1

1

11

1

1

所以实数x的取值范围为𝑥<−或𝑥>0；

5

1

1

（3）log2(+𝑎)−log2[(𝑎−4)𝑥+2𝑎−5]=0

𝑥

即log2(𝑥+𝑎)=log2[(𝑎−4)𝑥+2𝑎−5]

1𝑥

1

+𝑎=(𝑎−4)𝑥+2𝑎−5>0①

方程两边同乘x得：(𝑎−4)𝑥2+(𝑎−5)𝑥−1=0 即[(𝑎−4)𝑥−1](𝑥+1)=0②

当𝑎=4时，方程②的解为𝑥=−1，此时𝑥=−1代入①式，𝑎−1=3>0，符合要求 当𝑎=3时，方程②的解为𝑥=−1，此时𝑥=−1代入①式，𝑎−1=3>0，符合要求

1

当𝑎≠4且𝑎≠3时方程②的解为𝑥=−1或𝑥=𝑎−4， 若𝑥=−1是方程①的解，则𝑥+𝑎=𝑎−1>0，即𝑎>1 若𝑥=𝑎−4是方程①的解，则𝑥+𝑎=2𝑎−4>0，即𝑎>2

13

1

11

则要使方程①有且仅有一个解，则1<𝑎≤2

综上：方程log2(𝑥+𝑎)−log2[(𝑎−4)𝑥+2𝑎−5]=0有且仅有一个解，实数a的取值范围是(1,2]∪{3，4} 20、计算：（1）lg25+lg2lg50+(lg2)2； （2）𝑒ln3+log√525+(0.125)−3． 答案：（1）2；（2）11.

分析：（1）根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果；

（2）根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果. （1）原式=2lg5+lg2×(lg100−lg2)+(lg2)2

=2lg5+lg2×(2−lg2)+(lg2)2

=2×(lg5+lg2)

=2lg10

=2．

（2）原式=3+log152+[(0.5)3]−3

5222

1

=3+

2

log55+(0.5)−2 12=3+4+(2−1)−2 =3+4+22

=11．

14