二次函数压轴题解题思路(含答
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二次函数压轴题解题思路
一．基础知识 1会求解析式?
2.会利用函数性质和图像?
3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转 二．典型例题 （一）面积类
1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析：
（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答：
2
解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得
；
2
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m+2m+3）； ∴故MN=﹣m+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m+3m（0＜m＜3）． （3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m+3m）?3=﹣（m﹣）+
2
2
2
2
2
（0＜m＜3）；
．
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为
2．如图，抛物线
点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C3
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想．
分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可． （2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M． 解答：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x﹣x﹣2．
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
2
2
x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4．
4
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，解得：即 M（2，﹣3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
（二）周长类
3．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出
2
P点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求
S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值若存在，求出最大值
和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
5
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题．
分析：（1）根据抛物线y=
经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出
b，c即可；
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可； （4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可． 解答：
解：（1）∵抛物线y=∵顶点在直线x=上，∴﹣
=﹣
经过点B（0，4）∴c=4，
=，∴b=﹣
；
，得到ON=
，进而表示出
∴所求函数关系式为；
，
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5， ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）， 当x=5时，y=当x=2时，y=
∴点C和点D都在所求抛物线上；
， ，
6
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
则，解得：，∴，
当x=时，y=（4）∵MN∥BD， ∴△OMN∽△OBD， ∴
即
得ON=
，∴P（），
，
设对称轴交x于点F， 则∵
（PF+OM）?OF=（+t）×
， ， ），
，
S△PNF=×NF?PF=×（﹣t）×=S=
=﹣
（﹣（0＜t＜4），
a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．
由S△PMN=﹣t+∴当t=
2
t=﹣（t﹣）+
2
，
）．
时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，
（三）平行四边形类
7
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．. 专题：压轴题；存在型． 分析：
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入
y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣t+3t，然后根据二次函数的最值得到 当t=﹣
=时，PM最长为
=，再利用三角形的面积公式利用
2
2
2
S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值． 解答：
解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x+mx+n，得
解得
，所以抛物线的解析式是y=x﹣2x﹣3．
2
2
2
2
8
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t﹣2t﹣3）， 因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣t+3t， 当t=﹣
则S△ABM=S△BPM+S△APM=（3）存在，理由如下： ∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=
2
2
2
2
，解得，
=时，二次函数的最大值，即PM最长值为
=
．
=，
，
t2=（舍去），所以P点的横坐标是
2
；
（舍去），t2=
，所以P③当P在第三象限：PM=OB=3，t﹣3t=3，解得t1=点的横坐标是所以P点的横坐标是
．
或
．
5．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
9
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形并写出四边形
PB′A′B的两条性质．
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题． 分析：
（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；
（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可． 解答：
解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的， 又A（0，1），B（2，0），O（0，0）， ∴A′（﹣1，0），B′（0，2）． 方法一：
设抛物线的解析式为：y=ax+bx+c（a≠0）， ∵抛物线经过点A′、B′、B，
2
∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x+x+2．
2
10
方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2） 将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2）， 解得：a=﹣1，
故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x+x+2； （2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x+x+2． 连接PB，PO，PB′，
∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB， =×1×2+×2×x+×2×y， =x+（﹣x+x+2）+1， =﹣x+2x+3．
∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1， 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则 4=﹣x+2x+3， 即x﹣2x+1=0， 解得：x1=x2=1，
此时y=﹣1+1+2=2，即P（1，2）．
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍． （3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可． ①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 或用符号表示：
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
2
222
2
2
2
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6．如图，抛物线y=x﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；分类讨论． 分析：
（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．
（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．
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（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD求出P点的坐标． 解答：
解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4， ∴A（1，﹣4）．
（2）△ABD是直角三角形．
将A（1，﹣4）代入y=x﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3， ∴y=x﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3） 当y=0时，x﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3 ∴C（﹣1，0），D（3，0），
2
2
2
PB、②ABPD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程
=1，且顶点A在y=x﹣5上，
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20， BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形． （3）存在．
由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0） ∴OE=OF=5， 又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G． 设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5） 则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得：
（1﹣x1）+（1﹣x1）=18，x1﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4 ∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），
2
2
2
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存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
（四）等腰三角形类
7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；分类讨论． 分析：
（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．
（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而
O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点． 解答：
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解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×∴点B的坐标为（﹣2，﹣2
）；
2
=2，
（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2
）代入，得
，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，
y），
①若OB=OP，
则2+|y|=4，解得y=±2当y=2
2
2
2
，
=
，
时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2
不符合题意，舍去，
） |=4，
2
2
∴点P的坐标为（2，﹣2②若OB=PB，则4+|y+2解得y=﹣2
，
2
故点P的坐标为（2，﹣2
2
2
2
），
|，
2
③若OP=BP，则2+|y|=4+|y+2解得y=﹣2
，
），
故点P的坐标为（2，﹣2
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），
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8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax+ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题． 分析：
（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；
（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案． 解答：
解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠BCD=∠CAO，（1分）
16
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BCD≌△CAO，（2分） ∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分） ∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）
（2）抛物线y=ax+ax﹣2经过点B（﹣3，1）， 则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分） 解得a=，
所以抛物线的解析式为y=x+x﹣2；（7分）
（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分） 过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC．（10分）
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分） ②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分） 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分） ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）
经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x+x﹣2上．（16分）
2
2
2
9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax﹣ax﹣2经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式；
2
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（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．. 专题：代数几何综合题；压轴题． 分析：
（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，
CD=OA=2，则可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点
A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形
ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．
解答：
解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°， ∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC， ∴△BDC≌△COA， ∴BD=OC=1，CD=OA=2， ∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y=ax﹣ax﹣2过点B（3，1）， ∴1=9a﹣3a﹣2， 解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣2；
2
2
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（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形， ①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，
∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x﹣x﹣2上；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）， 同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x﹣x﹣2上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC， 得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）， 同理可证△AP3H≌△CAO， ∴HP3=OA=2，AH=OC=1，
∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x﹣x﹣2上； 故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．
2
2
2
（五）综合类
10．如图，已知抛物线y=x+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为
2
A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
19
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且
S1=6S2，求点P的坐标．
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题．
分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；
（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为
2
BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点
P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为
等腰直角三角形，则BE=
BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线
，即可求出点P的坐标．
PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组
解答：
解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n， 将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，
20
得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；
2
将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x+bx+c， 得
，解得
2
，所以抛物线的解析式为y=x﹣6x+5；
2
（2）设M（x，x﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5）， ∵MN=（﹣x+5）﹣（x﹣6x+5）=﹣x+5x=﹣（x﹣）+∴当x=时，MN有最大值
；
2
2
2
，
（3）∵MN取得最大值时，x=， ∴﹣x+5=﹣+5=，即N（，）． 解方程x﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=5﹣1=4，
∴△ABN的面积S2=×4×=5， ∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD． ∵BC=5
，
2
∴BC?BD=30， ∴BD=3
．
过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形． ∵BC⊥BD，∠OBC=45°， ∴∠EBD=45°，
∴△EBD为等腰直角三角形，BE=∵B（5，0）， ∴E（﹣1，0），
设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，
将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1 ∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．
BD=6，
21
解方程组，得，，
∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．
11．如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在
2
x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题．
22
分析：
（1）利用待定系数法求出直线解析式； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；
（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小． 如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值． 解答：
解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）． 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将C（0，1），D（1，0）代入得：解得：b=1，k=﹣1，
∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）+3， 将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）+3，解得a=∴y=
（x﹣2）+3=
2
2
2
，
．
x2+2x+1．
（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°， ∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称， ∴点E的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1）， ∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°． 又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°， ∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°， ∴△CEQ∽△CDO． （4）存在．
23
如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接
C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对
称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′； 而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″， 即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．） 如答图③所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形， ∴△QC′E为等腰直角三角形， ∴△CEC′为等腰直角三角形， ∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）． 过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6， 在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=
=
=
． ．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为
12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
24
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题． 分析：
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断； （3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 解答：
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax+bx+3． 把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3． ∵y=﹣x﹣2x+3=﹣（x+1）+4 ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）△BCD是直角三角形．
理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F． ∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3， ∴BC=OB+OC=18
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1， ∴CD=DF+CF=2
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
解得a=﹣1，b=﹣2
25
∴BD=DE+BE=20 ∴BC+CD=BD
∴△BCD为直角三角形．
解法二：过点D作DF⊥y轴于点F． 在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3 ∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1 ∴DF=CF ∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90° ∴△BCD为直角三角形． （3）①△BCD的三边，
=
=，又
=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
2
2
2
222
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=
，即
=
，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三
角形，则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=
，即
=
，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）． 则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）． 则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，总之，符合条件的点P的坐标为：
=
，即
=
，解得：e=﹣9，符合条件．
．
=
，即
=
，解得：d=1﹣3
，此
26
三．对应练习
13．如图，已知抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
2
考点：二次函数综合题．. 专题：代数几何综合题；压轴题． 分析：
（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；
（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉
y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此
时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出
27
AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后
利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解答：
解：（1）∵抛物线y=ax+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3）， ∴
，解得
，所以，抛物线的解析式为y=x﹣4x+3；
2
2
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小， 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则
，解得
，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1， ∵y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小； （3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m， 联立
2
2
2
，消掉y得，x﹣5x+3﹣m=0，
2
△=（﹣5）﹣4×1×（3﹣m）=0， 即m=﹣
时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
=﹣，
此时x=，y=﹣
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（∴AF=
﹣1=，
，0），
∵直线AC的解析式为y=x﹣1， ∴∠CAB=45°， ∴点F到AC的距离为×又∵AC=
==3
， ，
28
∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．
14．如图，已知抛物线y=﹣x+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知
2
A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）试判断△AOC与△COB是否相似并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形若存在，求出符合条件的
Q点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
求出对称
29
（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；
（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解． 解答：
解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+4的图象经过点A（﹣2，0）， ∴﹣×（﹣2）+b×（﹣2）+4=0， 解得：b=，∴抛物线解析式为 y=﹣x+x+4， 又∵y=﹣x+x+4=﹣（x﹣3）+
2
2
2
2
2
2
，∴对称轴方程为：x=3．
（2）在y=﹣x+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即﹣x+x+4=0，整理得x﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（8，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，解得k=
，b=4，
2
2
∴直线BC的解析式为：y=x+4．
（3）可判定△AOC∽△COB成立． 理由如下：在△AOC与△COB中， ∵OA=2，OC=4，OB=8， ∴
，
又∵∠AOC=∠BOC=90°， ∴△AOC∽△COB．
（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点Q（3，t），则可求得：
AC=AQ=CQ=
==
=， ， =
．
i）当AQ=CQ时，
30
有
2
2
=，
25+t=t﹣8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1（3，0）；
ii）当AC=AQ时，
有
=
，
t2=﹣5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，
有
2
=，
整理得：t﹣8t+5=0， 解得：t=4±
，
），Q3（3，4﹣
）．
∴点Q坐标为：Q2（3，4+
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+
），Q3（3，4﹣
）．
15．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x+bx﹣2的图象过C点． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分
2
31
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题． 分析： 如解答图所示：
（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式； （3）首先作出?PACB，然后证明点P在抛物线上即可． 解答：
解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°． ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°， ∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD． ∵在△AOB与△CDA中，
∴△AOB≌△CDA（ASA）． ∴CD=OA=1，AD=OB=2， ∴OD=OA+AD=3， ∴C（3，1）．
32
∵点C（3，1）在抛物线y=x+bx﹣2上， ∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣． ∴抛物线的解析式为：y=x﹣x﹣2．
2
2
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=∴S△ABC=AB=．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1）， ∴
，
2
．
解得k=﹣，b=2， ∴y=﹣x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣． 如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x． △CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x． 由题意得：S△CEF=S△ABC， 即： EF?h=S△ABC， ∴（﹣x）?（3﹣x）=×， 整理得：（3﹣x）=3， 解得x=3﹣
或x=3+
（不合题意，舍去），
时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
2
∴当直线l解析式为x=3﹣（3）存在． 如答图2所示，
33
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1． 过点A作AP∥BC交y轴于点W， ∵四边形ACBP是平行四边形，
∴AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形． 过点P作PH⊥x轴于点H， ∵BC∥AP， ∴∠CBO=∠AWO， ∵PH∥WO， ∴∠APH=∠AWO， ∴∠CBG=∠APH， 在△PAH和△BCG中，
∴△PAH≌△BCG（AAS）， ∴PH=BG=1，AH=CG=3， ∴OH=AH﹣OA=2， ∴P（﹣2，1）．
抛物线解析式为：y=x﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上． ∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．
2
34
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