1、行列式
1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2n行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、Aij和aij的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为
A;
3. 代数余子式和余子式的关系:
Mij(1)ijAijAij(1)ijMij
4. 设n行列式D:
n(n1)将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1(1)2D;
n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D2(1)2D;
将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3D;
将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4D;
5. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
1
n(n1)②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2;
③、上、下三角行列式(◥◣):主对角元素的乘积;
n(n1)④、
◤和
◢:副对角元素的乘积(1)2;
AOCA⑤、拉普拉斯展开式:CBACOBAB、BOOABC(1)mnAB
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
nn6. 对于n阶行列式
A,恒有:
EA(1)kSknkk1,其中Sk为k阶主子式;7. 证明
A0的方法:
①、
AA;
②、反证法;
③、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解;
④、利用秩,证明r(A)n;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
2
1. A是n阶可逆矩阵:
A0(是非奇异矩阵);
r(A)n(是满秩矩阵)
A的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组Ax0有非零解;
bRn,Axb总有唯一解;
A与E等价;
A可表示成若干个初等矩阵的乘积;
A的特征值全不为0;
ATA是正定矩阵;
A的行(列)向量组是Rn的一组基;
A是Rn中某两组基的过渡矩阵;
2. 对于n阶矩阵A:AA*A*AAE 无条件恒成立;3.
(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1
3
4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:
A1AA2若As,则:
Ⅰ、
AA1A2As;
A11A1A12Ⅱ、
A1s;
AO1A1O②、OBOB1;(主对角分块)
1OAOB1③、BOA1O;(副对角分块)
1A1A1CB1④、
ACOBOB1;(拉普拉斯)
1O⑤、AOCBA1B1CA1B1;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
FEmn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:r1. 一个OOOmn;
4
等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵A、B,若r(A)r(B)AB;
2. 行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
r①、 若
(A,E)(E,X),则A可逆,且XA1;
②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A1B,即:
(A,B)c(E,A1B); r③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Axb,如果(A,b)(E,x),则A可逆,且xA1b;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;12②、n,左乘矩阵A,i乘A的各行元素;右乘,i乘A的各列元素;
5
11111③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)1E(i,j),例如:11; 111④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且
E(i(k))1E(i(1))k11k(k0)k,例如:1;
11kk111(k0)⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k)),如:11;5. 矩阵秩的基本性质:
①、0r(Amn)min(m,n);
②、
r(AT)r(A);
③、若AB,则r(A)r(B);
④、若P、Q可逆,则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B);(※)
⑥、r(AB)r(A)r(B);(※)
⑦、r(AB)min(r(A),r(B));(※)
⑧、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且AB0,则:(※)
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解(转置运算后的结论);
6
Ⅱ、r(A)r(B)n
⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)r(A)r(B)n;
6. 三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
1ac01b②、型如001的矩阵:利用二项展开式; n0n1n1nm二项展开式:
(ab)CnaCnab1CmnabmCn1a1bn1nCnbnnnCmmnmnabm0;
注:Ⅰ、(ab)n展开后有n1项;
n(n1)(nm1)n!Ⅱ、
Cmn123mm!(nm)!C0Cnnn1
mnmm1nrⅢ、组合的性质:
CnCnCmn1CCmnn Cn2nrCrnCr1nn1r0;
③、利用特征值和相似对角化:
7. 伴随矩阵:
r(A)nr(A*)n1r(A)n1①、伴随矩阵的秩:
0r(A)n1;
A*②、伴随矩阵的特征值:
(AXX,AAA1A*XAX);
7
③、
A*AA1、
A*An1
8. 关于A矩阵秩的描述:
①、r(A)n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;(两句话)
②、r(A)n,A中有n阶子式全部为0;
③、r(A)n,A中有n阶子式不为0;
9. 线性方程组:Axb,其中A为mn矩阵,则:
①、m与方程的个数相同,即方程组Axb有m个方程;
②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为n元方程;
10. 线性方程组Axb的求解:
①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2①、am1x1am2x2anmxnbn;
8
a11a12a1nx1ba21a22ax12n2b2Ax②、am1am2abmnxmbm(向量方程,A为mn矩阵,m个方程,n个未知数)
x1b1a1a2anx2b2③、
xn(全部按列分块,其中bn);
④、a1x1a2x2anxn(线性表出)
⑤、有解的充要条件:r(A)r(A,)n(n为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
1. m个n维列向量所组成的向量组A:1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m);
T1BT2m个n维行向量所组成的向量组B:TT1,2,,Tm构成mn矩阵Tm;
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
2. ①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出 Axb是否有解;(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示 AXB是否有解;(矩阵方程)
3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax0和Bx0同解;(P101例14)
9
4.
r(ATA)r(A);(P101例15)
5. n维向量线性相关的几何意义:
①、线性相关 0;
②、,线性相关
,坐标成比例或共线(平行);
③、,,线性相关
,,共面;
6. 线性相关与无关的两套定理:
若1,2,,s线性相关,则1,2,,s,s1必线性相关;
若1,2,,s线性无关,则1,2,,s1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量,构成n维向量组B:
若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs;
向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)r(B);
向量组A能由向量组B线性表示
AXB有解;
10
r(A)r(A,B)
向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)
8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl,使AP1P2Pl;
①、矩阵行等价:A~BPAB(左乘,P可逆)Ax0与Bx0同解
r②、矩阵列等价:A~BAQB(右乘,Q可逆);
c③、矩阵等价:A~BPAQB(P、Q可逆);
9. 对于矩阵Amn与Bln:
①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;
②、若A与B行等价,则Ax0与Bx0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵A的行秩等于列秩;
10. 若AmsBsnCmn,则:
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;
②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)
11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
11
①、ABx0 只有零解Bx0只有零解;
②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解;
12. 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为:
(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K(BAK)
其中K为sr,且A线性无关,则B组线性无关r(K)r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r;充分性:反证法)
注:当rs时,K为方阵,可当作定理使用;
13. ①、对矩阵Amn,存在Qnm,AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关;
②、对矩阵Amn,存在Pnm,PAEn r(A)n、P的行向量线性无关;
14. 1,2,,s线性相关
存在一组不全为0的数k1,k2,,ks,使得k11k22kss0成立;(定义)
(1,2,x1x,s)20xs有非零解,即Ax0有非零解;
r(1,2,,s)s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
15. 设mn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为:r(S)nr;
12
16. 若为Axb的一个解,1,2,*,nr为Ax0的一个基础解系,则*,1,2,,nr线性无关;
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵ATAE或A1AT(定义),性质:
1aiTaj0①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即
ijij(i,j1,2,n);
②、若A为正交矩阵,则A1AT也为正交阵,且
A1;
③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;
注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
2. 施密特正交化:(a1,a2,,ar)
b1a1;
bb1,ar]2a1,a2]2[b[bbb1b[b2,ar]r1,ar]1,1]
brar[[b]1[bb2[bbr11,b12,b[b2]r1,br1];
3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;
4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B;
PAQB,P、Q可逆;
13
r(A)r(B),A、B同型;
②、A与B合同 CTACB,其中可逆;
xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数;
③、A与B相似 P1APB;
5. 相似一定合同、合同未必相似;
若C为正交矩阵,则CTACBAB,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);6. A为对称阵,则A为二次型矩阵;
7. n元二次型xTAx为正定:
A的正惯性指数为n;
A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CTACE;
A的所有特征值均为正数;
A的各阶顺序主子式均大于0;
aii0,A0;(必要条件)
14
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