线性代数期末复习知识点考点总结

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为

A；

3. 代数余子式和余子式的关系：

Mij(1)ijAijAij(1)ijMij

4. 设n行列式D：

n(n1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)2D；

n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2(1)2D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

1

n(n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

n(n1)④、

◤和

◢：副对角元素的乘积(1)2；

AOCA⑤、拉普拉斯展开式：CBACOBAB、BOOABC(1)mnAB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

nn6. 对于n阶行列式

A，恒有：

EA(1)kSknkk1，其中Sk为k阶主子式；7. 证明

A0的方法：

①、

AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；

④、利用秩，证明r(A)n；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

2

1. A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）；

r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax0有非零解；

bRn，Axb总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

A的特征值全不为0；

ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基；

A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA*A*AAE 无条件恒成立；3.

(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1

3

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1AA2若As，则：

Ⅰ、

AA1A2As；

A11A1A12Ⅱ、

A1s；

AO1A1O②、OBOB1；（主对角分块）

1OAOB1③、BOA1O；（副对角分块）

1A1A1CB1④、

ACOBOB1；（拉普拉斯）

1O⑤、AOCBA1B1CA1B1；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

FEmn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r1. 一个OOOmn；

4

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

r①、 若

(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：

(A,B)c(E,A1B)； r③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；12②、n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；

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11111③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：11； 111④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且

E(i(k))1E(i(1))k11k(k0)k，例如：1；

11kk111(k0)⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：11；5. 矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、

r(AT)r(A)；

③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）

⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）

⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

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Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1ac01b②、型如001的矩阵：利用二项展开式； n0n1n1nm二项展开式：

(ab)CnaCnab1CmnabmCn1a1bn1nCnbnnnCmmnmnabm0；

注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

n(n1)(nm1)n!Ⅱ、

Cmn123mm!(nm)!C0Cnnn1

mnmm1nrⅢ、组合的性质：

CnCnCmn1CCmnn Cn2nrCrnCr1nn1r0；

③、利用特征值和相似对角化：

7. 伴随矩阵：

r(A)nr(A*)n1r(A)n1①、伴随矩阵的秩：

0r(A)n1；

A*②、伴随矩阵的特征值：

(AXX,AAA1A*XAX)；

7

③、

A*AA1、

A*An1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；

③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；

10. 线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2①、am1x1am2x2anmxnbn；

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a11a12a1nx1ba21a22ax12n2b2Ax②、am1am2abmnxmbm（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）

x1b1a1a2anx2b2③、

xn（全部按列分块，其中bn）；

④、a1x1a2x2anxn（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1. m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)；

T1BT2m个n维行向量所组成的向量组B：TT1,2,,Tm构成mn矩阵Tm；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 Axb是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)

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4.

r(ATA)r(A)；(P101例15)

5. n维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关 0；

②、,线性相关

,坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关

,,共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；

向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

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r(A)r(A,B)

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)

8. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2Pl；

①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

r②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；

c③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）；

9. 对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵A的行秩等于列秩；

10. 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

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①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12. 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为：

(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关；

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn r(A)n、P的行向量线性无关；

14. 1,2,,s线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0成立；（定义）

(1,2,x1x,s)20xs有非零解，即Ax0有非零解；

r(1,2,,s)s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：r(S)nr；

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16. 若为Axb的一个解，1,2,*,nr为Ax0的一个基础解系，则*,1,2,,nr线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：

1aiTaj0①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即

ijij(i,j1,2,n)；

②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且

A1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

bb1,ar]2a1,a2]2[b[bbb1b[b2,ar]r1,ar]1,1]

brar[[b]1[bb2[bbr11,b12,b[b2]r1,br1];

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆；

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r(A)r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 CTACB，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

③、A与B相似 P1APB；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7. n元二次型xTAx为正定：

A的正惯性指数为n；

A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTACE；

A的所有特征值均为正数；

A的各阶顺序主子式均大于0；

aii0,A0；(必要条件)

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