2021_2022学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语综合测试含解析新人教A版必修第一册

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．给出下列四个关系式：①7∈R；②Z∈Q；③0∈∅； ④∅⊆{0}，其中正确的个数是( B ) A．1 C．3

B．2 D．4

[解析] ①7是实数，可得7∈R，②Z是整数集，Q是有理数集，可得Z⊆Q；③0是元素，而∅是不含任何元素的集合，可知0∉∅；④∅是空集，而{0}是集合，那么∅⊆{0}．综上分析可知，①④正确，故选B．

2．命题“∀x＞0，x2－2x＋1＞0”的否定是( A ) A．∃x＞0，x2－2x＋1≤0 C．∃x≤0，x2－2x＋1≤0

B．∀x＞0，x2－2x＋1≤0 D．∀x≤0，x2－2x＋1≤0

[解析] 含有量词的命题的否定，一改量词将“∀”改为“∃”，二否结论将“＞”改为“≤”，条件不变，故选A．

3．设a∈R，则a＞3是|a|＞3的( D ) A．既不充分也不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．充分不必要条件

[解析] 由“a＞3”能推出“|a|＞3”，充分性成立；反之由|a|＞3无法推出a＞3，必要性不成立．故选D．

4．已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为( D )

11A．或－

3211

C．或－或0

32

11

B．－或 3211D．－或或0

32

[解析] A＝{－3,2}，∵B⊆A，∴－3∈B或2∈B或B＝∅；∴－3a－1＝0，或2a－1＝0或a11

＝0．∴a＝－或或0．故选D．

32

m

5．已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的( A )

n

- 1 -

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

mm

[解析] 由－1＝0得＝1，得m＝n，m－n＝0，即充分性成立；当m＝n＝0时，满足

nnmm

m－n＝0，但－1＝0无意义，即必要性不成立，即“－1＝0”是“m－n＝0”成立的充分

nn不必要条件，故选A．

6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是( C ) A．9 C．7

B．8 D．6

[解析] x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝－3．

所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2,5,6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C．

7．命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)＞n”的否定形式是( C ) A．∀n∈N，f(n)∉N且f(n)≤n C．∃n∈N，f(n)∉N或f(n)≤n

B．∀n∈N，f(n)∉N且f(n)＞n D．∃n∈N，f(n)∉N或f(n)＞n

[解析] 命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)＞n”的否定形式是∃n∈N，f(n)∉N或f(n)≤n，故选C．

8．已知全集U＝R，M＝{x|x＜－1}，N＝{x|x(x＋2)＜0}，则图中阴影部分表示的集合是( A )

A．{x|－1≤x＜0} C．{x|－2＜x＜－1}

[解析] 题图中阴影部分为N∩(∁UM)， 因为M＝{x|x＜－1}， 所以∁UM＝{x|x≥－1}，

又N＝{x|x(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜0}， 所以N∩(∁UM)＝{x|－1≤x＜0}．故选A．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，

- 2 -

B．{x|－1＜x＜0} D．{x|x＜－1}

有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9．下列命题中，是全称量词命题的有( BC ) A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立 B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立 C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立 D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立

[解析] A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题．故选BC．

10．下列命题中真命题的是( AB ) A．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分条件 B．“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件 C．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充分条件 D．“a＞b”是“ac2≤bc2”的必要条件

[解析] 当a＞b＞0时a2＞b2，A正确；B正确；对于C，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但|a|＜|b|，故C不正确；对于D，“a＞b”与“ac2≤bc2”没有关系，不能相互推出，因此不正确．故选AB．

11．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有( CD )

A．－1 C．1

B．0 D．3

[解析] ∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1,3}，故选CD． 12．设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有( BCD ) A．A∪B＝B C．(∁UA)⊆(∁UB)

B．(∁UA)∩B＝∅ D．A∪(∁UB)＝U

[解析] 由Venn图可知，B，C，D都是充要条件，故选BCD．

- 3 -

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，若A∪B＝{－1，a,1}，则a＝__0__．

2a＝a≠1，

[解析] 由题意可知解得a＝0．

a≠－1，

14．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－3x＋a＝0}，若A∩B≠∅，则a的值为__3或6或9__． aaaa

[解析] 由题意可知B＝{x|x＝}．若A∩B≠∅，则＝1或＝2或＝3，得a＝3或6或9．

33339

15．已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}，若A中只含有一个元素，则a的值为__0或__；

49

若A的真子集个数是3，则a的范围是__(－∞，0)∪(0，)__．

4

a≠09

[解析] 集合A中只含一个元素．∴a＝0或，解得a＝0或a＝；

4

Δ＝9－4a＝0

∵A的真子集个数是3个， ∴ax2－3x＋1＝0有两个实根，

a≠0，9∴解得a＜0或0＜a＜．

4

Δ＝9－4a＞0，

9∴a的取值范围是(－∞，0)∪(0，)．

4

16．在下列所示电路图中，下列说法正确的是__(1)(2)(3)__(填序号)．

(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件； (2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件； (3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件； (4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．

- 4 -

[解析] (1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件，因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件，因此正确；(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此错误．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设全集为R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}． (1)求A∪(∁RB)；

(2)若C＝{x|a－1≤x≤a＋3}，A∩C＝A，求实数a的取值范围．

[解析] (1)∵全集为R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴∁RB＝{x|x＜3}．∴A∪(∁RB)＝{x|x＜4}．

(2)由A∩C＝A，知A⊆C， a＋3≥a－1，

由题意知C≠∅，∴a＋3≥4，

a－1≤2，

解得1≤a≤3．

∴实数a的取值范围是{a|1≤a≤3}．

18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (2)末位是0的实数能被2整除； (3)∃x＞1，x2－2＞0； (4)存在实数没有算术平方根； (5)奇数的平方还是奇数．

[解析] (1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，真命题． (2)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题． (3)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，真命题． (4)命题“存在实数没有算术平方根”，是存在量词命题，真命题． (5)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．

3

19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|－5＜x＜}，C＝{x|1－2a＜x＜

22a}．

- 5 -

(1)若C＝∅，求实数a的取值范围；

(2)若C≠∅且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围． [解析] (1)因为C＝{x|1－2a＜x＜2a}＝∅， 1

所以1－2a≥2a，所以a≤，

41

即实数a的取值范围是{a|a≤}．

4(2)因为C＝{x|1－2a＜x＜2a}≠∅， 1

所以1－2a＜2a，即a＞．

4

3

因为A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|－5＜x＜}，

23

所以A∩B＝{x|－1＜x＜}，

2

3

因为C⊆(A∩B)，所以2a≤2，1a＞4，1－2a≥－1，

13

解得＜a≤，

44

13

即实数a的取值范围是{a|＜a≤}．

44

20．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|4x－1＞x＋2}，B＝{x|－1＜x＜2m－3}．

(1)当m＝4时，求(∁UA)∩B；

(2)若A∩B恰好包含了两个整数，写出这两个整数构成的集合的所有子集． [解析] (1)因为全集U＝R，集合A＝{x|4x－1＞x＋2}＝{x|x＞1}， 当m＝4时，∁UA＝{x|x≤1}，集合B＝{x|－1＜x＜5}， 所以(∁UA)∩B＝{x|－1＜x≤1}． (2)因为A＝{x|4x－1＞x＋2}＝{x|x＞1}， B＝{x|－1＜x＜2m－3}．

A∩B恰好包含了两个整数，则这两个整数是2,3， 则集合{2,3}的所有子集为：∅，{2}，{3}，{2,3}．

21．(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条

- 6 -

1

件是－＜m＜0．

3

1

[解析] (1)充分性：∵－＜m＜0，

3

∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m＞0， 且－3m＞0，

∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．

(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，

Δ＝4＋12m＞0，1则有解得－＜m＜0．

3

x1x2＝－3m＞0，

1

综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－＜m＜0．

322．(本小题满分12分)(1)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；

(2)已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m＜x＜2m－1}，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

[解析] (1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

1－m≥－2，1－m＞－2，故有或解得m≤3．

1＋m＜101＋m≤10，

又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}． (2)因为p是q的充分条件，所以A⊆B， 如图：

－m＜－1，则解得m＞3． 2m－1＞5，

- 7 -

所以实数m的取值范围为{m|m＞3}．

- 8 -