高中数学-对数函数加指数函数知识点

课题:指数函数 对数函数

指数与指数函数

自主梳理

1．指数幂的概念 (1)根式

如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫n做________，其中n>1且n∈N*.式子a叫做________，这里n叫做________，a叫做____________．

(2)根式的性质

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．

n③(a)n＝____. ④当n为偶数时，

n

a， a≥0，

a＝|a|＝

－a，a<0.

n

n

⑤当n为奇数时，an＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零． 2．有理指数幂

(1)分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂是a＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．

②正数的负分数指数幂是a＝____________＝______________(a>0，m，n∈N*，n>1)． ③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质

①aras＝________(a>0，r，s∈Q)．②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 a>1 00时，______；当x<0(5)当x>0时，________；当时，______ x<0时，______ (6)在(－∞，＋∞) 上是(7)在(－∞，＋∞) 上是______ ______ mnmn性质 自我检测 1．下列结论正确的个数是 ( )

- 1 -

32

①当a<0时，(a)＝a3；②an＝|a|；③函数y＝(x2)－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1. A．0 B．1 C．2 D．3

2x

2．函数y＝(a－3a＋3)a是指数函数，则有 ( ) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1

2n12

3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是 ( )

A．a－－

4．若a>1，b>0，且ab＋ab＝22，则ab－ab的值等于 ( ) A.6 B．2或－2 C．－2 D．2

x－b

5．(2011·六安模拟)函数f(x)＝a的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( )

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0探究点一 有理指数幂的化简与求值

例1 已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a探究点二 指数函数的图象及其应用

1＋

例2 已知函数y＝()|x1|.

3

(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．

－

ex＋ex

变式迁移2 (2009·山东)函数y＝x－x的图象大致为 ( )

e－e

－

－

7探究点三 指数函数的性质及应用

例3 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

- 2 -

11

变式迁移3 (2011·龙岩月考)已知函数f(x)＝(x＋)x3.

2－12

(1)求f(x)的定义域 ； (2)证明：f(－x)＝f(x)； (3)证明：f(x)>0.

分类讨论思想的应用

例 (12分)已知f(x)＝

2a－

(ax－ax)(a>0且a≠1)． a－1

(1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性；

(3)当x∈[－1,1]时f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．

【突破思维障碍】

本例第(2)(3)问是难点，讨论f(x)的单调性对参数a如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一． 【易错点剖析】

aa－

在(2)中，函数的单调性既与ax－ax有关，还与2的符号有关，若没考虑2的符号就会出错，另a－1a－1

外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的．

1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．

2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．

3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0一、选择题(每小题5分，共25分)

- 3 -

x

1．函数y＝2的值域是 ( ) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[2，＋∞)

xxa

2．函数y＝(0|x|

4x＋1

3．函数f(x)＝x的图象 ( )

2

A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

aa≤b，x

4．定义运算ab＝则函数f(x)＝的图象是( )

ba>b，

5．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( ) A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)

1

C．(1，＋∞) D．(0，)

21 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题4分，共12分) －x＋3a，x<0，

6．函数f(x)＝x(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是________．

a， x≥0

－

7．设函数f(x)＝x(ex＋aex)，x∈R是偶函数，则实数a＝________.

8．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________． 三、解答题(共38分)

－2x＋b

9．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋a

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

- 4 -

对数与对数函数

自主梳理

1．对数的定义

如果________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．

2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a≠1)

logNN①aa＝____； ②loga1＝____；③logaa＝____； ④logaa＝____.

(2)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝

1，推广logablogbclo＝________.

logba(3)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

M

①loga(MN)＝___________________________；②loga＝______________________；

N

n

③logaM＝__________(n∈R)；

nn④logamM＝logaM.

m

3．对数函数的图象与性质 a>1 01时，______ (5)当x>1时，______当0自我检测 1．2log510＋log50.25的值为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4

11

2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值为 ( )

ab

A.10 B．10 C．20 D．100

1x

3．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝2；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)的值为 ( ) 1113A. B. C. D. 241288

- 5 -

1

4．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f()＝0，则满足f(log1x)>0的x的取值范围是

3

8

( )

1

D．(0，)

2

111

B．(0，)∪(2，＋∞) C．(0，)∪(，2)

282

5．已知0探究点一 对数式的化简与求值 A．(0，＋∞) 例1 计算：(1)log23(23)；

1324

(2)lg－lg8＋lg245； 2493

x－y

(3)已知2lg＝lg x＋lg y，求log(322

2)x. y

探究点二 含对数式的大小比较 例2 (1)比较下列各组数的大小．

26①log3与log5；

35

②log1.10.7与log1.20.7.

111

(2)已知logb222

变式迁移2 (1)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则 ( ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a

11

(2)设a，b，c均为正数，且2a＝log1a，()b＝log1b，()c＝log2c，则

22

22( )

A．a探究点三 对数函数的图象与性质

D．b1

例3 已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．

3

变式迁移3 已知函数f(x)＝|lg x|，若0分类讨论思想的应用 例 (12分)已知函数f(x)＝loga(1－a)(a>0，a≠1)． (1)解关于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)；

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.

x

- 6 -

【突破思维障碍】

解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a>1或01．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： (1)确定定义域；

(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)； (3)分别确定这两个函数的单调区间；

(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．

2．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较 例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小， 其中a>0且a≠1.

①若a>1，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0. ②若0logag(x)⇔0图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根．对于logaf(x)>logag(x)等价于

f(x)0,f(x)0,01时，g(x)0,

f(x)g(x);f(x)g(x).(2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般采用换元法求解．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1

1．设M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于

2

( ) A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)

1

2．设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则 ( )

2

A．a- 7 -

logx，x>0，2

3．若函数f(x)＝1若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )

log－x，x<0，2

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)

4．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有 ( )

11A．f()C．f()23

11

D．f(2)5．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为 ( )

11A. B. C．2 D．4 241 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 2

6．2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22＝________.

3

ax＋a－2

7．已知函数f(x)＝lg在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．

x

8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________. 三、解答题(共38分)

9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．

10．(12分)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集．

11．(14分)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1)求y＝f(x)的定义域；

(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴； (3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

- 8 -