青冈县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

青冈县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知函数

，函数

，其中b∈R，若函数y=f（x）

﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

2． 已知命题“如果﹣1≤a≤1，那么关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ） A．0个

B．1个

C．2个

D．4个

=2，则四面体D﹣ABC中最长

3． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+棱的长度为（ ）

A． 4． （

B．2 +

C． D．3

2n*

）（n∈N）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）

A．120 B．210 C．252 D．45

5． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，）

B．（﹣，+∞）

C．（0，+∞）

D．（﹣∞，﹣）

6． e1,e2是平面内不共线的两向量，已知ABe1ke2，CD3e1e2，若A,B,D三点共线，则的值是（ ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

7． Sn是等差数列{an}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（ ）

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精选高中模拟试卷

A．S18＝72 C．S20＝80

B．S19＝76 D．S21＝84

8． 幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，﹣），则满足f（x）=27的x的值是（ ） A．

B．﹣ C．3

D．﹣3

9． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心

y210．过抛物线y2px(p0)焦点F的直线与双曲线x-=1的一条渐近线平行，并交其抛物线于A、 8B两点，若AF>BF，且|AF|3，则抛物线方程为（ ）

22A．yx B．y2x C．y4x D．y3x

【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力． 11．为得到函数A．向左平移C．向左平移

个长度单位 个长度单位

的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）

B．向右平移D．向右平移

个长度单位 个长度单位

，则

222212．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若实数a的取值范围是（ ） A．C．

B．

D．

二、填空题

13．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB×AC的值为_______．

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CAB

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 14．如图，在矩形ABCD中，AB3， BC3， E在AC上，若BEAC， 则ED的长=____________ 15．椭圆

+

=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．

16．在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R， 则2的取值范围是___________．

17．如图，在三棱锥PABC中，PAPBPC，PAPB，PAPC，△PBC为等边三角形，则PC 与平面ABC所成角的正弦值为______________.

【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．

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18．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.

（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；

（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值．

三、解答题

19．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为

20．已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前项和，a1b11，且b3S336，

，求直线l的方程．

b2S28（nN*）．

（1）求an和bn； （2）若anan1，求数列

21．已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量﹣1的一个特征向量（Ⅰ）求矩阵M；

5（Ⅱ）求M

1的前项和Tn．

anan1=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值

=， =

．

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22．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转（Ⅰ）求点A的坐标；

（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，

23．（本题满分12分）设向量a(sinx,]的值域．

后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．

3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数 2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)

24．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，

（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；

1，a2，求ABC面积的最大值. 2第 5 页，共 18 页

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（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．

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青冈县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

2

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，

若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：

22

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．

22

当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22

当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，

故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，

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则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

2． 【答案】C

22

【解析】解：若不等式（a﹣4）x+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”， 则根据题意需分两种情况： ①当a2﹣4=0时，即a=±2，

，解得

．

，

若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去， 若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意； ②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，

22

∵（a﹣4）x+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，

∴

综上得，实数a的取值范围是

则当﹣1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题， 反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题， 故选：C．

故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，

【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．

3． 【答案】 B

【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1， 即AD•

≥1，

≥2

=2，

因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=得BD=

=1时，等号成立，

，

，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=

，故最长棱的长为2．

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故选B．

【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．

4． 【答案】

B

【解析】

【专题】二项式定理．

【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项． 【解答】解：由已知（

+

2n*

）（n∈N）展开式中只有第6项系数为

最大，

所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5， 又展开式的通项为令5﹣

=0解得k=6，

=210；

=

，

所以展开式的常数项为故选：B 5． 【答案】D

【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．

2

【解析】解：当x∈（0，）时，2x+x∈（0，1），

∴0＜a＜1，

22

∵函数f（x）=loga（2x+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间． t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣）， ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）， 故选：D． 大于0条件．

6． 【答案】B 【解析】

【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数

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考点：向量共线定理． 7． 【答案】

【解析】选B.∵3a8－2a7＝4， ∴3（a1＋7d）－2（a1＋6d）＝4，

18×17d17

即a1＋9d＝4，S18＝18a1＋＝18（a1＋d）不恒为常数．

2219×18d

S19＝19a1＋＝19（a1＋9d）＝76，

2同理S20，S21均不恒为常数，故选B. 8． 【答案】A

α

【解析】解：设幂函数为y=x，因为图象过点（﹣2，﹣），所以有33

所以幂函数解析式为y=x﹣，由f（x）=27，得：x﹣=27，所以x=．

=（﹣2）α，解得：α=﹣3

故选A．

9． 【答案】D

【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆心（2,1），半径2． 圆心到直线的距离为：

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。 故答案为：D 10．【答案】C

圆

：

，所以直线与圆相交。

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ìy0=22ïpïx-ï02ïïppï【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为y=22x，设A(x0,y0)，则x0>，所以íx0+=3，

22ïï2ïy0=2px0ïïïîpp解得p=2或p=4，因为3->，故0【解析】解：∵

只需将函数y=sin2x的图象向左平移故选A．

个单位得到函数

，

的图象．

【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．

12．【答案】 A 【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x， ∵f（x+a）＜f（x）， ∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|， （1）x＜0时，解得﹣＜x＜0； （2）0≤x≤时，解得0（3）x＞时，解得

； ，

综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D； 取a=1时，f（x）=x|x|+x，

（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾； （2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾； （3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C， 故选A．

∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，

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【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．

二、填空题

13．【答案】8

14．【答案】

21 2

【解析】在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.

3

因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2

2

3332121

－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.

4224215．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2则P到直线的距离为d=当sin（θ﹣故答案为：4

）=1时，d取得最大值为4．

，

sinθ）

=

，

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16．【答案】1,1 【解析】

考

点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 17．【答案】 【

21 7解

析

】

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18．【答案】

【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．① 将①与拋物线x2＝2py联立得， x2－2pkx＋4p2t（k－t）＝0，

解得x1＝2pt，x2＝2p（k－t），将x2＝2p（k－t）代入x2＝2py得y2＝2p（k－t）2，∴P点的坐标为（2p（k－t），2p（k－t）2）．

由于l1与l2的倾斜角互补，∴点Q的坐标为（2p（－k－t），2p（－k－t）2）， ∴kPQ＝

2p（－k－t）2－2p（k－t）22p（－k－t）－2p（k－t）

＝－2t，

即直线PQ的斜率为－2t.

x2x

（2）由y＝得y′＝，

2pp

2pt

∴拋物线C在M（2pt，2pt2）处的切线斜率为k＝＝2t.

p其切线方程为y－2pt2＝2t（x－2pt）， 又C的准线与y轴的交点T的坐标为（0， p

－）． 2p

∴－－2pt2＝2t（－2pt）．

2

11

解得t＝±，即t的值为±.

22

三、解答题

19．【答案】

22

【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x+（y+7）=25，

所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．… 因为直线l被圆所截得的弦长是所以，弦心距为

即圆心到所求直线l的距离为

．…

，

，

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因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0． 所以圆心到直线l的距离为因此，

，…

解得b=﹣2，或b=﹣12．… 即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．… 与弦长一半的平方的和的灵活运用．

所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．

【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方

20．【答案】（1）an2n1，bn2n1或an【解析】

1n(52n)，bn6n1；（2）. 32n1试题解析：（1）设an的公差为d，bn的公比为，

2q2(33d)36,d2,d,由题意得解得或3

q2,q6.q(2d)8,1∴an2n1，bn2n1或an(52n)，bn6n1．

3（2）若anan+1，由（1）知an2n1，

11111∴()， anan1(2n1)(2n1)22n12n1111111n)∴Tn(1…．

23352n12n12n1考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用. 21．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）设M=则又

=4

==（﹣1）

，∴

=

① ，∴

；

②

由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=（Ⅱ）易知

5∴M

=0•+（﹣1）=

．

，

=（﹣1）6

【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，

）．

∴tanθ=tan（α+）==，

∴由解得，

∴点A的坐标为（，）．

（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x==

sin（2x+

）

∈[

，

]，

sin2x+

cos2x

由x∈[0，∴sin（2x+

]，可得2x+）∈[﹣

，1]，

，

]．

∴函数f（x）的值域为[﹣

【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交

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汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.

24．【答案】

【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF， 由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点， ∴DF∥BC1，

∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD； …

（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角． DF=BC1=

=1，A1D=

=

，A1F=A1C=1．

=

，

在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF=∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=

，

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∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…

=1．

（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB， ∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD=∴

=

﹣S△BDE﹣

﹣…

=

∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=

【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．

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