七升八数学暑假衔接

目 录 第 一 讲 相交线与平行线的相关概念 第 二 讲 直线相交时有关角的求法 第 三 讲 相交线与平行线中的拐角问题 第 四 讲 相交线与平行线中的折叠问题 第 五 讲 平面直角坐标系中的相关结论 第 六 讲 图形的平移及点的坐标的变化 第 七 讲 实数中分类讨论的数学思想 第 八 讲 实数中数形结合的数学思想 第 九 讲 实数中整体代入的数学思想 第 十 讲 方程组的解法（代入、加减） 第十一讲 用二元一次方程组解应用题 第十二讲 不等式的解及不等式的解集 第十三讲 实际问题与一元一次不等式组 第十四讲 抽样调查与频数分布直方图

第一讲：相交线与平行线的相关概念

一、知识框架

二、典型例题

1.下列说法正确的有( )

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. 个 个 个 个 2.如图所示,下列说法不正确的是( )

A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段 3.下列说法正确的有( )

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

个 个 个 个 4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）

A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° 5．

6．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,

则∠2=_________.

7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) •个 个 个 个

8．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？

10. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)

11． 如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,•请你证明所得的四个关系.

(1) (2) (3) (4)

12．如图，若AB分析：如图，添加辅助线

证出：x+y-z=90°

13．已知：如图，BAPAPD180，12 求证：EF

 A F C 1 E B 2 P D

第二讲：平面直角坐标系

一、知识要点：

1、特殊位置的点的特征

（1）各个象限的点的横、纵坐标符号

（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为(x,0),即纵坐标为0;

y轴上的点的坐标为(0,y)，即横坐标为0;

2、具有特殊位置的点的坐标特征 设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

P1、P2两点关于x轴对称x1x2，且y1y2; P1、P2两点关于y轴对称x1x2，且y1y2; P1、P2两点关于原点轴对称x1x2，且y1y2。

3、距离

（1）点A(x,y)到轴的距离：点A到x轴的距离为|y|；点A到y轴的距离为|x|； （2）同一坐标轴上两点之间的距离：

A(xA,0)、B(xB,0)，则AB|xAxB|；A(0,yA)、B(0,yB)，则AB|yAyB|；

二、典型例题

1、已知点M的坐标为（x，y），如果xy<0 , 则点M的位置( ) A．第二、第三象限 B．第三、第四象限 C．第二、第四象限 D．第一、第四象限 2．点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（ ）

A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上 3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（ ）

A．（-1，-2） B．（1，2） C．（-1，2） D．（-2，1） 5．如果点M（1-x，1-y） 在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第_________象限， 点Q（x-1，1-y）在第_________象限．

6．如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o)表示帅的位置，用(3，9)表示将的位置，那么炮的位置应表示为（ ）

A．(8，7) B．(7，8) C．(8，9) D．(8，8)

7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0）， （5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（ ）

A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 8．已知点P（x, x），则点P一定 （ ）

A．在第一象限 B．在第一或第四象限 C．在x轴上方 D．不在x轴下方 9．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ） A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（-2，2），（4，3），（1，7） C．（-2，2），（3，4），（1，7） D．（2，-2），（3，3），（1，7） 11．“若点P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），则线段PQ中点的坐标为（

x1x2y1y2，）．”

22已知点A、B、C的坐标分别为（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC、BC的中点D、E的坐标，并判断DE与AB的位置关系．

12．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，将OA绕原点O逆时针旋转90o得到OA，4)，则点A的坐标是（ ）

Ａ．(4，3) Ｂ．(3，4) Ｃ．(3，4) Ｄ．(4，3) 分析：

13．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面积．

解：做辅助线如图．

14．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为 （–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）． （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的? （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，

横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？

15．如图，已知A1(1,0)、 A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、 A5（2，-1），…，则点A2007的坐标为______________________.

第三讲：二元一次方程组

一、相关知识点

1、 二元一次方程的定义：

经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程．

2、二元一次方程的标准式： axbyc0a0,b0 3、 一元一次方程的解的概念：

使二元一次方程左右两边的值相等的一对x和y的值，叫做这个方程的一个解． 4、 二元一次方程组的定义：

方程组有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组． 5、 二元一次方程组的解：

使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

二、典型例题

1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）

，xy1，x1， Ｂ．xy1Ａ． Ｃ． Ｄ．yx， xy0．xy0．y23．x2y1．x3，x2y50，2．有这样一道题目：判断是否是方程组的解？ y12x3y50x3，

小明的解答过程是：将x3，y1代入方程x2y50，等式成立．所以是方

y1x2y50，程组的解．小颖的解答过程是：将x3，y1分别代入方程x2y50和2x3y50x3，2x3y50中，得x2y50，2x3y50．所以不是方程组

y1

x2y50，的解．你认为上面的解答过程哪个对？为什么？ 2x3y50

3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（ ） A．k=-4 B．k=4 C．k=-3 D．k=3

6m3n104．解方程组3m2n100方法一：（代入消元法）

方法二：（加减消元法）

方法三：（整体代入法）

1 2

5．已知方程组是（ ） A．

2a3b13a8.32x23y113的解是，则方程组的解

3a5b30.9b1.23x25y130.9x10.3x6.3x10.3x8.3 B． C． D．

y2.2y2.2y0.2y1.245xy136．

453xy

x:y3:27．解方程组3x5y3

8．解三元一次方程组

1 2x2yz8LLLL(1)xy1LLLLL(2) x2z2y3LLL(3)分析： 三元一次方程组

二元一次方程组

转化

9．字母系数的二元一次方程组． （1）当a为何值时，方程组

消元

转化

消元

一元一次方程组 ax2y1有唯一的解．

3xy3（2）当m为何值时，方程组

x2y1有无穷多解．

2xmy210．一副三角板按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大50，若设1的度数为x，

o2的度数为y，则得到的方程组为

xy50，xy50，xy50，xy50， B． C． D．

xy180xy180xy90xy90A．11．为了改善住房条件，小奥的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同．第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的倍和倍．为了计算两套楼房的面积，小奥设A套楼房的面积为x 平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（ ） A．0.9x1.1y1.1x0.9y0.9x1.1y1.1x0.9y B． C． D．

yx24xy24xy24yx2412．某水果批发市场香蕉的价格如下表：

购买香蕉数 （千克） 每千克价格 6元 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 5元 4元 40千克以上 张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出2元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？

分析：由题意知，第一次购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。 解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，由题意06x5y2y36x32xy50（2）当040时，由题意可得：，解得(不合题意，舍

y186x4y2去)

（3）当205x5y2由（1）（2）（3）可知，张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克。

第四讲：一元一次不等式

一、知识链接：

1．不等式的基本性质

通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。

性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。 若a>b，则a+c>b+c（a-c>b-c）。

性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若a>b且c>0，则ac>bc。

性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若a>b且c<0，则ac如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。 3．一元一次不等式的定义：

像2x76x，3x9等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。 4．一元一次不等式的标准形式

一元一次方程的标准形式：axb0（a0）或axb0（a0）。 5．一元一次不等式组的解集确定 若a>b

则（1）当xa时，则xa，即“大大取大”

xbxa时，则xb，即“小小取小” xb（2）当xa（3）当时，则bxa，即“大小小大取中间”

xb（4）当xa时，则无解，即“大大小小取不了”

xb二、典型例题：

1．下列关系不正确的是（ ）

A．若ab，则ba B．若ab，bc，则ac C．若ab，cd，则acbd D．若ab，cd，则acbd 2．已知xy且xy0，a为任意有理数，下列式子中正确的是（ ）

22A．xy B． axay C．xaya D．xy

3．下列判断不正确的是（ ）

11 ab11ab0 D．若ab，则 C．若a0，b0，则

abbb4．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（ ）

aA．若ab0，bc0，则ac0 B．若ab0，则A、a≥0 B、a≤0 C、a＞0 D、a＜0 5．解关于x的不等式 mx23m5x解：

m5

mx5x3m2m5x3m21当m5时，m50,则3m2 m52当m5时，m50,则xx3m2m56．解关于x的不等式2axa1。

a1 2aa12-a<0，即a>2时，x

2a解：2-a>0，即a<2时，x2-a=0，即a=2时，不等式即 0x<3 ，不等式有任意解

7．若不等式mx2x1和3x50是同解不等式，求m的值。 解：

由3x50得513由mx2x1得xm1x2m12Q1、2两不等式为同解不等式。

m102m15m13m1m8m8。另解：因为方程3x-5=0的解是x=

5 35 3所以方程m(x-2)=x+1的解是x=将x=

5代入，解得m=-8 38．不等式组2x73x1的解集为________________.

x20解：2x8

9．若不等式组x84x1的解是x>3，则m的取值范围是（ ）

xmA．m3 B．m3 C．m3 D．m3 分析：

2x3(x3)110． 关于x的不等式组3x2 有四个整数解，则a的取值范围是（ ）

xa4A．

115115115115a B．a C．a D．a 42424242x8分析：不等式组可化为

x24a 所以

1224a13，解得：

11．已知关于x、y的方程组解法一：由方程组可得

115a 42x2ya1的解适合不等式2xy1，求a的取值范围.

xy2a15a1x3ya23Q2xy15a1a21331a3

∴ a的取值范围是a1。 31 3解法二：（1）+（2）：2x-y=3a 由题意：3a>1 所以a12．解下列不等式（1）x5 （2）x2 解：（1）

不等式解集为：524a5 （2）

不等式解集为 x2或x2

思考题：解下列含绝对值的不等式。 （1）2x13 （2）

2x14 3第四讲：一元一次不等式（组）的应用

一、能力要求：

1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。

2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。

3．能够用分类讨论思想解有关问题。 4．能利用不等式解决实际问题

二、典型例题

1．m取什么样的负整数时，关于x的方程分析：解方程得：x=2m+2

由题意：2m+2≥-3，所以m≥ 符合条件的m值为-1，-2

2．已知x、y满足x2yaxy2a10且x3y1，求a的取值范围.

21x1m的解不小于－3. 2x2ya0x5a2分析：解方程组  得

xy2a10y3a1 代入不等式，解得a

221

2

3．比较a3a1和a2a5的大小 （作差法比大小） 解：

a23a1a22a5a23a1a22a5a6（1）当a60,即a6时,a23a1a22a5 （2）当a60,即a6时,a23a1a22a5（3）当a60,即a6时,a23a1a22a．若方程组 的解为x、y，且2分析：用整体代入法更为简单

5．k取怎样的整数时，方程组x0kx2y3的解满足.

y03xky4解：（1）当k＝0时，4x=x>03此时，不满足3y<0y=2（2）当k0时，由13，得3kx6y9由2k，得3kxk2y4k由43，得34k26y4k9y4k9k2k9把y2代入2，得k64k9k43xk263k8x2k6x>0Qy<03k8>0k264k9<0k26Qk260原不等式组可化为

3k8>0 4k9<0－k34k取整数值为：k2,1,1,2。

6．若2(a-3)＜

2aax4，求不等式＜x-a的解集 35分析：解不等式2(a-3)＜

由

ax4＜x-a 得（a-5）x<-a 520 因为a< 所以a-5<0

7aax4 于是不等式＜x-a的解集为x> a557．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.

不等式

202a 得：a<

73x10的解的过程如下： x2x10x10解：根据题意，得1或2 ○○x20x20解不等式组○1，得x2；解不等式组○2，得x1 所以原不等式的解为x2或x1 请你按照上述方法求出不等式分析：典型错误解法： 由不等式

x20的解. x5x20x20x20得： 或 x5x50x50所以原不等式的解为x5或x2

正确解法：由不等式

x20x20x20得： 或 x5x50x50所以原不等式的解为x5或x2

8．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟元．若每月通话时间为x分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为y1和y2，请算一算，哪种对用户合算． 解： y1580.4x y20.6x

（1） 若y1y2 则580.4x0.6x 解得：x290

所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。

（2） 若y1y2 则580.4x0.6x 解得：x290

所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。

（3） 若y1y2 则580.4x0.6x 解得：x290 所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。

9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为元，B种饮料每瓶的成本为元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？ 原料名称 饮料名称 A B 分析：（1）据题意得：20克 30克 40克 20克 甲 乙 20x30100x2800

40x20100x2800 解不等式组，得 20x40

因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。 （2）由题意得： y2.6x2.8100x 整理得：y0.2x280

因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低

10．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？

家电名称 工时（个） 产值（万元/台） 空调器 彩电 冰箱 1 2 1 3 1 4 解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是x台、y台、z台，设此时的产值为P万元。

xyz360LL(1)111xy120LL(2)根据题意得： 2340x360,0y360,40z360LL(3)x,y,z均为整数LL(4)102z360x2z由（1）和（2）知 ……（5）把（5）代入（3）得： 30360z3602y3603z240z3601解得：40z240

13P0.4x0.3y0.2z＝0.4z0.3(360z)0.2z＝1080.05z

22要使P最大，只需z最小 当z40时

P最大＝108－×40＝106(万元)

1z20（台） 23 y360z300（台）

2此时x答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？

第五讲：与三角形有关的线段

一、相关知识点

1．三角形的边

三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边

即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c－b，b>a－c，c>b－a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2． 高

由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3． 中线：

连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 4． 角平分线

三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线

二、典型例题

（一）三边关系

1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( ) 2．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的

长度是整数小颖有几种选法？可以是多少？ 分析：设第三根木棒的长度为x， 则3所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,12

3：已知：△ABC中，AD是BC边上的中线 求证：AD+BD>

1（AB+AC） 2分析：因为 BD+AD>AB、CD+AD>AC 所以 BD+AD+ CD+AD >AB+AC

因为AD是BC边上的中线，BD=CD 所以AD+BD>

（二）三角形的高、中线与角平分线

问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？ （2）图中存在哪些相等角？

注意基本图形：双垂直图形

4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， 垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 分析：

5．如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D， DF⊥CE，求∠CDF的度数。 分析：∠CED=40°+34°=74°

所以∠CDF=74°

6．一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。 分析：

1（AB+AC） 2

7．⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。

（1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。 （3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。 （4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。 （5）你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗？

8．已知: BE, CE分别为 △ABC 的外角 ∠ MBC, ∠NCB的角平分线, 求: ∠E与∠A的关系 分析：∠E=90°-

9．已知: BF为∠ABC的角平分线, CF为外角∠ACG的角平分线,

求: ∠F与∠A的关系 分析：

∠F=

1∠A 21∠A 2思考题：如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数）

第六讲：与三角形有关的角

一、相关定理

（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180° （二）三角形的外角性质定理：

1． 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 2． 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （三）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n2)180 多边形外角和定理：多边形的外角和为360°

二、典型例题

问题1：如何证明三角形的内角和为180°？

1．如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数.

分析：∠CDE=∠ADC-∠2 ∠1=∠B+40°-∠2 ∠1=∠B+40°-（∠1+∠C）

2∠1=40° ∠1=20°

2．如图：在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC 求证：∠EAD＝

3．已知：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于E 求证：∠BAC>∠B 分析：

问题2：如何证明n边形的内角和为(n2)180

4．多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。

5．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的步骤行走，那么该

机器人所走的总路程为（ ） A. 6米

B. 8米 C. 12米

D. 不能确定

1（∠C－∠B） 2

第八讲 全等三角形

（一） 知识要点

1、 全等三角形的有关概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，

A

D

如△ABC≌△DEF。当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如

B

C

E

F

右图所示，△ABC和△DEF全等，点A与点D，

点B与点E，点C与点F是对应顶点，记作△ABC≌△DEF。其中AB与DE，AC与DF，BC与

EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角。

规律方法小结：在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角。全等三角形的面积一定相等，但是面积相等的三角形不一定是全等三角形。

常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。

（1）平移型：如下左图，若△ABC≌△DEF，则BC=EF。将△DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。

A D A D

B C E F B E C

F

（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角∠1=∠2。 D B

A E

D

C A

1 A 1 C

O 2 D

（2）

A

D （1）

B

B

E （1）

C B C

（2）

（3）翻折型：如上右图，两对三角形的全等属于翻折型，其中图1中有公共边AB，图2中有公共角∠A。

知识延伸：熟悉这些基本图形，有利于我们寻找三角形全等的隐含条件，启发我们的证明思路。

2、 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

知识延伸：（1）全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据；

（2）全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。

规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角； （4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。 （二） 典型例题

例1：若把△ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到△ADE，请写出图中所有的对应边和

B

对应角。

E D

C A

规律·方法：全等三角形的书写要注意对应顶点写在对应的位置上，同时，在书写对应边时，直接按照对应边来写，但书写对应角时，就必须特别注意结合图形，尤其是角的表示。 例2：如图，已知△ABD≌△ACE。试说明BE=CD，∠DCO=∠EBO。

D

O C

A

B

E

规律·方法：全等三角形的性质不仅有：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。同时，我们还发现：（3）全等三角形的周长相等；（4）全等三角形的面积相等；（5）全等三角形中，对应边上的高，对应边上的中线，对应角的平分线也分别相等。 例3：如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系，

A F

并加以说明。

D

B E C

例4：如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，

A D B

E

C

若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ） A、15 B、20 C、25 D、30

例5：如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折180形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则求∠α的度数。

A B

2 1

3 0

0

0

0

0

E

D Q α

P

C

例6：如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。

A 1 2 D

B E

C

例7：如图，已知△ABC≌△DBE，AB⊥CD，DE的延长线交AC于点F，那么DF⊥AC吗？说明理由．

例8：如图，已知△ABE≌△ACD．且AB =AC，求证： (1) ∠BAD= ∠CAE; (2)BD= CE.

（三） 反馈练习

1．如图，△ABC≌△DCB，若∠l与∠2是一组对 应角，则其他的对应角有 ， ，对应边有 ， ， 。

2．如图，△AB≌C△A′B′C′，且点B，B′，C，C′在同一直线上，则BB′=____；若∠

A=80º，则∠A′= º，∠B′DC= º。

3．如图，把△ABC沿直线BC翻折180º，得到△DBC，则△ABC与△DBC的关系是 。

4．如图，把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△AED，那么△ABC △AED，其中对应边有 ， ， ，对应角有 ， ， 。

5．（南通）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70º，∠C =25º，则∠AEB= 。

6．如图，△ABD≌△ACD，AB=AC，则∠BAD=∠ ，BD= ，∠ADB= 度

7．如图，若△AB≌C△EDC，且∠B=58º，CD=2cm，点B，C，E在同一直线上，则∠E= ，BC= cm.

8．若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32cm，DE= 9cm,EF= 12cm，则AB= cm,BC= ___cm，AC= cm.

9．如图，直角△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，则下列结论中错误的是( )

A.△ABC≌△DEF B.∠DEF= 90º C．AC =DF D．EC= CF

10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，AB =EF.其中正确的个数有( )

个 个 C．3个 D．4个

11．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则下列结论：①AC=AF;②∠FAB=∠EAB；③EF =BC;④∠EAB=∠FAC.其中正确结论的个数是( ) 个 个 个 个

12.如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的 点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则

∠C的度数 为( ) A．15º B．20º C．25º D．30º

13．如图，△ABC≌△CDA，下列各组边中，不是对应边的是( ) A．AB与DC 与CA 与CB 与DC

14.如图，△ABC≌△ADE，点B的对应点是点D．若∠BAD= 100º，∠CAE= 40º，求∠BAE的度数．

第九讲 全等三角形的判定（一）

（一） 知识要点

1、三角形全等的判定方法一：SSS

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 书写格式：

在△ABC和△A’B’C’中，

A

AABA'B'∵ACA'C' BCB'C'∴△ABC≌△A’B’C’（SSS） 规律方法小结：

B C BC’

（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。

（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解决问题的一种思想方法。

（二） 典型例题

例1.在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中线. 求证：△ABD≌△ACD

例2．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF， 求证：△ABC≌△DEF．

例3.如图，点A，B，C，D在同一直线上，且AD =BC， AE =BF，CE= DF.求证:DF

例4.如图，已知△ABE≌△ACD，求证：∠l=∠2.

例5.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，且AC=BD，AM= CN，BM= DN.求证：AM∥CN，BM∥DN．

例6. 已知：如图，四边形ABCD中，AB = CB，AD= CD，求证：∠A=∠C．

A C

B

F D

E

例7．如图所示，AB=AE．BC= ED，CF=FD．AC=AD，求证：∠BAF= ∠EAF.

（三）练习：

1．如图，若AB =AC，BD= CD，∠B =62º，则∠BAC= 度．

2．如图，已知AB= CD，AD= CB，还有条件 ，可判定△ABC≌△CDA，其依据是 ．

3．如图，在△ABD和△ACE中，已知AB =AC，BD = CE，AD =AE，若∠l= 20º，则∠2= ．

4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且AO= BO，CO =DO，AD= BC，则图中全等三角形有 对．

5．如图，已知AB=BC．AD=CD，∠ABC=80º，∠ADC= 50º，则∠A= º，∠C= º．

6．如图，已知AB =AC，点D为BC的中点，下列结论：(1)△ABD≌△ACD；(2) ∠B=∠C;(3)AD 平分∠BAC; (4) AD⊥BC.其中正确的个数是( ) A．1个 B．2个 个 个

7．下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等．其中正确说法的个数是( ) 个 B．3个 C．2个 D．1个 8．下列命题中正确的是( )

A．有两条边对应相等的两个三角形全等 B．两个等边三角形全等 C．两个等腰直角三角形全等

D．三边对应相等的两个三角形的对应角也相等，

9．如图，已知AB= AC，BD= CD．求证：∠l=∠2.

10.如图，在△ABC中，AB =AC，点D、E分别是BC的三等分点，且AD=AE.求证：△ABD≌△ACE.

11.如图16，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M. (1)求证：△ABC≌△DCB；

ABA'B'A A (2)过点C作CN∥BD，过点B作BN AA'图所示，直线AD、BE相交于点C，AC=DC，

ACA'C'BC=EC. 求证：AB=DE

例2：如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD=AE，AB=AC。求证：△ABD≌△ACE

D C

B

C

B

C’

A B

E

规律·方法：证明三角形全等时，一般需要三个条件，如果已知两对边，就试着去找第三对边或这两对边的夹角，利用“SSS”或“SAS”来证明两个三角形全等；

例3：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE的两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED。求证：AC=CD

A C E

B

D

例4．如图，已知AB =AC，AD =AE，∠1=∠2.求证：CE =BD．

例5： 如图，点E, F在BC上，BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C. 求证: ∠A=∠D

例6.如图，BE、CF分别是△ABC的高．P是BE上一点。且BP =AC，Q是CF延长线上一点，且CQ=AB，求证：AP⊥AQ.

（三）练习

1．如图，已知∠l=∠2，AD =AC，则△____≌△ ，其依据是 。

2．如图，∠l=∠2，AB =AC，AE=AD，则△ABD≌△ ，依据是 ，由此还可得BD= 。

3．如图，AC =AB，AD平分∠CAB，点E在AD上，则图中全等的三角形有____对，它们是 。

4．（天门）如图，已知AE=CF，∠A=∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件：____ （只需写一个）．

5．小明为了测量池塘对岸A，B两点间的距离，作了如下的操作（如图）：①取一能够到达A，B两点的点D;②连接AD并延长AD于点E，使AD= ED．连接BD并延长BD至C，使BD= CD;③连接CE.那么要知道AB的长度，应测量线段 的长度．

6．如图，已知AD⊥BC于点D，BD=CD，点E在AD上；则图中全等三角形共有( ) 对 对 对 对

7．如图有下列四个条件：①BC =B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB =A′B′其中任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是( ) 个 B。2个 个 个

8．下列命题中错误的是( )

A．有两边对应相等的两个等腰三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等

9．下列条件中，可以判定△ABC和△A′B′C′全等的是( )

= BA,B′C′=B′A′，∠B=∠B′ B．∠A=∠B′，AC =A′B′，AB =B′C′ C. ∠A=∠A′,AB= B′C′,AC=A′C′ =B′C′,AC =A′B′,∠B=∠C′

10.如图，已知AB∥CD，AB= CD，BE =DF，则图中全等三角形的对数有( ) A．3对 B．4对 C．5对 对

11．如图，点A，E，B，D在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB= DE,AC =DF,AC∥DF. (1)求证：△ABC≌△DEF;

(2)你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）．

12.如图13，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，求证：∠D=∠E.

第十一讲 全等三角形的判定（三）

（一）知识要点

1、三角形全等的判定三、四：ASA及AAS

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 书写格式：

在△ABC和△A’B’C’中，

A

AAA'∵ABA'B' BB'∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）

B C BC’

知识延伸：“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边。

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。 书写格式：

在△ABC和△A’B’C’中，

AA'∵BB' ACA'C'∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）

B

A AC BC’

知识延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推论。

规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。 (二)例题讲解：

例1.如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE

例2.如图，AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证：AB=AD

练习：如图所示,点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，ACDE，FC与BE相等吗？请说明理由.

例3．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：

BE=CD．

C F B E

D A

例4：如图，已知△ABC≌△A’B’C’，AD，A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的边BC和B’C’上的高。求证：AD=A’D’

A

A

B D C BDC’

例5．如图，点E在AC上，∠1=∠2，∠3=∠4.试证明BE= DE.

（三）练习

1．如图，已知AB= DC，AD =BC，E，F是DB上的两点，且BE=DF.若∠AEB=100º，∠ADB= 30º．则∠BCF= 。

2．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，∠1=∠2，则图中的全等三角形共有 对．

3．如图，AC与BD相交于点O，∠1=∠4，∠2=∠3．△ABC的周长为25cm，△AOD的周长为 17cm，则AB= .

4．（海南）在△ABC和△A1B1C1中，AB =A1B1，∠A= ∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．

5．如图，∠E =F=∠90º．∠B= ∠C，AE= AF.给出下列结论：①∠l=∠2；②BE= CF;③△ACN ≌△ABM；④CD= DN.其中正确的结论是____（注：将你认为正确的结论都填上）． 6．下列结论：(1)一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等；(2)-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等；(3)三个角对应相等的两个三角形全等；(4)顶角与一腰对应相等的两个等腰三角形全等，其中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 个 个

7．（成都）如图，在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，要使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )

8．下列条件中，能判定两个三角形全等的是( ) A．有两边及一角对应相等 B．有三个角对应相等 C．有两角及一边对应相等 D．有两条边对应相等

9．如图，已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移可得到△A′B′C′，点B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为( ) A．6 B．9 C．12 D．18

10.如图所示，在LAOB的两边上截取AO= BO，CO =DO，连接AD，BC交于点P．有下列结论①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上．其中正确的是( ) A．只有① B．只有②

C．①② D．①②③

11. 如图，已知点E、C在线段BF上，BE= CF,AB∥DE,∠ACB=∠F . 求证：△ABC≌△DEF.

12.如图所示，∠l=∠2，∠D=∠C，求证；AC=BD .

第十二讲 全等三角形的判定（四）

（一）知识要点

1、直角三角形全等的判定方法：HL

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 书写格式：

在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∵A A’ ABA'B'

BCB'C'C B CB

∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）

规律方法小结：证明两个直角三角形全等的方法：除了证明一般三角形全等的方法SSS，SAS，ASA，AAS以外，还有一个特殊的证明方法：HL（斜边、直角边），从表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS都是三个条件，其实，HL也是三个条件，除了直角边、斜边对应相等这两个条件以外，还有“必须在Rt△”中才能用这种方法。

(二)经典例题

例1：如图，在Rt△ABC中，∠A=90，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂

A 0

线，交AC于点E。求证：AE=ED

例2：已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA， 求证：① △BEC≌△DAE；

②DF⊥BC．

B

D

E C

B F A C E

D

例3．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB= OC.

例4.如图，∠ACB∠=ADB= 90º．AC= AD，点E是AB上任意一点．求证：CE= DE.

例5.如图，AD为△ABC的高，E为AC上的一点， BE交AD于F，且有BF =AC，FD= CD． (1)求证：BE⊥AC；

(2)若把条件BF =AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？证明你的论断．

（三）练习

1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，再添加一个条件 （只需填一个），就可以判 定△ABD≌△ACD.

2．如图，AB= CD，AE⊥BC于E ，DF⊥BC于F．若BE= CF，则△ABE≌△ ，其依据是 .

3．已知AB =5,BC =4,AC =3,则的周长是 ，面积是 ，斜边上的高为_____． 4．如图，在分别过B，C作经过A点的直线的垂线BD，CE.若BD =3cm．CE =4cm，则DE= 。

5．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= 。

6．两个直角三角形全等的条件是( ) A．一锐角对应相等 B．一条边对应相等 C．两锐角对应相等 D．两条边对应相等

7．如图，已知AB= CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE= CF，则图中全等的三角形有( ) 对 B．2对 C．3对 D．4对

8．下列命题中，正确的有( )

①两直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②两锐角对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等； ⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

9．如图所示，∠C= 90º，DE⊥AB于点D，BD=BC，如果AC =6cm，则AE +DE=( )

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

10.如图所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC= BD，那么下列结论：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC∠=CBD;④OC= OD．其中正确的是( )． A．①②⑤④ B．①②③ C．①② D．②③

11．如图，AB：CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F分别是垂足，DE：BF.求证：(1)AF=CE；(2) AB∥ CD．

12.如图15所示，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点D，且EC=BF，AB=DE．求证：AE=BD.

第十三讲 全等三角形的判定综合

一、 经典例题

例1：如图，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF。

求证：EB∥CF

C D

A E

O B

F

例2.如图,已知;CD⊥AB,于D,BE⊥AC于E,BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.

例3．如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE. 求证：（1）⊿ABC≌⊿DEF；

_ E

_ D

_ C （2）∠CBF=∠FEC.

_ F_ A_ B

例4：在直角三角形ABC中,AC=BC, ∠C=90°,D是AB边上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G,求证:BD=CG.

例5.如图.已知AB=DC, ∠A=∠D,求证: ∠ABC=∠DCB.

二．课后练习：

1、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F， 求证：EB=FC

2、已知：如图12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF。 求证：（1）AB∥CD；（2）AE=CF。 (7分)

D

F E A

C

B

3、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F。

（1）证明：EF与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF（如图1）。

（2）如图2，EF与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。 (8分)

第十四讲 角的平分线的性质

（一）知识要点

1、角的平分线的性质及其推导

角的平分线上的点到角的两边距离相等。

O

E

B

D A C P

已知OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PDOA于点D，PE⊥OB于E，如右图所示，则PD=PE。

角的平分线的性质的推导：

⊥

已知，如上右图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE。

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠ODP=∠OEP=90（垂直的定义） 又∵OC平分∠AOB（已知） ∴∠AOC=∠BOC（角的平分线定义） 在Rt△DOP和Rt△EOP中

0

AOCBOCODPOEP OPOP∴Rt△DOP≌Rt△EOP（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）

知识延伸：角平分线的性质可直接推导与角的平分线有关的两条线段相等，但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写，同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，可直接得到垂线段相等，不必再证两个

D A C P

O

E

B

三角形全等而走弯路。

2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

如右图，点P在∠AOB内部的一条射线OC上，并且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PD=PE，则射线OC是∠AOB的平分线。

规律方法小结：（1）

点在角的平分线上

（2）对于角的平分线的性质及其逆用，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“性质的逆用”恰好是条件和结论的交换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，性质的逆用是证两角相等的依据。

角的平分线的判定的推导：

已知：如右上图，点P在∠AOB内部的一条射线OC上，并且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PD=PE。求证：射线OC是∠AOB的平分线。

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=90（垂直的定义） 在Rt△DOP和Rt△EOP中，∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）

∴∠DOP=∠EOP（全等三角形的对应角相等） 即射线OC平分∠AOB

知识延伸：逆用角平分线的性质可帮助我们证明角相等，使证明过程简化，需要注意的是：在推导过程中应注意垂直关系的书写，指明垂直线段，并

C 0

角平分线的性质及其逆用的关系：

性质 性质的逆用

点到角的两边距离相等

OPOP

PDPE由垂线段相等直接得到角相等，而不必再去证明三角形全等了。

（二）典型例题

A

E

D B

例1：在△ABC中，∠C=90，AD是∠BAC的平分线，若DC=6，则D点到AB的距离是

0

_______________。

例2：如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB。

求证：EA=EB

O C E

A

D

B

例3.如图，在△ABC中，∠A=90º，AC=AB，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，已知BC=10cm，求△EDC的周长．

例4：如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。

A 求证：∠1=∠2

D 1 2 E O

B C

例5：如图所示，已知OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，点P在OD上，且PM⊥BD，PN⊥AD。求证：PM=PN

B M D P N

O

A

规律·方法：运用脚平分线的性质解题时，应注意两点：（1）应注意交代清楚角平分线及角平分线上的点到角两边的距离这两个方面，既不允许心里想到而不书写其过程，更不允许在条件不具备时而得到线段相等的结论；（2）运用角平分线时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段相等，以免走回头路。

例6：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，那么EF与AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。

A

E B

O D

F C

规律·方法：数形结合思想，是将“数”与“形”结合在一起探索研究，进一步解决问题的一种思想方法。

例7：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。

求证：∠A+∠C=180。

0

A D

B

C

解题策略：解与角平分线的性质和识别方法的综合题时，应注意分析题目特点，通过适当添加辅助线，挖掘其中隐含的条件，获得问题的答案。

解题方法及技巧小结：在运用角平分线的性质时若缺少垂直条件可适当作出垂线段。

(三)练习

1．如图，在△ABC中，已知∠C=90º，AD平分∠CAB，BC= 8cm，BD= 5cm，那么点D到直线AB的距离是 cm．

2．如图，已知∠BAC与∠ACD的平分线交于点D．OE⊥AC于点E，且OE =2cm，则点D到AB，CD的距离之和是____．

3．如图，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P，P′分别在OA，OB上，若要得到OP= OP′，需要添加以下条件(1) ∠OCP=∠OCP′；(2) ∠OPC=∠OP′C;(3)PC=P′C;(4)PP′⊥OC中的某一个即可，请你写出所有可能的结果序号： ．

4．如图，已知点P到BE，BD．AC的距离都相等，则点P的位置：(1)在∠B的平分线上；(2)在∠DAC的平分线上；(3)在∠ECA的平分线上；(4)恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，则上述结论中，正确的有____个．

5．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E，已知PE =3，则点P到AB的距离是( )

A．3 B．4 C．5 D．6

6．如图所示，点P是∠BAC的平分线上一点．PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论(1)PM= PN;(2)AM -AN =0．(3)△APM和△APN的面积相等；(4) ∠ PAN+ ∠APM =90º中，正确的个数有( )

个 个 个 D．4个

7．如图所示，△ABC中，AB =AC，AD平分∠BAC．DE ⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列四个结论

(1)BD= CD且AD =BC;(2) ∠BDE=∠CDF; (3)AD上任意一点到线段BC两端点距离相等；

(4)AD上任意一点到AB，AC的距离相等．其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8．如图，AB= AD，∠ABC= ADC= 90º，则①AC平分∠BAD，②CA平分∠BCD，③AC平分BD，④BD平分∠ADC中，正确的结论有( ) A．①② B．①②③ C．①②③④ D．只有①

9．如图，△ABC中，AB =AC，M为BC的中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E求证：MD= ME.

第十五讲 全等三角形复习测试题

一、填空题．（30分）

1．下列条件能确定△ABC的形状和大小的是( )

=4,BC =5, ∠C= 60º =6, ∠C= 60º, ∠B =70º。 C. ∠ C =60º, ∠B =70º, ∠A =50º =4,BC =5,AC =10

2．（无锡）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80º得到△OCD，已知∠AOB =45º， 则∠AOD=( )

A．55º B．45º C．40º D．35º

3．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE= DF.连接BF，CE，下列说法(1)CE=BF；(2)△ABD和△ACD的面积相等；(3)BF∥CE; (4)△BDF≌△CDE中正确的有( )

个 个 个 D．4个

4．现有长为3cm，4cm，6cm，8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm和4cm的木条各一根，要使两人所取的三根木条能组成三角形且组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为( )

A．一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条 B．两人都取6cm的木条

C．两人都取8cm的木条 、C两种取法都可以

5．如图，已知∠l=∠2，AC =AD，有下列条件：①AB =AE;②BC= ED；③∠C=∠ D；④∠B=∠ E，添加其中一个能使△ARC≌△AED的条件有( ) 个 B．3个 C．2个 D．1个

6．如图，AB =AC，BE ⊥AC于点E，CF ⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则(1)△ABE≌△ACF; (2)△BDF≌△CDE; (3)点D在∠BAC的角平分线上．其中正确的结论有( ) A.(1) B.(2) C.(1)与(2) D.(1)(2)(3)

7．下列条件不一定能使两个三角形全等的是( )

A．两边一角对应相等 B．两角及其中一角的对边对应相等 C．三边对应相等 D．两边及其夹角对应相等

8．如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是( )

9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，且BF= CE，连接BE、AF相交于G，则下列结论错误的是( )

=AF B．∠DAF= ∠BEC C. ∠AFB+∠BEC =90º ⊥BE

10.如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E，F分别在AB，AC边上，则BE+ CF( )

A．大于EF B．小于EF C．等于EF D．与EF的大小无法比较

二、填空题．（每小题3分，共24分）

11.如图，已知点D为线段AC，BD，EF的中点，图中有 对全等三角形．

12.已知在△ABC和△A′B′C′中，AB =A′B′，∠A=∠A′，要使△ABC≌△A′B′C′，还需添加一个条件，这个条件可以是____ 。

13.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，SABC=36cm²，AB=18cm，BC=12cm, 则DE=

14.如图所示，在三角形纸片ABC中，AB= 10cm，BC =7cm，AC =6cm，若沿过点B的直线折叠这个三角形纸片，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为____cm.

15.如图，AD，A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中的边BC，B′C′上的高,且AB =A′B′，AD =A′D′，若要使△ABC姿△A′B′C′，还需添加条件

16.如图所示，BF，CF是△ABC的两个外角的平分线，交点为F，若∠A =50º，则∠BFC的度数是____

17．如图所示是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC= CD，将点A放在∠MPN的顶点P处，调整仪器，使AB，AD分别与PM，PN重合，这时，沿AC作射线PE，则PE即为∠MPN的角平分线，其依据是 .

18.如图，△ABC的两边AB =5．AC =3，则第三边BC上的中线m的取值范围是 .

三、解答题．（共66分）

19.如图，点D，E分别在OC，OB上，BD，CE交于点A，∠B= ∠C，AB =AC.求证：△BOD≌△COE

20.如图，AC交BD于点D，请你从(1)OA =OC;(2)OB=OD;(3)AB∥CD中选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．

21.如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且AB= DE，∠A=∠D，BF =10cm．BE =2cm，求EC的长．

22.请先阅读下面的题目与证明，然后回答问题，

如图，在△ABC中，∠ABC= ∠ACB，D，E分别是AB，AC上两点，且BD= CE，BE，CD相交于点D．求证△BOD≌△COE. 证明：在△DBC和△ECB中 BD= CE， ∠ABC= ∠ACB, BC= CB，

∴△DBC≌△ECB．( SAS) ∴△DBC-△BOC=△ECB - BOC. 即△BOD≌△COE.

上述证明是否有错误，若没有错误，请在右边空白处写上“正确”二字；若有错误，请指出从哪一步开始出现错误，并从这步开始，在下边空白处写上正确的证明．

23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EA ⊥AD，M是AE上的一点，∠BAE= ∠MCE，∠MBE =45º. (1)求证：BE= ME. (2)若AB =7，求MC的长．

24．如图，点B ，F，C，E 在同一直线上，AC，DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，

垂足为E，且AB= DE．BF= CE.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2) GF= GC.

25.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B ，C，E在同一条直线上，连结DC，CE.

(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明：DC⊥BE．

26.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图(1)，已知在△ABC中，AB =AC，P是AABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP∠=BAC，连结BQ、CP，求证BQ=CP

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图(1)的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ= CP之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ= CP”依然成立，请你就图(2)给出证明．