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二次函数与一次函数结合题

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二次函数与一次函数结

合题

Revised by Petrel at 2021

一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点,对于两个 (1) 求二次函数表达式时要填写最终的一般式 (2) 由一般式变顶点式时,可通过两个方法

方法一:通过定点坐标公式直接代入顶点式中,有一点需要注意,(X-h) 方法二:可通过配方法解决问题

1.如图,将抛物线M1:yax24x向右平移3个单位,

再向上平移3个单位,得到抛物线M2,直线yx与M1 的一个交点记为A,与M2的一个交点记为B,点A的 横坐标是-3. (1)求a的值及M2的表达式;

(2)点C是线段AB上的一个动点,过点C作x轴的

垂线,垂足为D,在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时,直线yxn恰好经过

正方形CDEF的顶点F,求此时n的值;

②在点C的运动过程中,若直线yxn与正方形CDEF始终没有公共点,求n的

取值范围(直接写出结果).

27.解:(1)∵点A在直线yx,且点A的横坐标是-3,

∴A(-3,-

3).………………………………………………………………1分

把A(-3,-3)代入yax24x, 解得

a=1.……………………………………………………………………2分

∴M1:yx24x,顶点为(-2,-4). ∴M2的顶点为(1,-1).

∴M2的表达式为yx2-2x.…………3分 (2)①由题意,C(2,2),

∴F(4,2).………………………………4分 ∵直线yxn经过点F, ∴2=4+n.

解得n=-2.………………………5分 ②n>3,n<-6.………………7分 一次函数与二次函数图像的结合,一定要多画图像进行观察通常是找临界点进

行观察计算

27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax22xa1与y轴交于C点,与

x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),且点A的横坐标为-1.

12(1)求a的值;

(2)设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P',求点P'的坐标; (3)将抛物线在A,B两点之间的部分(包括A,B两点),先向下平移3

个单位,再向左平移m(m0)个单位,平移后的图象记为图象G,y若图象G与直线PP'无交点,求m的取值范围. 227.解:

O2-2x12(1)∵A(-1,0)在抛物线yax2xa1上, 2-21∴a2xa10,…….…………………………………………………...…1分 2∴解得a2,…………….………………………………………………………2分

(2)∴抛物线表达式为yx22x3.

∴抛物线yx22x3的顶点P的坐标为(1,4).…………….….………3

(会配方,套公式给1

分)

∵点P关于原点的对称点为P',

∴P'的坐标为(-1,-4).………………………………………………….………4

(3)直线PP'的表达式为y4x,…………….……………….…5分

图象向下平移3个单位后,A'的坐标为(-1,-3),B'的坐标为(y3,-3), 若图象G与直线PP'无交点,则B'要左移到M及左边,

CP令y3代入PP',则x,M的坐标为 ,3,………6分AO44A'M33BB'xP'315∴B'M=3,

44∴m15.……………………………………………..……………7分 4二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型,判断交点问题 27.已知:关于x的一元二次方程-x2+(m+1)x+(m+2)=0(m>0).

y(1)求证:该方程有两个不相等的实数根; (2)当抛物线y=-x2+(m+1)x+(m+2)经过点

(3,0),求该抛物线的表达式;

O(3)在(2)的条件下,记抛物线y=-x2+(m+1)x+(m+2)

x在第一象限之间的部分为图象G,如果直线 y=k(x+1)+4与图象G有公共点,请结合函数

的图象,求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围.

27.(本小题满分7分)

(1)证明:∵△=(m+1)2-4×(-1)×(m+2)

=(m+3)2.……………………………………………………………1∵m>0,

∴(m+3)2>0, 即△>0,

∴原方程有两个不相等的实数根.…………………………………2

(2)解:∵抛物线抛物线y=-x2+(m+1)x+(m+2)经过点(3,0),

∴-32+3(m+1)+(m+2)=0,………………………………………………3∴m=1.

∴y=-x2+2x+3.………………………………………………………4

(3)解:∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

∴该抛物线的顶点为(1,4).

∴当直线y=k(x+1)+4经过顶点(1,4)时, ∴4=k(1+1)+4, ∴k=0, ∴y=4.

∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4.………………………5∵y=-x2+2x+3, ∴当x=0时,y=3,

∴该抛物线与y轴的交点为(0,3).

分 分 分

∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3.………………………6分 ∴3<t≤4.…………………………………………………………………7分

一次函数与二次函数焦点个数问题

27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2x2mxn经过点A(-1,a),B(3,a),且最低点的纵坐标为-4.

y(1)求抛物线的表达式及a的值;

(2)设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D,点P是抛

物线对称

轴上一动点,记抛物线在点A,B之间的部分为图象G(包

含A,B两点).如果直线DP与图象G恰有两个公共点,结合函数图象,求点P纵坐标t的取值范围. 27.解:(1)∵抛物线y2x2mxn过点

A(-1,a),B(3,a),

43214321O12341234x∴抛物线的对称轴x=1..…….1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4, ∴抛物线的顶点是(1,-4)..…….2分 ∴抛物线的表达式是y2(x1)24, 即y2x24x2..…3分

把A(-1,a)代入抛物线表达式,求出a4..…….4分

(2)∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D,∴D(1,4).

求出直线CD的表达式为y4..…….5分

求出直线BD的表达式为y2x2,当x1时,y0..…….6分 所以4t0..…….7分

二次函数与一次函数结合焦点个数问题,多画图进行判断,注意临界点 27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1x2x2与y轴交于点A,顶点为点

2B,点C与点A关于抛物线的对称轴对称. (1)求直线BC的解析式;

(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图象G,若图象G向下平移t(t0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围.

27.(本小题满分7分)

解:(1)∵抛物线yx2x2与y轴交于点A,

∴点A的坐标为(0,2).…………………………………………1分 ∵yx2x2(x1)212123, 2123∴抛物线的对称轴为直线x1,顶点B的坐标为(1,).…………2分

2又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称,

7y∴点C的坐标为(2,2),且点C在抛物线

上.

设直线BC的解析式为ykxb.

6321EACBFD3∵直线BC经过点B(1,)和点C(2,

22),

31kb,k,∴2解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为

–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–712345x1yx1.…………………………3分

21(2)∵抛物线yx2x2中,

2当x4时,y6,

∴点D的坐标为(4,6).………………4分

1∵直线yx1中,

2当x0时,y1,

当x4时,y3,

∴如图,点E的坐标为(0,1),

点F的坐标为(4,3).

设点A平移后的对应点为点A',点D平移后的对应点为点D'. 当图象G向下平移至点A'与点E重合时,点D'在直线BC上方, 此时t=1;…………………………………………………………5分

当图象G向下平移至点D'与点F重合时,点A'在直线BC下方,此时t=3.

……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1t≤3.……………………………7分

27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2x2mxn经过点A(-1,a),B(3,a),且最低点的纵坐标为-4.

y(1)求抛物线的表达式及a的值;

(2)设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D,点P是抛

物线对称

轴上一动点,记抛物线在点A,B之间的部分为图象G(包

含A,B两点).如果直线DP与图象G恰有两个公共点,结合函数图象,求点P纵坐标t的取值范围. 27.解:(1)∵抛物线y2x2mxn过点

A(-1,a),B(3,a),

43214321O12341234x∴抛物线的对称轴x=1..…….1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4, ∴抛物线的顶点是(1,-4)..…….2分 ∴抛物线的表达式是y2(x1)24, 即y2x24x2..…3分

把A(-1,a)代入抛物线表达式,求出a4..…….4分

(2)∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D,∴D(1,4).

求出直线CD的表达式为y4..…….5分

求出直线BD的表达式为y2x2,当x1时,y0..…….6分 所以4t0..…….7分

27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1x2x2与y轴交于点A,顶点为点

2B,点C与点A关于抛物线的对称轴对称. (1)求直线BC的解析式;

(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图象G,若图象G向下平移t(t0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围.

27.(本小题满分7分)

解:(1)∵抛物线yx2x2与y轴交于点A,

∴点A的坐标为(0,2).…………………………………………1分 ∵yx2x2(x1)212123, 2123∴抛物线的对称轴为直线x1,顶点B的坐标为(1,).…………2分

2又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称,

7y∴点C的坐标为(2,2),且点C在抛物线

上.

设直线BC的解析式为ykxb.

6321EACBFD3∵直线BC经过点B(1,)和点C(2,

22),

31kb,k,∴2解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为

–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–712345x1yx1.…………………………3分

21(2)∵抛物线yx2x2中,

2当x4时,y6,

∴点D的坐标为(4,6).………………4分

1∵直线yx1中,

2当x0时,y1, 当x4时,y3,

∴如图,点E的坐标为(0,1),

点F的坐标为(4,3).

设点A平移后的对应点为点A',点D平移后的对应点为点D'. 当图象G向下平移至点A'与点E重合时,点D'在直线BC上方, 此时t=1;…………………………………………………………5分

当图象G向下平移至点D'与点F重合时,点A'在直线BC下方,此时t=3.

……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1t≤3.……………………………7分

b的图象交于27.二次函数yax2bxc(a0)的图象与一次函数y1xk

A(0,1)、B两点,C(1,0)为二次函数图象的顶点. (1)求二次函数yax2bxc(a0)的表达式;

(2)在所给的平面直角坐标系中画出二次函数yax2bxc(a0)的图象

b的图象; 和一次函数y1xk

(3)把(1)中的二次函数yax2bxc(a0)的图象平移后得到新的二次

函数y2ax2bxcm(a0,m为常数)的图象,.定义新函数f:“当自变量x任取一值时,x对应的函数值分别为y1或y2,如果y1≠y2,函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;如果y1=y2,函数f的函数值等于y1(或y2).”当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.

x

27.解:(1)设抛物线解析式为ya(x1),

由抛物线过点A(0,1),可得yx22x1………..(2分)

2

(2)如图:

………………………………………..(5分) 1

(3)-4注意区间是否含有

27.已知二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1,0),(0,3)两点. (1)求C1对应的函数表达式;

(2)将C1先向左平移1个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线C2,将C2对应的函数表达式记为y2x2mxn,求C2对应的函数表达式;

(3)设y32x3,在(2)的条件下,如果在2≤x≤a内存在某一个x的..值,使得y2≤y3成立,利用函数图象直接写出a的取值范围. 27.解:(1)∵二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1,0),(0,3)两点,

∴1bc0,………………………………1分

c3.b2,…………………………………2分 c3.解得∴抛物线C1的函数表达式为y1x22x3. ……………………………………3分 (2)∵y1x22x3=(x1)24,

∴抛物线C1的顶点为

(1,4).………………………………………………4分

图7 ∴平移后抛物线C2的顶点为(0,0),它对应的函数表达式为y2x2.…5

(3)a≥1(见图

7).………………………………………………………………7分

23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线ymx2+2xm22的开口向下,且抛物

线与y轴的交于点A,与x轴交于B,C两点,(B在C左侧).点A的纵坐标是3.

(1)求抛物线的解析式; (2)求直线AB的解析式;

(3)将抛物线在点C左侧的图形(含点C)记为G. 若直线ykxn(n0)与直线AB平行,且与 图形G恰有一个公共点,结合函数图象写出n的 取值范围.

23. (1)

抛物线ymx2+2xm21与y轴的交点A的纵坐标是3

m02+20m223解得:m1……………………………………………1

y321O-5-4-3-2-1-1-2-3-4-512345x分

抛物线开口向下m1

抛物线的解析式为yx2+2x3…………..……………………………………2

(2)由(1)可知B(1,0),C(3,0).设AB的解析式为ykxm.

m3m3则解得:

k3km0AB的解析式为:

y3x3………………….………………………………………..4分

(3)当y3xn经过(3,0)点时,n9…………………………………………….5分

结合图象可知,n的取值范围是

n9.………………………………………………7分 27.抛物线C1:yA

(

12xbxc与y轴交于点C(0,3),其对称轴与x轴交于点22,0).

(1)求抛物线C1的解析式;

(2)将抛物线C1适当平移,使平移后的抛物线C2的顶点为D(0,k).已知

点B(2,2),若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点,请结合函数图象,求k的取值范围.

27.解:(1)∵抛物线y3),

∴c3;………………………1分 ∵抛物线y∴b12212xbxc的对称轴为x2, 212xbxc与y轴交于点C(0,2C21O1BAyx2,

解得b2,………………………2分

12x2x3.………………………3分 21(2)由题意,抛物线C2的解析式为yx2k.………………………4分

21当抛物线经过点A(2,0)时,22k=0,

2∴抛物线C1的解析式为y解得k2.………………………5分 ∵O(0,0),B(2,2), ∴直线OB的解析式为yx.

yC21O1BAxyx,由, 12yxk2得x22x2k0,(*) 当Δ=(2)2412k=0,即k1时,………………………6分 2抛物线C2与直线OB只有一个公共点, 此时方程(*)化为x22x10, 解得x1,

即公共点P的横坐标为1,点P在线段OB上. ∴k的取值范围是2k1.………………………7分 2A1OB2DHEC

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