二次函数与一次函数结合题

二次函数与一次函数结

合题

Revised by Petrel at 2021

一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点，对于两个 （1） 求二次函数表达式时要填写最终的一般式 （2） 由一般式变顶点式时，可通过两个方法

方法一：通过定点坐标公式直接代入顶点式中，有一点需要注意，（X-h） 方法二：可通过配方法解决问题

1．如图，将抛物线M1:yax24x向右平移3个单位，

再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线yx与M1 的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的 横坐标是－3. （1）求a的值及M2的表达式；

（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的

垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时，直线yxn恰好经过

正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；

②在点C的运动过程中，若直线yxn与正方形CDEF始终没有公共点，求n的

取值范围（直接写出结果）.

27.解：（1）∵点A在直线yx，且点A的横坐标是－3，

∴A(－3，－

3).………………………………………………………………1分

把A(－3，－3)代入yax24x， 解得

a=1.……………………………………………………………………2分

∴M1:yx24x，顶点为(－2，－4). ∴M2的顶点为(1，－1).

∴M2的表达式为yx2-2x.…………3分 （2）①由题意，C(2，2)，

∴F(4，2).………………………………4分 ∵直线yxn经过点F， ∴2=4+n.

解得n=－2.………………………5分 ②n＞3，n＜－6.………………7分 一次函数与二次函数图像的结合，一定要多画图像进行观察通常是找临界点进

行观察计算

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22xa1与y轴交于C点，与

x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为-1．

12（1）求a的值；

（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P'，求点P'的坐标； （3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3

个单位，再向左平移m（m0）个单位，平移后的图象记为图象G，y若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围． 227．解：

O2-2x12（1）∵A（-1，0）在抛物线yax2xa1上， 2-21∴a2xa10，…….…………………………………………………...…1分 2∴解得a2，…………….………………………………………………………2分

（2）∴抛物线表达式为yx22x3．

∴抛物线yx22x3的顶点P的坐标为（1，4）．…………….….………3

分

（会配方，套公式给1

分）

∵点P关于原点的对称点为P'，

∴P'的坐标为（-1，-4）．………………………………………………….………4

分

（3）直线PP'的表达式为y4x，…………….……………….…5分

图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（-1，-3），B'的坐标为（y3，-3）， 若图象G与直线PP'无交点，则B'要左移到M及左边，

CP令y3代入PP'，则x，M的坐标为 ,3，………6分AO44A'M33BB'xP'315∴B'M=3，

44∴m15．……………………………………………..……………7分 4二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型，判断交点问题 27．已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．

y（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点

（3，0），求该抛物线的表达式；

O（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)

x在第一象限之间的部分为图象G，如果直线 y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数

的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．

27．（本小题满分7分）

（1）证明：∵△=(m+1)2－4×(－1)×(m+2)

=(m+3)2.……………………………………………………………1∵m＞0，

∴(m+3)2＞0， 即△＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根.…………………………………2

（2）解：∵抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），

∴－32+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3∴m=1.

∴y=－x2+2x+3.………………………………………………………4

（3）解：∵y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，

∴该抛物线的顶点为（1，4）.

∴当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时， ∴4=k(1+1)+4， ∴k=0， ∴y=4.

∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4.………………………5∵y=－x2+2x+3， ∴当x=0时，y=3，

∴该抛物线与y轴的交点为（0，3）.

分

分 分 分

分

∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3.………………………6分 ∴3＜t≤4.…………………………………………………………………7分

一次函数与二次函数焦点个数问题

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2mxn经过点A（-1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4.

y（1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛

物线对称

轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包

含A，B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围. 27.解：（1）∵抛物线y2x2mxn过点

A（-1，a），B（3，a），

43214321O12341234x∴抛物线的对称轴x=1．.…….1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.…….2分 ∴抛物线的表达式是y2(x1)24， 即y2x24x2．.…3分

把A（-1，a）代入抛物线表达式，求出a4．.…….4分

（2）∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D，∴D(1,4)．

求出直线CD的表达式为y4..…….5分

求出直线BD的表达式为y2x2，当x1时，y0．.…….6分 所以4t0．.…….7分

二次函数与一次函数结合焦点个数问题，多画图进行判断，注意临界点 27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1x2x2与y轴交于点A，顶点为点

2B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

27.(本小题满分7分)

解：（1）∵抛物线yx2x2与y轴交于点A，

∴点A的坐标为（0，2）．…………………………………………1分 ∵yx2x2(x1)212123， 2123∴抛物线的对称轴为直线x1，顶点B的坐标为（1，）．…………2分

2又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，

7y∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线

上．

设直线BC的解析式为ykxb．

6321EACBFD3∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，

22)，

31kb，k，∴2解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为

–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–712345x1yx1．…………………………3分

21（2）∵抛物线yx2x2中，

2当x4时，y6，

∴点D的坐标为(4，6)．………………4分

1∵直线yx1中，

2当x0时，y1，

当x4时，y3，

∴如图，点E的坐标为(0，1)，

点F的坐标为(4，3)．

设点A平移后的对应点为点A'，点D平移后的对应点为点D'． 当图象G向下平移至点A'与点E重合时，点D'在直线BC上方， 此时t=1；…………………………………………………………5分

当图象G向下平移至点D'与点F重合时，点A'在直线BC下方，此时t=3．

……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1t≤3．……………………………7分

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2mxn经过点A（-1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4.

y（1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛

物线对称

轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包

含A，B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围. 27.解：（1）∵抛物线y2x2mxn过点

A（-1，a），B（3，a），

43214321O12341234x∴抛物线的对称轴x=1．.…….1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.…….2分 ∴抛物线的表达式是y2(x1)24， 即y2x24x2．.…3分

把A（-1，a）代入抛物线表达式，求出a4．.…….4分

（2）∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D，∴D(1,4)．

求出直线CD的表达式为y4..…….5分

求出直线BD的表达式为y2x2，当x1时，y0．.…….6分 所以4t0．.…….7分

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1x2x2与y轴交于点A，顶点为点

2B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

27.(本小题满分7分)

解：（1）∵抛物线yx2x2与y轴交于点A，

∴点A的坐标为（0，2）．…………………………………………1分 ∵yx2x2(x1)212123， 2123∴抛物线的对称轴为直线x1，顶点B的坐标为（1，）．…………2分

2又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，

7y∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线

上．

设直线BC的解析式为ykxb．

6321EACBFD3∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，

22)，

31kb，k，∴2解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为

–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–712345x1yx1．…………………………3分

21（2）∵抛物线yx2x2中，

2当x4时，y6，

∴点D的坐标为(4，6)．………………4分

1∵直线yx1中，

2当x0时，y1， 当x4时，y3，

∴如图，点E的坐标为(0，1)，

点F的坐标为(4，3)．

设点A平移后的对应点为点A'，点D平移后的对应点为点D'． 当图象G向下平移至点A'与点E重合时，点D'在直线BC上方， 此时t=1；…………………………………………………………5分

当图象G向下平移至点D'与点F重合时，点A'在直线BC下方，此时t=3．

……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1t≤3．……………………………7分

b的图象交于27．二次函数yax2bxc(a0)的图象与一次函数y1xk

A(0，1)、B两点，C(1,0)为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数yax2bxc(a0)的表达式；

（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数yax2bxc(a0)的图象

b的图象； 和一次函数y1xk

（3）把（1）中的二次函数yax2bxc(a0)的图象平移后得到新的二次

函数y2ax2bxcm(a0,m为常数)的图象,.定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;如果y1=y2，函数f的函数值等于y1（或y2）.”当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.

x

27.解：（1）设抛物线解析式为ya(x1)，

由抛物线过点A(0，1)，可得yx22x1………..(2分)

2

（2）如图：

………………………………………..(5分) 1

（3）-4注意区间是否含有

27.已知二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1,0)，(0,3)两点． （1）求C1对应的函数表达式；

（2）将C1先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线C2，将C2对应的函数表达式记为y2x2mxn，求C2对应的函数表达式；

（3）设y32x3，在（2）的条件下，如果在2≤x≤a内存在某一个x的．．值，使得y2≤y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围． 27．解：（1）∵二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1,0)，(0,3)两点，

∴1bc0,………………………………1分

c3.b2,…………………………………2分 c3.解得∴抛物线C1的函数表达式为y1x22x3． ……………………………………3分 （2）∵y1x22x3=(x1)24，

∴抛物线C1的顶点为

(1,4)．………………………………………………4分

图7 ∴平移后抛物线C2的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为y2x2．…5

分

（3）a≥1（见图

7）．………………………………………………………………7分

23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx2+2xm22的开口向下，且抛物

线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点，（B在C左侧）.点A的纵坐标是3.

（1）求抛物线的解析式； （2）求直线AB的解析式；

（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G. 若直线ykxn(n0)与直线AB平行，且与 图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的 取值范围.

23. (1)

抛物线ymx2+2xm21与y轴的交点A的纵坐标是3

m02+20m223解得：m1……………………………………………1

y321O-5-4-3-2-1-1-2-3-4-512345x分

抛物线开口向下m1

抛物线的解析式为yx2+2x3…………..……………………………………2

分

(2)由（1）可知B(1,0),C(3,0).设AB的解析式为ykxm.

m3m3则解得:

k3km0AB的解析式为：

y3x3………………….………………………………………..4分

(3)当y3xn经过(3,0)点时，n9…………………………………………….5分

结合图象可知，n的取值范围是

n9.………………………………………………7分 27．抛物线C1:yA

(

12xbxc与y轴交于点C(0，3)，其对称轴与x轴交于点22，0)．

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D(0，k)．已知

点B(2，2)，若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．

27．解：（1）∵抛物线y3)，

∴c3；………………………1分 ∵抛物线y∴b12212xbxc的对称轴为x2， 212xbxc与y轴交于点C(0，2C21O1BAyx2，

解得b2，………………………2分

12x2x3．………………………3分 21（2）由题意，抛物线C2的解析式为yx2k．………………………4分

21当抛物线经过点A(2，0)时，22k＝0，

2∴抛物线C1的解析式为y解得k2．………………………5分 ∵O(0，0)，B(2，2)， ∴直线OB的解析式为yx．

yC21O1BAxyx,由， 12yxk2得x22x2k0，（*） 当Δ＝(2)2412k＝0，即k1时，………………………6分 2抛物线C2与直线OB只有一个公共点， 此时方程（*）化为x22x10， 解得x1，

即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上． ∴k的取值范围是2k1．………………………7分 2A1OB2DHEC