二次函数与一次函数结
合题
Revised by Petrel at 2021
一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点,对于两个 (1) 求二次函数表达式时要填写最终的一般式 (2) 由一般式变顶点式时,可通过两个方法
方法一:通过定点坐标公式直接代入顶点式中,有一点需要注意,(X-h) 方法二:可通过配方法解决问题
1.如图,将抛物线M1:yax24x向右平移3个单位,
再向上平移3个单位,得到抛物线M2,直线yx与M1 的一个交点记为A,与M2的一个交点记为B,点A的 横坐标是-3. (1)求a的值及M2的表达式;
(2)点C是线段AB上的一个动点,过点C作x轴的
垂线,垂足为D,在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时,直线yxn恰好经过
正方形CDEF的顶点F,求此时n的值;
②在点C的运动过程中,若直线yxn与正方形CDEF始终没有公共点,求n的
取值范围(直接写出结果).
27.解:(1)∵点A在直线yx,且点A的横坐标是-3,
∴A(-3,-
3).………………………………………………………………1分
把A(-3,-3)代入yax24x, 解得
a=1.……………………………………………………………………2分
∴M1:yx24x,顶点为(-2,-4). ∴M2的顶点为(1,-1).
∴M2的表达式为yx2-2x.…………3分 (2)①由题意,C(2,2),
∴F(4,2).………………………………4分 ∵直线yxn经过点F, ∴2=4+n.
解得n=-2.………………………5分 ②n>3,n<-6.………………7分 一次函数与二次函数图像的结合,一定要多画图像进行观察通常是找临界点进
行观察计算
27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax22xa1与y轴交于C点,与
x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),且点A的横坐标为-1.
12(1)求a的值;
(2)设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P',求点P'的坐标; (3)将抛物线在A,B两点之间的部分(包括A,B两点),先向下平移3
个单位,再向左平移m(m0)个单位,平移后的图象记为图象G,y若图象G与直线PP'无交点,求m的取值范围. 227.解:
O2-2x12(1)∵A(-1,0)在抛物线yax2xa1上, 2-21∴a2xa10,…….…………………………………………………...…1分 2∴解得a2,…………….………………………………………………………2分
(2)∴抛物线表达式为yx22x3.
∴抛物线yx22x3的顶点P的坐标为(1,4).…………….….………3
分
(会配方,套公式给1
分)
∵点P关于原点的对称点为P',
∴P'的坐标为(-1,-4).………………………………………………….………4
分
(3)直线PP'的表达式为y4x,…………….……………….…5分
图象向下平移3个单位后,A'的坐标为(-1,-3),B'的坐标为(y3,-3), 若图象G与直线PP'无交点,则B'要左移到M及左边,
CP令y3代入PP',则x,M的坐标为 ,3,………6分AO44A'M33BB'xP'315∴B'M=3,
44∴m15.……………………………………………..……………7分 4二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型,判断交点问题 27.已知:关于x的一元二次方程-x2+(m+1)x+(m+2)=0(m>0).
y(1)求证:该方程有两个不相等的实数根; (2)当抛物线y=-x2+(m+1)x+(m+2)经过点
(3,0),求该抛物线的表达式;
O(3)在(2)的条件下,记抛物线y=-x2+(m+1)x+(m+2)
x在第一象限之间的部分为图象G,如果直线 y=k(x+1)+4与图象G有公共点,请结合函数
的图象,求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围.
27.(本小题满分7分)
(1)证明:∵△=(m+1)2-4×(-1)×(m+2)
=(m+3)2.……………………………………………………………1∵m>0,
∴(m+3)2>0, 即△>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.…………………………………2
(2)解:∵抛物线抛物线y=-x2+(m+1)x+(m+2)经过点(3,0),
∴-32+3(m+1)+(m+2)=0,………………………………………………3∴m=1.
∴y=-x2+2x+3.………………………………………………………4
(3)解:∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴该抛物线的顶点为(1,4).
∴当直线y=k(x+1)+4经过顶点(1,4)时, ∴4=k(1+1)+4, ∴k=0, ∴y=4.
∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4.………………………5∵y=-x2+2x+3, ∴当x=0时,y=3,
∴该抛物线与y轴的交点为(0,3).
分
分 分 分
分
∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3.………………………6分 ∴3<t≤4.…………………………………………………………………7分
一次函数与二次函数焦点个数问题
27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2x2mxn经过点A(-1,a),B(3,a),且最低点的纵坐标为-4.
y(1)求抛物线的表达式及a的值;
(2)设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D,点P是抛
物线对称
轴上一动点,记抛物线在点A,B之间的部分为图象G(包
含A,B两点).如果直线DP与图象G恰有两个公共点,结合函数图象,求点P纵坐标t的取值范围. 27.解:(1)∵抛物线y2x2mxn过点
A(-1,a),B(3,a),
43214321O12341234x∴抛物线的对称轴x=1..…….1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4, ∴抛物线的顶点是(1,-4)..…….2分 ∴抛物线的表达式是y2(x1)24, 即y2x24x2..…3分
把A(-1,a)代入抛物线表达式,求出a4..…….4分
(2)∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D,∴D(1,4).
求出直线CD的表达式为y4..…….5分
求出直线BD的表达式为y2x2,当x1时,y0..…….6分 所以4t0..…….7分
二次函数与一次函数结合焦点个数问题,多画图进行判断,注意临界点 27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1x2x2与y轴交于点A,顶点为点
2B,点C与点A关于抛物线的对称轴对称. (1)求直线BC的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图象G,若图象G向下平移t(t0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围.
27.(本小题满分7分)
解:(1)∵抛物线yx2x2与y轴交于点A,
∴点A的坐标为(0,2).…………………………………………1分 ∵yx2x2(x1)212123, 2123∴抛物线的对称轴为直线x1,顶点B的坐标为(1,).…………2分
2又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称,
7y∴点C的坐标为(2,2),且点C在抛物线
上.
设直线BC的解析式为ykxb.
6321EACBFD3∵直线BC经过点B(1,)和点C(2,
22),
31kb,k,∴2解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为
–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–712345x1yx1.…………………………3分
21(2)∵抛物线yx2x2中,
2当x4时,y6,
∴点D的坐标为(4,6).………………4分
1∵直线yx1中,
2当x0时,y1,
当x4时,y3,
∴如图,点E的坐标为(0,1),
点F的坐标为(4,3).
设点A平移后的对应点为点A',点D平移后的对应点为点D'. 当图象G向下平移至点A'与点E重合时,点D'在直线BC上方, 此时t=1;…………………………………………………………5分
当图象G向下平移至点D'与点F重合时,点A'在直线BC下方,此时t=3.
……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1t≤3.……………………………7分
27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2x2mxn经过点A(-1,a),B(3,a),且最低点的纵坐标为-4.
y(1)求抛物线的表达式及a的值;
(2)设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D,点P是抛
物线对称
轴上一动点,记抛物线在点A,B之间的部分为图象G(包
含A,B两点).如果直线DP与图象G恰有两个公共点,结合函数图象,求点P纵坐标t的取值范围. 27.解:(1)∵抛物线y2x2mxn过点
A(-1,a),B(3,a),
43214321O12341234x∴抛物线的对称轴x=1..…….1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4, ∴抛物线的顶点是(1,-4)..…….2分 ∴抛物线的表达式是y2(x1)24, 即y2x24x2..…3分
把A(-1,a)代入抛物线表达式,求出a4..…….4分
(2)∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D,∴D(1,4).
求出直线CD的表达式为y4..…….5分
求出直线BD的表达式为y2x2,当x1时,y0..…….6分 所以4t0..…….7分
27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1x2x2与y轴交于点A,顶点为点
2B,点C与点A关于抛物线的对称轴对称. (1)求直线BC的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图象G,若图象G向下平移t(t0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围.
27.(本小题满分7分)
解:(1)∵抛物线yx2x2与y轴交于点A,
∴点A的坐标为(0,2).…………………………………………1分 ∵yx2x2(x1)212123, 2123∴抛物线的对称轴为直线x1,顶点B的坐标为(1,).…………2分
2又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称,
7y∴点C的坐标为(2,2),且点C在抛物线
上.
设直线BC的解析式为ykxb.
6321EACBFD3∵直线BC经过点B(1,)和点C(2,
22),
31kb,k,∴2解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为
–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–6–712345x1yx1.…………………………3分
21(2)∵抛物线yx2x2中,
2当x4时,y6,
∴点D的坐标为(4,6).………………4分
1∵直线yx1中,
2当x0时,y1, 当x4时,y3,
∴如图,点E的坐标为(0,1),
点F的坐标为(4,3).
设点A平移后的对应点为点A',点D平移后的对应点为点D'. 当图象G向下平移至点A'与点E重合时,点D'在直线BC上方, 此时t=1;…………………………………………………………5分
当图象G向下平移至点D'与点F重合时,点A'在直线BC下方,此时t=3.
……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1t≤3.……………………………7分
b的图象交于27.二次函数yax2bxc(a0)的图象与一次函数y1xk
A(0,1)、B两点,C(1,0)为二次函数图象的顶点. (1)求二次函数yax2bxc(a0)的表达式;
(2)在所给的平面直角坐标系中画出二次函数yax2bxc(a0)的图象
b的图象; 和一次函数y1xk
(3)把(1)中的二次函数yax2bxc(a0)的图象平移后得到新的二次
函数y2ax2bxcm(a0,m为常数)的图象,.定义新函数f:“当自变量x任取一值时,x对应的函数值分别为y1或y2,如果y1≠y2,函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;如果y1=y2,函数f的函数值等于y1(或y2).”当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.
x
27.解:(1)设抛物线解析式为ya(x1),
由抛物线过点A(0,1),可得yx22x1………..(2分)
2
(2)如图:
………………………………………..(5分) 1
(3)-4 27.已知二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1,0),(0,3)两点. (1)求C1对应的函数表达式; (2)将C1先向左平移1个单位,再向上平移4个单位,得到抛物线C2,将C2对应的函数表达式记为y2x2mxn,求C2对应的函数表达式; (3)设y32x3,在(2)的条件下,如果在2≤x≤a内存在某一个x的..值,使得y2≤y3成立,利用函数图象直接写出a的取值范围. 27.解:(1)∵二次函数y1x2bxc的图象C1经过(1,0),(0,3)两点, ∴1bc0,………………………………1分 c3.b2,…………………………………2分 c3.解得∴抛物线C1的函数表达式为y1x22x3. ……………………………………3分 (2)∵y1x22x3=(x1)24, ∴抛物线C1的顶点为 (1,4).………………………………………………4分 图7 ∴平移后抛物线C2的顶点为(0,0),它对应的函数表达式为y2x2.…5 分 (3)a≥1(见图 7).………………………………………………………………7分 23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线ymx2+2xm22的开口向下,且抛物 线与y轴的交于点A,与x轴交于B,C两点,(B在C左侧).点A的纵坐标是3. (1)求抛物线的解析式; (2)求直线AB的解析式; (3)将抛物线在点C左侧的图形(含点C)记为G. 若直线ykxn(n0)与直线AB平行,且与 图形G恰有一个公共点,结合函数图象写出n的 取值范围. 23. (1) 抛物线ymx2+2xm21与y轴的交点A的纵坐标是3 m02+20m223解得:m1……………………………………………1 y321O-5-4-3-2-1-1-2-3-4-512345x分 抛物线开口向下m1 抛物线的解析式为yx2+2x3…………..……………………………………2 分 (2)由(1)可知B(1,0),C(3,0).设AB的解析式为ykxm. m3m3则解得: k3km0AB的解析式为: y3x3………………….………………………………………..4分 (3)当y3xn经过(3,0)点时,n9…………………………………………….5分 结合图象可知,n的取值范围是 n9.………………………………………………7分 27.抛物线C1:yA ( 12xbxc与y轴交于点C(0,3),其对称轴与x轴交于点22,0). (1)求抛物线C1的解析式; (2)将抛物线C1适当平移,使平移后的抛物线C2的顶点为D(0,k).已知 点B(2,2),若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点,请结合函数图象,求k的取值范围. 27.解:(1)∵抛物线y3), ∴c3;………………………1分 ∵抛物线y∴b12212xbxc的对称轴为x2, 212xbxc与y轴交于点C(0,2C21O1BAyx2, 解得b2,………………………2分 12x2x3.………………………3分 21(2)由题意,抛物线C2的解析式为yx2k.………………………4分 21当抛物线经过点A(2,0)时,22k=0, 2∴抛物线C1的解析式为y解得k2.………………………5分 ∵O(0,0),B(2,2), ∴直线OB的解析式为yx. yC21O1BAxyx,由, 12yxk2得x22x2k0,(*) 当Δ=(2)2412k=0,即k1时,………………………6分 2抛物线C2与直线OB只有一个公共点, 此时方程(*)化为x22x10, 解得x1, 即公共点P的横坐标为1,点P在线段OB上. ∴k的取值范围是2k1.………………………7分 2A1OB2DHEC 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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