(完整版)三角函数图像与性质知识点总结和经典题型,推荐文档

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724xy=cosx-4-72-5-321-1o2322523724xyy=tanx-32--2o232x2．三角函数的单调区间：

求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

2k(kZ)，递减区间是ysinx的递增区间是2k，2232k，2k(kZ)；222k(kZ)，递减区间是2k，2kycosx的递增区间是2k，(kZ)，

ytanx的递增区间是k，k(kZ)，

223．对称轴与对称中心：

ysinx的对称轴为xk2，对称中心为(k,0) kZ；

ycosx的对称轴为xk，对称中心为(k2,0)；

ytanx无对称轴，对称中心为(k2,0)；

对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

（其中A0，0）4．函数yAsin(x)B最大值是AB，最小值是BA，周期是T是x，初

相是；其图象的对称轴是直线xk线yB的交点都是该图象的对称中心。

y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

最高点－最低点①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝

2；

最高点＋最低点

2

2π

；

22，频率是f，相位2(kZ)，凡是该图象与直

③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝ω(ω>0)来确定ω；

④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为φφ－ω(即令ωx＋φ＝0，x＝－ω)确定φ.

5.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩

　　ysinx的图象平移个单位长度向左(>0)或向右(0)得ysin(x)的图象1到原来的纵坐标不变()纵坐标伸长(A1)或缩短(01)得yAsin(x)k的图象．先伸缩后平移

ysinx的图象为原来的倍A(横坐标不变)纵坐标伸长或缩短(A1)(0A1)得yAsinx的图象1到原来的纵坐标不变()横坐标伸长或缩短(01)(1)向左或向右(0)(0)得yAsin(x)的图象

平移个单位得yAsin(x)k的图得yAsinx(x)的图象平移个单位长度k向上或向下(k0)(k0)象．

6．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。7．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

2π

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|，

π

y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|ω| .

8．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、

π3π、π、、2π来求相应的x值及22对应的y值，再描点作图。

9. 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，.

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：

y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1).三角函数的图象及常用性质函数

πy＝sin x

π在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减

在[－2＋2kπ，2＋2kπ]

单调性

(k∈Z)上单调递增；在π

3π

[2＋2kπ，2＋2kπ](k∈Z)

y＝cos x

在π

π

(－2＋kπ，2＋kπ)(k∈Z)上单调递增

y＝tan x

上单调递减

对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称性

π

对称轴：x＝2＋kπ(k∈Z)

π

对称中心：(2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)

对称中心：kπ

(2，0)(k∈Z)

四．典例解析

题型1：三角函数的图象

例1．（全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）

解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除

A、C，当x∈（0，

2）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。

题型2：三角函数图象的变换

（四川）将函数ysinx的图像上所有的点向右平行移动

10个单位长度，再把所得各点

的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

（A）ysin(2x10) )

（B）ysin(2x5)（C）ysin(x1210（D）ysin(x1220)解析：将函数ysinx的图像上所有的点向右平行移动解

析式为y＝sin(x－

10个单位长度，所得函数图象的

10) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得

图像的函数解析式是ysin(x1210).

题型3：三角函数图象的应用

π

例1：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<2)的部分图象如图所示．求f(x)的解析式；

Tπ2ππ3解：由图可知A＝2，4＝3，则ω＝4×3

∴ω＝2.

π3πππ

又f(－6)＝2sin[2×(－6)＋φ]＝2sin(－4＋φ)＝0 ∴sin(φ－4)＝0

ππππππ3π∵0<φ<2，∴－4<φ－4<4∴φ－4＝0，即φ＝4∴f(x)＝2sin(2x＋4)．

例2．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.

T

3

解析：由图可知，2＝2π－4π，

52π∴T＝2π，∴ω＝2π，∴ω＝5，4∴y＝sin(5x＋φ)．

43又∵sin(5×4π＋φ)＝－1，

3∴sin(5π＋φ)＝－1，33∴5π＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z.

9

9

∵－π≤φ<π，∴φ＝10π. 答案：10π

例3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.

2π

π

π

π

π

解析：由图象知T＝2(3－6)＝π.

2ππ

∴ω＝T＝2，把点(6，1)代入，可得2×6＋φ＝2，φ＝6.

π2

例4．(辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)

＝________.

T

11

7

π

2π

的图象如图所示，f(2)＝－3，则f(0)

解析：2＝12π－12π＝3，∴ω＝T＝3.7又(12π，0)是函数的一个上升段的零点，

73ππ

∴3×12π＋φ＝2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－4＋2kπ，k∈Z，

22π22

代入f(2)＝－3，得A＝3，∴f(0)＝3.

例5.右图所示的曲线是yAsin(x)(A0,0)的图象的一部分， 求这个函数的解析式.解：由函数图象可知

y2452A2,T(),即，361225又(，0）是“五点法”作图的第五个点，65即22，.63所求函数的解析式为y2sin(2xo1256xy3NM23).o例6：右图为yAsin(x)的图象的一段，求其解析式.解1：以点N为第一个零点，则A3,335x6T2(5),632,此时解析式为y3sin(2x).点N(,0)66203.所求解析式为y3sin(2x3)解2：以点M(解析式为y3,0)为第一个零点，则A3,22,T3sin(2x),将点M的坐标代入得22).3302,3所求解析式为y3sin(2x小结：

求函数yAsin(x)的表达式：1.A由图像中的振幅确定;2.由图像的周期确定;3.求常用的两种方法： (1)平移法 (2)代点法题型4：三角函数的定义域、值域

已知函数f(x)2sin(x)cosx.

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)在区间,上的最大值和最小值.

62解：（1）∵fx2sinxcosx2sinxcosxsin2x∴函数f(x)的最小正周期为.

（2）由6x232x，∴3sin2x1，2∴f(x)在区间3,上的最大值为1，最小值为. 262题型5：三角函数的单调性例．求下列函数的单调区间：

ysin(2x6)+1

解：因为函数ysinx的单调递增区间为故 2k,2k(kZ)，

2222k2x622k(kZ)

3kx6k(kZ)故函数ysin(2x6)1的单调递增区间为[3k,6k](kZ)