12B-SX-0000022
绝密★启用前
_ - _ _ _ - 2019年普通高等学校招生全国统一考试
_ _ _ - 文科数学 全国 I 卷
_ ： -
本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
号 学
-
(适用地区：河北、河南、山西、山东、江西、安徽、湖北、湖南、广东、福建 )
_ -
注意事项： _ _ - _ _ 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 _ - _ 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 _ _ - _ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 _ _ _
线 答题卡上。写在本试卷上无效。 _ _ 封 _ _ 密 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 _ _ _
- ： - 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四
个选 名 姓
- 项中， 只有一项是符合题目要求的。 -
3 i - 1 ．设 z 1 2i
，则 z =
专业资料
比是
5 1
（
5 1
≈ 0.618 ) ，称为黄金分割比例 ，
著名
2
2
的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉
的长度与咽喉至肚脐的
长度之比也是
5
．
1
若某 人2
满足上述两个黄金分割比例，且腿长为
105cm，头顶至脖子下 端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm 在[— π， π的] 图像大致为
D. 190cm
sin x x
函数 f(x)=
cos x 2
x
Word格式
班 _ _ _ _ - -
A． 2
B．
-
2．已知集合 3
C．
2
D．1
A. B.
U 1,2,3,4,5,6,7 ，A 2,3,4,5 ，B 2,3,6,7
，则
_ - _ _ 线 年 封 _ 密 _ _ - _ - 3．已知_ _ - _ - _ _ - _ _ _ - _ _ _ -
_ _ _ -
_ _ _ - 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足
_ _ _ _ _ _ ： 校 学
专业资料
B e A U
A．
1,6
B．
1,7
C． 6,7
D．
1,6,7
0.2
0.3
a
log 0.2,b 2 ,c 0.2
，则
2
A． a b c
B． a c b C． c a b D． b c a
底的长度之 - 1 - C.
D.
6．某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为
1， 2，⋯ ， 1 000，
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验.若 46 号学生
被抽到，则下面4 名学生中被抽到的是 A ．8 号学生 B．200 号学生
C． 616 号学生
D．815 号学生7．tan255 =°
A ．－ 2－
3
B．－ 2+
3
C．2－
3
D． 2+
3
- 2 -
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8．已知非零向量 a，b 满足 a =2 b ，且（a–b）
π π 2 π A ． B． C．
b，则 a 与 b 的夹角为
5 π
D．
2
2
2
x 3
2 2
y 2
1
6 3 3 6
1
1
的程序框图，图中空白框中应填入 9. 如图是求
2 2 1
2
1
y 4
x 5 专业资料
2
1
y
1
A ．
C ．
x B．
D ．
2
2
2
A. A=
1
2 A 1
B. A= A C. A=
1
D. A= 2
A
2 1 1 2 A 1
10．双曲线 C：专业资料
2
2
x
y
2
2
0, a b
的一条渐近线的倾斜角为0)
°，则Word格式
x y 4
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
) x
y 3(x x e 在点 (0, 0) 处的切线方程为
___________．
13．曲线
15 ．函数
3
14．记 Sn 为等比数列 { an} 的前 n 项和.若 a1
1，S3
，则 S4=___________．
4
3π
f (x) sin(2 x ) 3cos x 的最小值为 ___________．
2
16．已知∠ ACB= 90°，P 为平面 ABC 外一点， PC =2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC
的距离均为
3 ，那么
P
到平面 ABC
的距离为 ___________
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第
17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求
C 的
作答。
（一）必考题：共 60 分。
1( 130Word格式
a b
离心率为
A．2sin40 °
B．2cos40 °
1 C．
17．（ 12 分）
sin50
1 D．
cos50
某商场为提高服务质量， 随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客， 每位顾客对
11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4 csinC，
cosA=－ 1 ，则
b 4 c =
A．6
B．5
C．4
D．3
12．已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0),F2(1,0)，过 F
2 的直线与 C 交于 A，
|AF | 2|F B|， | AB| | BF1|，则 C 的方程为
2
2
- 3 - 专业资料
B 两点.若
该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意 男顾客 40 10
女顾客 30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
- 4 -
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附：
2
2
K
2
n( ad bc) ．
(a b)(c d )(a c)(b d)
0.050
0.010 6.635
0.001 10.828
18．（ 12 分）
记Sn 为等差数列{ an} 的前 n 项和，已知S9=－a5． （ 1）若 a3=4，求 { an} 的通项公式；
P（K ≥k）
k 3.841
（ 2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
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- 5 - - 6 -
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19．（ 12 分）
如图， 直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，∠BAD =60°，
E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 .
（ 1）证明：f （x）在区间（ 0， π）存在唯一零点； ′
（ 1）证明：MN∥平面 C1DE；
（ 2）若 x∈[0， π时] ， f（x）≥ax，求 a 的取值范围．
（ 2）求点 C 到平面 C1DE 的距离．
20．（ 12 分）
已知函数 f（x） =2sinx－xcosx－x，f （′x）为f（ x）的导数．
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- 7 - - 8 -
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10.（12 分）
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则
按所做的第一题计分。
22．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]（10 分）
x 1 t
2
2
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
1 t y
4t 1 t
2
，标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 cos 3 sin 11 0
．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
t 为参数），以坐l 的极坐标方程为已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0
相切．
（1）若 A 在直线 x+ y=0 上，求⊙ M 的半径；
（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，│MA│－ │MP│为定值？并说明理由．
（
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- 9 - - 10 -
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23．[选修 4-5 ：不等式选讲 ]（10 分）
已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
1 （1）
1 b
3
1 c
a
（2）
2
a
2
b
3
c ；
3
2
(a b) (b c) (c a) 24．
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- 11 - - 12 -
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 全国 I 卷 参考答案
2．C 3． B 4． B 5．D 6．C
由 1
a0知 d 0，故 Sn⋯ an 等价于
2
所以 n的取值范围是 { n |1剟n 10, n N } ． 一、选题择 1．C 19．解：
n
11 10 0 n , ，解得 1≤n≤ 1．0
7．D
8．B
9． A
10．D
11．A
12．B
二、填空题 13．y=3x
14．
5
8
15．- 4 16． 2
三、解答题 17．解：
（ 1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8
50
，因此男顾
客对该商场服务满意的概率的估计值为
0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.6
50
，因此女顾客对该商场服务满
意的概率的估计值为 0.6
．
2
2
100 (40 20 30 10)
K
4.762．
（ 2） 50 50 70 30
由于 4.762 3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有
差异 . 18．解：
（ 1）设an 的公差为 d．
由 S
9
a5得 a1 4d 0．
由 a3=4得 a1
2d 4． 于是 a1
8,d
2．
专业资料
（1）连B结1C, ME.因为 M，E分别为 BB1, BC的中点，所以
ME∥B1C，且
1
1 ME
BC .又因为 N为 A1D的中点，所以
ND
A D .
1
1
2
2
由题设知
AB ∥ DC ，可得 BC∥ AD ，故 ME ∥= ND
，因此四边形MNDE
1 1 = 1 =
1
为平行四边形，
MN∥ED .又 MN
平面
C1DE，所以 MN ∥平面 C1DE.
2）过C作C1E的垂线，垂足为 H.
由已知可得
DE
BC ， DE C1C，所以 DE⊥平面 C1
CE，故 DE⊥CH.
从而 的距离，
CH CDE ⊥ 平面
CH
的长即为
CDE ，故1
由已知可得 CE=1，C1C=4，所以 C1E
从而点 C到平面
C1DE的距离为
4 17
17
.
C
1
（到平
Word格式
因此
an
的通项公式为
an 10 2n．
4d，故
a
n
（ 2）由（ 1）得 a1
( n
5) , d S
n
( 9)
n n d
.
20．解：
2
- 13 -
- 14 -
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（1）设g (x)
f ( x) ，则g( x) cos x x sin x 1, g ( x)
x cos x .
当 (0, π)
π
x
时，g ( x) 0 ；当
x
时，g (x) 0，所以 g ( x) 在 (0, π)
2
,π
2
2
单调递增，在
π
,π
单调递减.
2
π
又
g(0) 0,g
0,g(π) 2，故 g ( x) 在 (0, π) 存在唯一零点 .
2
所以 f ( x) 在 (0, π) 存在唯一零点 .
（2）由题设知 f ( π)⋯ aπ, f (π) 0 ，可得 a≤ 0. 由（ 1）知， f ( x) 在 (0, π) 只有一个零点，设为
x0 ，且当
时，
x
0,x
0
f x ；当
x
x0,π时， f (x ) 0 ，所以 f ( x) 在 0, x0
单调递增，
( )
0
在
x0 ,π 单调递减.
又 f (0) 0, f ( π) 0 ，所以，当 x [0, π] 时， f ( x)⋯ 0 .
又当 a, 0, x [0, π] 时， ax≤ 0，故 f ( x)⋯ ax . 因此， a的取值范围是 (
,0] .
21．解：（1）因为 M 过点 A,B，所以圆心M 在 AB 的垂直平分线上 .由已知 A 在 直线 x+y=0 上，且 A,B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y x上，故可 设M (a, a) . 因为
M 与直线 x+2=0相切，所以 M 的半径为 r | a 2 | .
2
2
由已知得 |AO |=2 ，又 MO
AO ，故可得
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Word格式
由于 MO
AO ，故可得
2
2
4 ( 2)2
x y x ，化简得
M 的轨迹方程为
2
4 y
x.
2
1 为准线的抛物线，因为曲线
C: y 4x是以点 P (1,0) 为焦点， 以直线 x
所以 |MP |= x+1 .
因为 |MA | |MP |=r |MP |= x+2
(x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点
P.
2 2
2
2
2
22．解：（1）因为
1 t 2
1 1
x
y 1 t
4t
2
，所以
，且
2
2
1
2
2
1 t 1 t
1 t
2
C的直角坐标方程为
y 2
1(
1)
x
x
.
4
l 的直角坐标方程为 2x
3y 11 0 .
（2）由（ 1）可设C的参数方程为
x
cos , （
为参数，
π
π）.y 2sin
π
4cos
11 C上的点到
l 的距离为 | 2cos
2 3 sin
11|
3
7
7
.
当
2 π π
时， 4cos
11 3
3
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2a 4 (a 2) ，解得 a=0 或
取得最小值 7，故C上的点到
l 距离的最小
a=4.
故 M 的半径 r =2或 r =6 .
（2）存在定点 P (1,0) ，使得 | MA | | MP | 为定值 . 理由如下：
M设 (x, y ) ，由已知得 M 的半径为 r =|x+2|,|AO|=2 .
- 15 -
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值为
7 .
23．解：（1）因为
2
2
2 , 2 2 2 , 2 2 a b abb c bc c a
a
2
b 2
c 2
ab bc ca ab bc ca
1 1 abc
a b
所以 1
1 1 a 2
b2
c 2
a
b
c
.
- 16 -
2
ac，又1 .
c
abc ，故有1
Word格式
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（2）因为 a, b, c 为正数且 abc
3
3
3
1，故有
3
3
3
3
(a b) (b c) (c a) 3 (a b) (b c) (a c)
=3(a +b)(b +c)( a+c)
3 (2 ab) (2 bc) (2 ac)
=24. 所以
3
3
3
(a b) (b c) (c a)
24.
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- 17 - - 18 -
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- 19 - - 20 -
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- 21 -
专业资料
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- 22 -
.谢谢..再见.
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