2019年高考文科数学全国1卷(附答案)

_ 学号：________ - - - - - - 绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

比是

文科数学全国I卷

本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟

(适用地区：河北、河南、山西、山东、江西、安徽、湖北、湖南、广东、福建) 注意事项：

5151

≈0.618，称为黄金分割比例)，著名 （

22

的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉 的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

．若某人满足 2

_ _-_ 1． 答

卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 _ _-_ 2． 回

答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。_ _-_ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在_ __线答题卡上。写在本试卷上无效。

__封__密3． 考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 _ _

_-： 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选

名- 姓 -项中，只有一项是符合题目要求的。 - 1．设z3i -12i，则z= 班 _-_ A．2 B．_ 3

C．2 D．1

_-_ _ _-年 2．已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则

_-_ _ __线BCUA

__封 密_ _ A．

1,6 B． 1,7 C．6,7

D．

1,6,7

_-_ _ _-_ _ 3．已知alog20.2_-20.2,b,c0.20.3，则

_ _ _-_ _ A． abc B．acb _-_ _ _-_ _ C．cab

D．bca

：- 校 -学4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之

-- 1- - 2 -上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下 端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm

C. 185 cm D. 190cm

5.函数f(x)=

sinxxcosxx2在[—π，π]的图像大致为 A.

B.

C.

D.

6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A．8号学生

B．200号学生C．616号学生D．815号学生

7．tan255°= A．－2－3

B．－2+3 C．2－3 D．2+3

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8．已知非零向量a，b满足a=2

b，且（a–b）b，则a与b的夹角为 A．

π BπC．

2π6．3 3 D．

5π6 19.如图是求21的程序框图，图中空白框中应填入

212A. A=12A

B. A=21A

C. A=112A

D. A=112A

x2

．双曲线C：a2y210b21(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40°

B．2cos40° C．

1

1sin50D．

cos50

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，

cosA=－1b4，则

c=

A．6

B．5 C．4

D．3 12．已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若

|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为

- 3- - 4 -

x22A．B．x2y21

3y221

x2y2C．431

．x25y2D41

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________．

14．记S3n为等比数列{an}的前n项和.若a11，S34，则S4=___________． 15．函数f(x)sin(2x3π2)3cosx的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC

的距离均为

3，那么P到平面ABC的距离为___________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。 17．（12分）

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

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n(adbc)2附：K．

(ab)(cd)(ac)(bd)2

18．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

- 5- - 6 -

P（K2≥k） 0.050 k 3.841

0.010 6.635 0.001 10.828 2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国I卷

19．（12分）

20．（12分）

A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，BB1，A1D的中点. C1DE； DE的距离．

- 7- - 8 -已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

如图，直四棱柱ABCD–E，M，N分别是BC，（1）证明：MN∥平面（2）求点C到平面C1

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21.（12分）

B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，B且与直线x+2=0已知点A，⊙M过点A，

相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

│MA│－│MP│为定值？并说明理由． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则

按所做的第一题计分。

22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）

1t2x，1t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐

y4t1t2标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2cos3sin110．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

- 9- - 10 -

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23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）

- 11- - 12 -

111a2b2c2； abc3（2）(ab)

(bc)3(ca)324．

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文科数学全国I卷参

一、选择题 1．C 2．C 7．D 8．B

3．B 9．A

4．B 10．D （2）由（1）得a1由a16．C 12．B

19．解：

4d，故an(n5)d,Snn(n9)d2.

0知d0，故Sn…an等价于n211n10„0，解得1≤n≤10．

5．D 11．A

所以n的取值范围是{n|1剟n10,nN}．

二、填空题 13．y=3x 14．58 15．−4 16．2

三、解答题 17．解：

（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40500.8，因此男顾

客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为30500.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

（2）K2100(40203010)2505070304.762． 由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解：

（1）设an的公差为d．

由S9a5得a14d0．

由a3=4得a12d4．

于是a18,d2．

因此

an的通项公式为an102n．

- 13- - 14 -（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME ∥ B1C，且

ME12BC1.又因为N为A1D的中点，所以ND12A1D. 由题设知AB11∥=DC，可得BC1∥=A1D，故ME∥=ND，因此四边形MNDE

为平行四边形，MN∥ED.又MN平面C1DE，所以MN∥平面C1DE. （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.

从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离， 由已知可得CE=1，C171C=4，所以C1E17，故CH417. 从而点C到平面C1DE的距离为

41717.

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（2）存在定点P(1,0)，使得|MA||MP|为定值. 理由如下：

20．解：

（1）设g(x)f(x)，则g(x)cosxxsinx1,g(x)xcosx.

当x(0,π)时，g(x)0；当xπ22,π时，g(x)0，所以g(x)在(0,π2)

单调递增，在π2,π单调递减.

又g(0)0,gπ20,g(π)2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点. 所以f(x)在(0,π)存在唯一零点.

（2）由题设知f(π)…aπ,f(π)0，可得a≤0. 由（1）知，f(x)在(0,π)只有一个零点，设为

x0，且当x0,x0时，

f(x)0；当xx0,π时，f(x)0，所以f(x)在0,x0单调递增，

在

x0,π单调递减.

又f(0)0,f(π)0，所以，当x[0,π]时，f(x)…0. 又当a„0,x[0,π]时，ax≤0，故f(x)…ax. 因此，a的取值范围是(,0]. 21．解：（1）因为M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在

直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a, a).

因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r|a2|.

由已知得|AO|=2，又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a=0或

a=4.

故M的半径r=2或r=6.

- 15- - 16 -设M(x, y)，由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2. 由于MOAO，故可得

x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为

y24x.

因为曲线C:y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物

线，所以|MP|=x+1.

因为|MA||MP|=r|MP|=x+2(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.

22．解：（1）因为11t21t212222，且x2y1t4t21t21t221，所以C的直角坐标方程为x2y241(x1). l的直角坐标方程为2x3y110.

（2）由（1）可设C的参数方程为xcos,2sin（为参数，ππ）.

yπC上的点到l的距离为|2cos23sin11|4cos31177.

当2π3时，4cosπ311取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.

23．解：（1）因为a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac，又abc1，故有

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a2b2c2abbccaabbccaabc111abc.

所以

111a2b2c2abc. （2）因为a, b, c为正数且abc1，故有

(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)

3(2ab)(2bc)(2ac)

=24. 所以(ab)3(bc)3(ca)324.

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