初中数学圆知识点归纳

名词说明：

1.弦——连接圆上随意两点的线段叫做弦。

2.弧——圆上随意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。

3.半圆——圆的随意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。 4.等圆——可以重合的两个圆叫做等圆。

5.等弧——在同圆或等圆中，可以相互重合的弧叫做等弧。 6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。

7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

8.圆内接多边形——假如一个多边形的全部顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。 10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。 12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线。 13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

15.圆心距——两个圆圆心的间隔 叫做圆心距。

16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 18.边心距——中心到正多边形的一边的间隔 叫做正多边形的边心距。

19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上随意一点的线段叫做圆锥的母线。

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的间隔 等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的间隔 大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的间隔 小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的间隔 等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端间隔 相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充）

3、角的平分线：到角两边间隔 相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的间隔 相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的间隔 等于定长的两条直线；

5、到两条平行线间隔 相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线间隔

都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系 Ad1、点在圆内  dr  点C在圆内； rOB2、点在圆上  dr  点B在圆上； d3、点在圆外  dr  点A在圆外； C

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点；

2、直线与圆相切  dr  有一个交点； 3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

rdr dd=r

四、圆与圆的位置关系

d外离（图1） 无交点  dRr；

外切（图2） 有一个交点  dRr； rR相交（图3） 有两个交点  RrdRr； 图1内切（图4） 有一个交点  dRr； 内含（图5） 无交点  dRr； d rR 图2 dddrr RRARr 图3 图4图5 O五、垂径定理 EDC垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 B推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD

D中随意2个条件推出其他3个结论。 COAB

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

E只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

F即：①AOBDOE； ②ABDE；

O③OCOF； ④ 弧BA弧BD D

AC B七、圆周角定理 C1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

OB ∴AOB2ACB

A

D2、圆周角定理的推论： C推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

OB即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角

A ∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对C的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵C90

BA ∴C90 ∴AB是直径 O

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

C即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90 BAO注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中

斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 DC八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于

BAE它的内对角。 即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴CBAD180 BD180 DAEC

九、切线的性质与断定定理 （1）切线断定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行 O 即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

MNA

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推肯定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个。

十、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

B即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB OP PO平分BPA

A推论1：圆的外切四边形的两组对边的和相等

十一、圆幂定理

DO（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的B乘积相等。 PA即：在⊙O中， C∵弦AB、CD相交于点P，

C∴PAPBPCPD

ABOE（2）推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径

所成的两条线段的比例中项。 D即：在⊙O中，∵直径ABCD， ∴CE2AEBE

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O中，

∵PA是切线，PB是割线 ∴ PA2PCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 A即：在⊙O中， ED∵PB、PE是割线 OPC∴PCPBPDPE B

（5）弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推论1：假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。

A即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点

O2O1 ∴O1O2垂直平分AB B十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式： （1）外公切线长：

CD2 = L2 + (R-r)2

（2）内公切线长：

AB2 = L2 + (R+r)2

十四、圆内正多边形的计算 定理：把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切

OO线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边

形 BABA

推论1：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 推论2：正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

推论3：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 推论4：正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

推论5：假如在一个顶点四周有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°， 因此k (n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

特例：

（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进展：OD:BD:OB1:3:2； 正三角形面积√3a2／4 ，a表示边长

C

CB

OO O ABBDADA E

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进展，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进展，AB:OB:OA1:3:2.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：lnR； 180nR21lR （2）扇形面积公式： S3602n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇

AOSl形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面绽开图

BADD1母线长B底面圆周长CC1 S表S侧2S底=2rh2r2 （2）圆柱的体积：Vr2h

3、圆锥侧面绽开图

（1）S表S侧S底=Rrr2 （2）圆锥的体积：Vr2h

AORB113CrB