第２８卷第３期 ２０１５年９月 海南师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｉｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．２８ Ｎｏ．３ Ｓｅｐ．２０１５ 常微分方程教学中的一些思考 徐家发 （重庆师范大学数学科学学院，重庆４０１３３１） 摘要：给出几类多点、积分边值问题转化为相应的积分方程的方法，并讨论这些问题与其相应 的零边值问题的关系． 关键词：常微分方程；边值问题；积分方程 中图分类号：０ １７５．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—４９４２（２０１５）０３－０３４６－０４ Ｓｏｍｅ Ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ Ｏｒｄｉｎａｒｙ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＸＵ Ｊｉａｆａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０１３３１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｅ ｏｆｆｅｒ ｓｏｍｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇ ｍｕｌｔｉ－ｐｏｉｎｔ ａｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｎｄ ｚｅｒｏ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ 通常把积分号下出现未知函数的方程称为积分 方程．未知函数以线性形式出现的方程称为线性积 分方程，否则，称为非线性积分方程” ．由于实际发 展的需要，目前研究较多的是所谓的Ｈａｍｍｅｒｓｔｅｉｎ型 非线性积分方程： 本文主要讨论如何将各种微分方程（包括分数 阶方程）转化为对应的积分方程，并讨论多点、积分 边值问题与对应的零边值问题的关系．通过两者关 系的比较，做到由易人难、由简入繁，这有助于激发 学生的学习热情，培养学生的创新能力． （ ）＝ Ｇ（ｚ，Ｙ）ｆ（Ｙ， （ ）） ， （１） １整数阶微分方程 以下首先给出问题（２）转化为积分方程（３）的方 其中Ｇ（ｘ，Ｙ）和Ａｙ，“）都是其变元的已知函数，ｃ（ｘ， ｙ）被称为格林函数． 众所周知，在讨论微分方程边值问题解的存在 性时，通常的做法是将其转化为相对应的积分方程， 然后借助非线性泛函分析中的拓扑方法或者变分方 法获得积分方程解的存在性，运用等价性获得原微 分方程解的存在性 １．所以，将微分方程转化为对应 的积分方程显得尤为重要．例如，二阶Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值 问题 法，并讨论三点边值问题 ｌ一 （ ） 厂（ｚ， （ｚ）），ｚ∈［ｏ，１】， ｌ （０）＝０， （１）＝纰（ ）， 和积分边值问题 ， ｌ一 （ ）＝ （ ， （ｚ））， ∈［０，ｌ】， ｌ （ｏ）：ｏ，ｕ（Ｘ）＝ （ｚ） （ ）出， （ ）满足：ｈ（ｘ）ｘ ＥＬ （ｏ，１）且 ） （ｚ） ＜１． （ ） （ （ｚ）） ［ｏ，１］， ｆ （０）一 （１）＝０． 等价的积分方程为 ２）的关系，其中 ∈（０，１），口∈１０， ）， （２） 与零边值问题（一 易见（２）是（５）的特殊情况，以下给出（５）的等价 （ ）＝ Ｇ（－ｚ，Ｙ）ｆ（Ｙ， （ ））ｄｙ， 其中 １ｙ）ｏ＜＜ｙ＜１（，，Ｇ（ ，．ｙ） Ｉ１）。≤ ≤≤１ｘ－（３） （４） 积分方程．根据常微分方程的基本知识，我们有 （ｚ）＝ （ ～ｘ）ｆ（ｙ，Ｉｔ（ ）） ＋Ａｚ＋Ｂ， （７） ｘ其中Ａ，Ｂ是常数．事实上，对（７）式两边求导可得 （‘ｙ一ｚ，ｚ．收稿日期：２０１５－０７—０８ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１３７１１１７）；重庆师范大学基金项目资助（１５ＸＬＢ０１１） 第３期 徐家发：常微分方程教学中的一些思考 ３４７ ）＝一 厂（ ，乱（ ）） ＋Ａ， 和 （ ）：＿厂（ ， （ｚ））． 根据（５）式中的边界条件可得Ｂ＝０以及 Ａ＝ （ 一 ） （ （ ）） ＋ 丁＝１ １一Ｙ）ｆ（３ｓ， （ ）） ． 将Ａ，Ｂ代Ｊｋ（７）式可得 （ｚ）＝ （ —ｚ）厂（ ， （ ）） ＋ （ 一 ）厂（ ，“（ ）） ＋ （１一Ｙ）ｆ（Ｙ， （ ））勿＝ Ｈ（ｚ， ）厂（ ， （ ）） （８） Ｈ（ｚ，Ｙ）＝ Ｙ一一ｚ十—Ｔ二 ＋ 十—ｒ ，Ｏ≤ ≤ｍｉ，ｕ≤ ｍｍｔｎ㈨ｚ， ｊ＜上’＜１， ｘ—ｚ＋—（１ －ｙ）ｒ， ０＜ ≤ ≤ｚ≤１， ａｘ（ｙ－￣）．ｚ（１－ｙ） １一口 ‘ １一口 ’ ０≤ｚ≤ ≤ ＜１， ｘ（１－ｙ） １一 ’ ｍａｘ｛ｘ， ｝≤ ≤１． 显然看ａ＝０，（５）和【２）是同样的．那么试 ：支Ⅱ此 繁复的格林函数Ｈ（ｘ，Ｙ）与相对简单的格林函数Ｇ （ ， ）有何关系？能否用Ｇ（ｘ， ）来表示日（ ，），）？ 在（８）式的计算中，若做如下处理 甜（ｚ）＝ （ —ｚ）厂（ ，“（ ） ＋ Ｉ：ｘ（１－ｙ）ｆ（ｙ， （ ）） ＋ 丁二ａ：ｒ Ｊ。（ 一 ）厂（ ，“（ ）） ＋ 。１－ａ￣Ｉｏ（１一Ｙ）ｆ（Ｙ， （ ）） ～ Ｉ￣ｘ（１－Ｙ）ｆ（Ｙ， （ ）） ＝ （ —ｘ）ｆ（ｙ， ）） ＋ ｚ（１一 ）厂（ ， （ ）） ＋ （ 一 ） （ ， （ ）） ＋ １－ ａ；￣ （１－ｙ）ｆ（ ， （ ）） ． 在上式最后两行中，将前两个积分合并，将第三 个、第四个积分合并．可得 Ｈ（ ）＝Ｇ（ ）＋ Ｇ（ ， ）． 由此可见，Ｈ（ｘ，，，）由Ｃ（ｘ，ｙ）来生成，从而若将（５）看 成（２）的扰动，新的格林函数Ｈ（ｘ，ｙ）仅需在原有的格 林函数Ｇ（ｘ，ｙ）的基础上加上它的一个变形． 针对积分边值问题（６），我们先计算常数Ａ，Ｂ 由 （Ｏ）＝０可知Ｂ＝Ｏ．从而根据（７）式，有 （１）： （ —１）厂（ ， （ ）） ＋Ａ， ￡ （ｚ） （ｚ）出＝ ｒ＾（ｚ）ｆ — ） （ ， （Ｙ））ｄｙｄｘ＋ＡＩ：ｈ（ｘ）ｘｄｚ． 所以 Ａ： ＾（ｚ） （ —ｘ）ｆ（ｙ， （ ）） ＋ 一１ｊ０１（１一 ）厂（ ， （ ）） ， 其中 ：１一 ＾（ｚ）ｚ ． 将Ａ，Ｂ代人（７）式，注意到 １＾（ ）（ —ｚ）出＋（１一 ）（１一 ）＝ （ｚ）Ｇ（ｚ， ）如， 交换积分次序，我们有 （ｚ）＝ （ —ｚ） （ ， （ｊ，）） ＋ ￣ｘ（１－ｙ）ｆ（ｙ， （ ）） ＋ ｘ６ ＾（ ） （ —ｚ）厂（ ， （ｙ））ｄｙｄｘ＋ （１一 ） ｚ（１一 ） （ ， （ ）） ＝ Ｇ（ｚ，Ｙ）ｆ（Ｙ， （ ）） ＋ ｘ６ ＾（ｚ）（ —ｚ）厂（ ， （ ）） ｃ ＋ ～１ １上一。 ｚ（１一 ） （ ， （ ）） ＝ ｒＧ（ｚ，Ｙ）ｆ（Ｙ，甜（ ）） ＋ Ｉ：ｈ（ｘ）Ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘｆ（ｙ， （ ）） ： （ｚ，Ｙ）ｆ（Ｙ， （ ）） ， 其中 ，（ｚ＇ ）：Ｇ（ ＇ ）＋ 二＿ Ｘ Ｊ０１ （ｚ）Ｇ（ｚ＇ ）出・ １一Ｉｎ （ｚ）ｚ 显然，（ ，ｙ）也是在原有的Ｇ（ ，ｙ）的基础上加上它的 一个峦形． ２分数阶微分方程 分数阶微分方程是传统的整数阶微分方程的推 广，分数阶微积分主要是研究任意阶积分和微分的 数学性质及其应用．数学家们研究发现用新的分数 海南师范大学学报（自然科学版） ２０１５钲 阶模型能更精确地模拟现实问题，分数阶微分方程 非常适合用来描述现实生活中具有记忆和遗传特性 的问题，文献［５］中列举了大量的分数阶方程在应用 中的实例，因此研究这类方程具有非常重要的理论 意义和应用价值． 以下用具体的分数阶微分方程来说明在计算格 林函数时，亦可采用第二部分中所提到的方法．首先 给出本文所使用的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶的定义 及相关知识． 定义１ Ｋｆ：（０，＋。。）一（一。。，＋∞）是一连续 函数，称积分 吼 ）＝ ） （ ）… ） ｏ， 为厂的Ｏ／阶Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶导数，其中ｎ＝ ＋ｌ，［ Ｊ是ＯＬ的整数部分． 定义２ 。 设厂：（０，＋∞）一（一∞，＋∞）是一连续 函数，称积分 珥 ） 志 一ｓ ａ－１ ）出，口＞０， 为厂的Ｏｌ阶Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶积分． 弓Ｉ理１ 若“，Ｄ ＋“∈ｃ（ｏ，１）ｎＬ（Ｏ，１），贝０ 研 ＋ｕ（ｔ）一“（ｆ）＋ １ｔ 一 ＋ｃ２ｔ。 ＋…＋ｃＮｔ。一Ｎ， Ｃ ∈Ｒ，ｉ＝１，２，…，～， 其中Ⅳ是大于或等于 的最小整数． 定理１令ｙＥｃ［ｏ，１］，则分数阶边值问题 Ｉ Ｄ３＋（ （ ＋ （￡）））＝ （ ），ｔＥ（Ｏ，１）， ｛ （０）一 ，（０）＝０， 『（１）ａｕ ）， （９） ｌ ＋ （０）＝０，Ｄ ＋ （１）＝ ＋ （７７）， 等价于 （￡）＝ １ ， ） Ｋ（ ） （ｒ） ）ｄｓ，（１０） 其中２＜ ≤３，１＜ ≤２，Ｄ ＋，Ｄ ＋是Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕ． ｖｉｌｌｅ分数阶导数， （ ）＝Ｉ Ｓ［ｐ－Ｚ５， ＞１， ＝ ，１ ＋１／ｑ＝１， １５０＜ ， ＜ｌ，０≤＆＜ 一 ，Ｏ＜ｂ＜叩户一 ， 格林函数Ｊ，Ｋ见证明过程． 证明根据引理３可得 Ｄ８＋（ （Ｄ ＋ （ ）））＝ （Ｄ ＋ （ ））＋ｃ 。。＋ｃ２ ～， 其中ｆ ＥＲ，ｉ＝１，２．再由（９）式知 诅 ＋（ （ ＋ （ ）））＝ （ ）． 所以 （Ｄ ＋ （￡））＝ ｙ（Ｏ＋ｆ ＿。＋ｃ ＿。＝ ＋ｆ２ ． 撕 ， 撕 １（１ －ｓ）ａ－Ｉ ＪＪ０ ｏ０Ｉ１（ ） “。 ＋ｃ ＝ ， 由此解得 ｆ１ ｙ（ｓ）ｄ．，－－ １～ｂ （１一ｓ）１ ｂ ｒ 户Ｉ。 一 ｏ ｒ（ｇ） （ ） 一Ｊ所以 煅 （ ）ｒ ＋ ｂＰ－￣ｔ口～ｆ （ｒ］－ｓ）￣－ １一 ｒ（ ） ｙ（，）ｄｓ－ （１一 ） １一ｂｐ～ ｒ（ｖ） （ｓ） ： ｓ一３ｃ— ｆｌ～－，ｔ ｒ（ａ） （ ） ＋ （－ｓ） ｌ —ｐ＿簪 。～ｌ ＪＯ — １ ｂｒ（ｇ） （ ） 一 ６声一 卢一 卜ｂ户～ 一 （ｓ） ： 一Ｊ Ｋ（ ） （ｓ） ， 即 跟 ）＝ ， （ ）， …） Ｋ ｔ，Ｓ ）＋ ）， － ＝ （ｔ－， 第３期 徐家发：常微分方程教学中的一些思考 ３４９ ～’ 为了书写方便，记 （ ）＝ （ｒＫ（￡， ） （ ） ）．则根据 ）＝ ｓ ）￣－ ２－ （ｔ－１ －ｓ（１１）式和引理３，我们有 （ ）：ｆ１ｔ 一 ＋ｆ２ｔ 一 ＋ｆ３ｔ 一。～ －＇Ｊ０ｔ （ｔ－ｒ（ｓｆＴ１ｒ ），、 ． （ ） ，～’ （１２） 其中ｃ ＥＲ， １，２，３．由 （０）＝ （０）＝０可知ｃ：＝ ）＝Ｃｌｔ＇ｏ－ｉ－Ｓ： （ ～ 所以，结合边界条件 『（１）＝口 ），有 ｚ一盘 专『０ｌ Ｊｒｏ］ （ 一 ）。 １一以 一 －ｚ（ｓ）ｍ 代人（１２）式可得 ＝南 ——ｚ（ｓ）ｄｓ—— 口ｔ 一１ １一 。ｒ（口） ｌ ｔ＇ｏ－１（１ ＿ｓ）＇ｏ－ｚ ｒ１ １ 一倪 ＇ｏ－２ ＪｏＦ （ａ ） ～ ＂ｏ＇－２ ５ １一 一 （ ） ：肌州 ） ， 其中 ＋ ｇ２（ ）＇ 。 。－ （ｔ－＝ ．．， ２（１，综上所述，我们有 （ ）：ｆｏＪ（＇， ） （ ） ＝ ｒ ，ｓ） Ｋ（ ） （ｒ） 证毕． 注５ （１）注意到ｇ２（ ， ） 茜ｇ （ ， ）且 ｇｌ（ｔ，Ｓ）是以下零边值问题的格林函数： 『Ｄ ＋ （￡）＋ （￡）＝０，ｔＥ（０，１）， ｌ （ｏ）： （ｏ）＝ （１）＝０． （２）ｈｉ（￡，５）是以下零边值问题的格林函数： ＪＪｏ＋ （￡）＋ （ ）＝ｏ，ｔＥ（０，１）， ［４ｏ）： （１）＝０． ３结束语 与零边值问题相比较而言，处理多点、积分边值 问题更为困难，但由本文提供的方法可以看出，将多 点、积分边值看成是零边值情形的扰动，它们的格林 函数实际上就是零边值基础上多加一个变形，所获 结果更为简洁． 参考文献： 【１】传璋，侯宗仪，李明忠．积分方程论及其应用［Ｍ】．上海：上海 科学技术出版社，１９８７． ［２］路见可，钟寿国．积分方程论ｆＭ】．武汉：武汉大学出版社， ２００８． 【３】葛渭高．非线性常微分方程边值问题【Ｍ】．北京：科学出版 社．２００７． ｆ４］白占兵．分数阶微分方程边值问题理论及应用【Ｍ】．北京： 中国科学技术出版社，２０１３． 【５】郑祖庥．分数微分方程的发展和应用【Ｊ】．徐州师范大学学 报，２００８，２６（２）：１—１０． 【６］Ｐｏｄｌｕｂｎｙ Ｉ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｅｑｕａｉｔｏｎｓ，Ｍａｔｈｅｍａｉｔｃｓ ｉｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ， １９９９． 【７】Ｓａｍｋｏ Ｓ，ＩＧｌｂａｓ Ａ，Ｍａｒｉｃｈｅｖ Ｏ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ａｎｄ Ｄｅ— ｒｉｖａｔｉｖｅｓ：Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｙｖｅｒｄｏｎ：Ｇｏｒｄｏｎ ａｎｄ Ｂｒｅａｃｈ，１９９３． 【８】Ｂａｉ Ｚ，Ｌｆｉ Ｈ．Ｐｏｓｉｉｔｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ】．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００５，３１ １（２）：４９５—５０５． 责任编辑：刘红
