常微分方程学习指导

微 积 分 下 册

第四章 常微分方程

一、学习要求与内容提要

（一）基本要求

1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.

2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.

3．会用微分方程解决一些简单的实际问题.

重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法。

难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法。

（二）内容提要

10.⒈ 微分方程的基本概念

微分方程的定义，微分方程的阶、解与通解，初始条件与特解。

10.2 一阶微分方程

1

变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。

10.3高阶微分方程

二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程，几类特殊的高阶微分方程的降阶法。

二、主要解题方法

1．一阶微分方程的解法

2xydydxydxydy 满足条件y例1 求微分方程

x02的特解.

解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有

y1dydx2x1 y1ydyy21两边积分，得

1x1dx

求积分得

1lny21lnx1C1lny21ln(x1)22C12，

y21(x1)2e2C12C122y1e(x1)，

2C1y21C(x1)2eC0记 ，得方程的解 .

2

y21C(x1)2y1C0可以验证 时，，它们也是原方程的解，因此，式中的C可

以为任意常数，所以原方程的通解为

y21C(x1)2 （C为任意常数）.

代入初始条件

yx02 得

22C3，所以特解为 y13(x1).

例2 求下列微分方程的通解：

（1）

yyyxxy2xyecosx. ； （2）

2（1）解一 原方程可化为

dydxy1x

duudxu1

yx令

uyx，则

uxu1dxdu2x 即 u111()dudx2uxu两边取积分

积分得

y1lnulnxlnCuu，将x代入原方程，整理得原方程的通解为

3

xyyCe （C为任意常数）

dx1x1dyy解二 原方程可化为 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对

dx1x0dyy应的齐次方程

得其通解为 xCy.

设xC(y)y为原方程的解，代入原方程，化简得 C(y)y1，

C(y)lnyC1，

所以原方程的通解为

yxlnyC1，即yCe （C为任意常数）.

xydy2xy0（2）解一 原方程对应的齐次方程 dx分离变量得

dydy2xdx2xydx， y

dyy2xdxlnyx2lnC两边积分，得 ，

lnylnelnCln(Ce)，yCe

x2x2x2用常数变易法.设yC(x)e代入原方程，得

x2 4

C(x)exexcosx

22即 C(x)cosx

两边积分，得

C(x)cosxdxsinxC

xye(sinxC) （C为任意常数）. 故原方程的通解为

2解二 这里P(x)2x，Q(x)ex2cosx代入通解的公式得

22xdx2xdxye(excosxedxC)

2=

ex(excosxexdxC)222=

ex(cosxdxC)2x=e(sinxC)（C为任意常数）.

小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式

yP(x)yQ(x)，也可直接利用公式

P(x)dxP(x)dxye(Q(x)edxC）求通解.

1yy1xyx11yy(x)因此求曲线的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ，的特解.

由公式

P(x)dxP(x)dxye(Q(x)edxC，得

5

11yexdx((1)exdxdxC)=xlnxCx

代入yx11得 C1，故所求曲线方程为 yx(1lnx).

三、学法建议

1．本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性

微分方程的常数变易法.

2． 本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求

解法，读者首先要善于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座”，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下药”.同时，建议读者再做足够的习题加以巩固.

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