(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

2002-2003第一学期

一．计算及推导(5＊8）

1．已知x*3.141,x，试确定x*近似x的有效数字位数。

******x3.105,x0.001,x0.100xxx232．有效数1，试确定123的相对误差限。 3f(x)0.5x0.1x2,试计算差商f0,1,2,3 3．已知

4．给出拟合三点A(0,1),B(1,0)和C(1,1)的直线方程。 5．推导中矩形求积公式

baf(x)dx(ba)f(ab1'')f()(ba)3224

6．试证明插值型求积公式

baf(x)dxAif(xi)i0n的代数精确度至少是n次。

a,b7．已知非线性方程xf(x)在区间内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。

8．用三角分解法求解线性方程组

121x10223x32130x32

二．给出下列函数值表

xi f(xi) 0.4 0。5 0.6 0。7 0。8 0。38942 0.47943 0.56464 0.64422 0。71736 要用二次插值多项式计算f(0.63891)的近似值，试选择合适的插值节点进行计算,并说明所选用节点依据.（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程xlnx0在(0,1)内有一实根

（1)给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似x0(0,1)迭代法都收敛,并证明其收敛性。

3xx10x0.5x(2）0试用构造的迭代公式计算的近似值n，要求nn1。

四． 设有方程组

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a13x1b11a2xb2232ax3b3

当参数a满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分) 五．用欧拉预估校正法求解初值问题

'2xyyy (0x0.2)y(0)1

取h=0。1，小数点后保留5位.（8分）

y'f(x,y) 六．证明求解初值问题 y(x0)y0的如下单步法

yn1ynK2K1hf(xn,yn)11K2hf(xnh,ynK1)22

是二阶方法。（10分） 七．试证明复化梯形求积公式

ban1hbaf(x)dx(f(x0)2f(xi)f(xn)) h2n i1对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的.(6分)

2003—2004第一学期

一．填空(3＊5）

*1．近似数x0.231关于真值x0.229有_____-位有效数字。

**x2．的相对误差为x的相对误差的_______倍。

n3．设f(x)可微，求xf(x)根的牛顿迭代公式______。 4．插值型求积公式

baf(x)dxAif(xi)i0n的代数精确度至少是______次。

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5．拟合三点A(1,0),B(1,3)和C(2,2)的常函数是 ________。 二．已知f(x)有如下的数据

xi f(xi) 1 2 2 4 3 3 12 f'(xi) 试写出满足插值条件P(xi)f(xi)以及P'(2)f'(2)的插值多项式P(x)，并写出误差的表达形式。 三．(1）用复化辛浦森公式计算0多少个点上的函数值？

（2）取7个等距节点(包括端点)用复化辛浦森公式计算711exdx为了使所得的近似值有6位有效数字，问需要被积函数在

x2lgxdx，小数点后至少保留4位。

3yx四．曲线与y1x在点(0.7，0。3)附近有一个交点(x,y)，试用牛顿迭代公式计算x的近

xnxn1103xn似值，要求

五． 用雅可比方法解方程组

122x15111x12221x33

(0)x是否对任意的初始向量都收敛，为什么？取x(0)(0,0,0)T，求出解向量的近似向量，要求满

足1i3maxxi(k1)xi(k)106。

六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题

y'y2+1 y(0)0

的解函数在x0.6处的近似值，要求写出计算格式。(步长h0.3,小数点后保留5位有效数字）

y'f(x,y) 七．设有求解初值问题y(x0)y0的如下格式 yn1ayn1bynchf(xn,yn)

如假设yn1y(xn1),yny(xn)问常数a,b,c为多少时使得该格式为二阶格式？

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2005—2006一．填空（3＊5）

第二学期

****e(xx2)x1.2250,x0.5168r121.设近似数1都是四舍五入得到的，则相对误差______。

x12.82。矛盾方程组x13.2的最小二乘解为_______。

**x0.01999x3.近似数关于真值0.02000有______位有效数字。

4。取31.732，迭代过程yn1yn0.13是否稳定？ 5。求积公式31f(x)dx2f(2)有几次的代数精确度?

xn1xn105x1.63.10二． 取初值，用牛顿迭代法求的近似值,要求先论证收敛性。当时停止

迭代。

1yabx2x三．用最小二乘法确定中的常数a和b，使该曲线拟合于下面的四个点(1,1.01)（2，

7.04）（3，17。67）（4，31。74) （计算结果保留到小数点后4位）

(k)11四．用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值的第k次近似值及相应的特征向量x1，要求取(k)(k1)3T10u(1,1,1)11初值0且

512101613 这里 A=9x12x2x36x18x2x38xx8x8312五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组

(k1)(k)3(0)T(k1)xx10iix(1,0,0)收敛性，并取，求近似解x，使得（i=1，2,3)

六．已知单调连续函数yf(x)的如下数据

xi1.120.001.802.20f(xi)1.100.500.901.70

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用插值法求方程f(x)0在区间(0.00，1.80）内根的近似值.（小数点后至少保留4位）

dx04x 取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节点上的函数值表

1七．设有积分

I（小数点后至少保留4位）

用复化的simpson公式求该积分的近似值,并且由截断误差公式估计误差大小。

'xy0 y八．给定初值问题y(0)01x1.4

写出Euler预估校正格式

取步长为0。2,计算在1.4处的函数的近似值。

九．设矩阵A对称正定，考虑迭代格式

x(k1)x(k)x(k1)x(k)Ab2 0,k0,1,2,3...对任意的初始向量x(0),x(k1)是否收敛到Axb的解,为什么？

2006—2007第一学期

一。 填空

*1） 近似数x1.253关于真值x1.249有____位有效数字；

2） 设有插值公式

11f(x)dxAkf(xk)k1n，则

Ak1nk=______;（只算系数）

*x1er(*)**x23) 设近似数x10.0235，x22.5160都是有效数，则相对误差____；

4） 求方程xcosx的根的牛顿迭代格式为______;

x1x212x12x22x1x21x1x21x2x1x2x1225) 矛盾方程组1与1得最小二乘解是否相同______.

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x二。 用迭代法（方法不限）求方程xe1在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，

误差小于10时迭代结束。

2xyaxbe三。 用最小二乘法中的常数a和b,使该函数曲线拟合与下面四个点

2（1,—0.72)（1。5, 0。02),（2。0, 0。61),（2.5， 0。32） （结果保留到小数点后第四位）

四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组

1010020x15101x23243x317103x47

五．设要给出fxcosx的如下函数表

xi x0h f(x0h) x0 f(x0) x0h f(x0h) f(xi) 3用二次插值多项式求f(x)得近似值,问步长不超过多少时，误差小于10 。

六. 设有微分方程初值问题

y－2y4x,0x0.2y(0)2

1)写出欧拉预估－校正法的计算格式；

2)取步长h=0。1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。 七. 设有积分

Idx01x

1 取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小数点侯保留4位）；

用复化Simpson公式求该积分的近似值,并由截断误差公式估计误差大小(小数点侯保留4位)。 八。 对方程组

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12－2x14111x21221x33

1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？ 2.取初始向量x(0,0,0)，用雅可比迭代法求近似解xxi(k1)xi(k)103(i1,2,3)T(k1)，使

九. 设f（x)在区间［a,b]上有二阶连续导数，且f（a）=f(b）=0，试证明

maxaxb1f(x)(ba)2maxf(x)8axb

参考答案：

1: (1)3 （2) 2 （3) 0。0023 (4）

xk1xkxkcosxkxksinxkcosxk,k0,1,2,...1sinxk1sinxk （5） 否

xkxxexek12. 方程的等价形式为 ，迭代格式为。

收敛性证明;当x(0,1)时，

01exe01e

'(x)exe01

所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛 取迭代初值为x00.5,迭代结果如下

n xn xnxn1 0 1 2 3 4 5 0.5 0。60653 0。54524 0.57970 0.56006 0。57117 0.01065 -0.06129 0。03446 —0.01964 0。01111 (完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

6 0.56486 -0.00631 3。

xn 1 1.5 2。0 2.5 x2n 1 2.25 4。0 6.25 exn 2。71828 4.48169 7.38906 12.18249 12.718280.722.254.48169a0.024.07矛盾方程组为 .389066.2512.18249b0.610.32 对应的正则方程组为

61.125118.4989a3.765118.4989230.4859b6.538196

解得 a2.0019,b1.0009 所以拟和曲线方程为y2.0019x21.0009ex

4。 由矩阵Doolittle分解的紧凑记录形式有

102051020501013101312431702216 010371 

01024

回代求解得

x44221 ， x32(61x4)2

x30x31x421150x22x30x4 ， x111

方程组的解向量为x(1,1,2,2)T.

(3)()5。 令

xmaxf(xxk1)(xxk)(xxk1)103k1xxk13! 可求得h0.2498（或h6.

y(0)11.6,y11.62,y(0)21.256,y21.2724 7. 0。6932

R(f)1.333310－5

0.2289)

(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

022BJ101－220 8. （1）Jacobi迭代法的迭代矩阵为

谱半径BJ01.此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.

x(1)4822(2)(3)(4)1,x6,x0,x03711

（2）9

。

以

x0a,x1b为插值节点,做Lagrange插值：

f(x)L1(x)11f()(xa)(xb)f()(xa)(xb)2!2!

其中(x)[a,b]。 故

maxaxbf(x)maxaxb111f()(xa)(xb)maxf(x)max(xa)(xb)(ba)2maxf(x)2!2axb8axbaxb

计算方法2006—2007第二学期

1 填空

*x1）。 近似数0.0142关于真值x0.0139有__为有效数字。

2） 适当选择求积节点和系数，则求积公式______次。

11f(x)dxAkf(xk)k1n的代数精确度最高可以达到

**e(xx)x0.0235x123） 设近似数，2.5160都是四舍五入得到的，则相对误差r12 的相对误差限

**______

***5e(x)的____ 倍。 yxr4） 近似值的相对误差为

5） 拟合三点A（0，1), B（1，3)，C(2，2）的平行于y轴的直线方程为_____.

2x2xx2xee0在(—1，0）内的重根的近似值xn1.要求1)说明所用的方法2. 用迭代法求方程

为什么收敛；2）误差小于10时迭代结束。

2yaxblnx中的a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点 （1。0,1。3．用最小二乘法确定

401）, （1。5，2.45）， (2.0,4。35）, （2.5，6。71） （计算结果保留到小数点后4位)

(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

4 设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下

xi 1。0 1.1 0.01 0.11 1.2 0.24

写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算

f''(1.1)。

f(xi)

5 已知五阶连续可导函数yf(x)的如下数据

xi 0 0 0 0 1 1 1 f(xi) f'(xi) f''(xi) 试求满足插值条件的四次多项式p(x).

6 设有如下的常微分方程初值问题

dyx,1x1.4dxyy(1)1

写出每步用欧拉法预估,用梯形法进行一次校正的计算格式. 取步长0。2用上述格式求解。

0.67 设有积分

Iexdx02

1）取7个等距节点（包括端点)，列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后4位） 2)用复化simpson公式求该积分的近似值。

8 用LU分解法求解线性代数方程组

(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

1102112223x1312x2122x3359x47

2yxxc 与y2x就在某点相切，9 当常数c取合适的值时，两条抛物线试取出试点x00.3,

用牛顿迭代法求切点横坐标.误差小于104时迭代结束。

参考答案; 1： （1）2, (2） 2n—1 （3） 2。1457＊10E-3 2 解:将方程变形为 (xex)20

即求xex0在（—1，0）内的根的近似值xn1 牛顿迭代格式为 xxnexnn1xn1exn 收敛性证明； 局部收敛定理 结果 x40.56714。

3 用最小二乘法 正则方程组为

61.125a9.41165b65.869.41165a1.4844610.1586解得 a=1.0072; b=0。4563 4．解 推导中心差分格式

f''(x1)1h2(f(x0f(x2)2f(x1)) 得到f''(1.1)3

5 解

p(x).2x43x3

截断误差 f(5)R(x)()5!x3(x1)2 6 y(1.2)1.2;y(1.4)1.4 7 0.6805

8

（0 1 0 1）

4）1/5 ） x=1 （ (5(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

9 解 两条曲线求导

12 y'2x1 和y'x

切点横坐标一定满足2x1=x 将等式变形为 f(x)4x34x2x1 牛顿迭代法 结果为 0。34781

12

2007-2008第一学期

1 填空（15分）

****e(xx2)x9.2270x0.8009r11） 设近似数1，2都是四舍五入得到的，则相对误差 ______

2）拟合三点A（3,1)， B(1,3），C（2,2）的平行于y轴的直线方程为 ____。

*3) 近似数x0.0351关于真值x0.0349有 _____ 位有效数字.

4） 插值型求积公式

11f(x)dxAkf(xk)k1n1至少有______次代数精确度。

5) Simpson（辛浦生）求积公式有______次代数精确度.

32yx2.89y2.4x0.51x在点（1。6，6。9)附近相切，试用牛顿迭2.（10分）已知曲线 与54xx10xn1n代法求切点横坐标的近似值n1，当误差小于10时停止迭代。

2yaxblnx中的常数a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点 3．(10分)用最小二乘法确定

(1，2。01）, (2，7.3）, (3,16。9）， （4，30.6) （计算结果保留到小数点后4位）

232A1034361(k)114.（10分) 用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值的第k次近似值及相应的特

(k)(k1)(k)T0.1xu(1,2,1)11征向量1。要求取初始向量0,且。

5．（10分)设有方程组

a13x1b11a2xb2232ax3b3(a0)

(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

写出与Jacobi迭代法对应的Gauss—Seidel方法的迭代格式； Jacobi方法的迭代矩阵为：

当参数a满足什么条件时,Jacobi方法对任意的初始向量都收敛。 6．(10分)已知四阶连续可导函数yf(x)的如下数据:

xi 1 0 1 2 5 10 f(xi) f'(xi) ''p(x)f(x),p(x)f(xi)的三次插值多项式p(x),并写出截断误差iii试求满足插值条件

R(x)f(x)p(x)的导数型表达式（不必证明）。

7．（15分）设有积分

Ix3exdx12

1）取7个等距节点(包括端点1和2)，列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；

2）用复化simpson公式求该积分的近似值,并由截断误差公式估计误差大小. 8．(10分） 给定初值问题

y2y0,x'y(1)1,1x1.4

写出欧拉（Euler）预估—校正的计算格式； 取步长h0.2,求y(1.4)的近似值。 9．(10分)

用迭代法的思想证明：

lim22k22 （等号左边有k个2）.

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参考答案：

1: (1）6。78×10－5， (2) x=2 （3) 2 (4）n—2 （5) 3

222。 切线斜率相等：3x4.8x0.51，3x4.8x－0.510

牛顿迭代格式：

xn123xn4.8xn－0.51xn6xn4.8

,x21.70002,x31.70000,x41.70000 取x01.6，得x11.70625a2.014abln27.39abln316.93。 矛盾方程组：16abln430.8

34.84081354a672.9134.840813.60921b66.04713 正则方程组：

a1.9997,b1.0042

4。 取初始向量V(0)(121)，用乘幂法公式进行计算，且取

T(k)1V1(k1)(k)V1，得

111.0，xV(4)(13516,27032,20226)T

5.(1)迭代格式为

(k1)1(k)(k)b1x23x3x1a(k1)1(k)b2x1(k1)2x3x2a(k1)1(k1)b33x1(k1)2x2x3a

(2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为

01BJa3a1a2a3a2a0

0(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

11a3a24IBJa2aa2（3）

32aa

B2谱半径

Ja.由BJ1得

a2

此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.

p(x)x36。 2x1,R(x)f(x)p(x)f(4)()4!(x1)2(x2)2,(x)(1,2)7．20.2174

R(f)0.0048

8．(1）Euler预-校法的计算格式为

y(0)n1ynhf(xn,yn) yn1ynh2f(x,y(0)nn)f(xn1,yn1)

（2)将

0.2,f(x,y)y2hx 代入，则 2y(0)ynn1yn0.2xn2(0)2yyyn(ynn1n0.11)xxnn1

代入x01,y01得

[y0]2[0]11.y2y(1.2)y1.468111.22 ，y(1.4)y21.49798

9．证明 考虑迭代格式x00,xk12xk,k0,1,，则

x12，x222，…，xk22222(k个2）

设(x)2x,则当x[0，2]时,(x） ［(0），（2)]=[2,2] 0，2]；

［(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

由

(x)122x，则当x

[0,2］时,

(x)(0)1221．

．

所以，由迭代格式x00,xk12xk产生的序列收敛于方程x2x在［0，2］内的根设

klimxklimxk222,12k2，则有，即．解之得．舍去不合题意的负根，有,

即

klim222222