整理：夏伟光
1、量纲是否就是单位？两者有何关系。
答:量纲不是单位。量纲表示物理量的基本属性。不同属性的物理量具有不同的量纲。单位是用来对物理量度量的标准。
2、“Dimension”一词有什么涵义（从中看出其演变）
“Dimension”开始有“维数”的意思；后有“长度，尺寸”的意思，指运动学、几何学上的概念；后来出现“量纲”的涵义，用来表示物理量的基本属性。
3、自由落体问题中，什么是基本量和导出量，单位系统如何选择，选法是否唯一？
答：自由落体问题中含有三个变量：下落行程h，下落时间t，重力加速度g。可以以h，g为基本量，t为导出量，以h，g为单位系统，也可以选t，g为基本量，h为导出量。t，g为单位系统，选法不唯一。
4、从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。
确定，摆球的运动由重力加速度g决定，摆球的运动是一个纯运动学的问题，与摆球的质量无关，所以摆球的周期与摆球的质量无关。
5、什么是谐振子，求自然频率。
答：把振动物体看作不考虑体积的微粒，这个振动物体称作谐振子。所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。
自频率f与弹性系数k，微粒质量m有关。所以
取m，k为基本量并作单位系统，所以
6、把π定理和有的书上说的相似三定理进行比较，分析说明哪个更本质？
答：相似三定理：
相似第一定理：彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。
相似第二定理：现象的各物理量之间的关系，可化为相似准则的关系。
相似第三定理：如两个现象单值条件相似，而且由单值组成的各相似准则数值相同，则两个现象相似。
表示由其单位组成的无量纲量，而这些无量纲量即是相似三定理中的“同名相似准则”，显然，对于同一个函数f，f内各无量纲量值相同后，f值也必定唯一，即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条件。
（1
，则其无量纲量数值相同。
（2）相似第二定理：即π定理中一个物理现象，因变量a是n
的函数，
，
作为单位，将因变量a
，
的函数。
(3)
数值相同，且函数f形式相同，则f值也必定唯一。
相似三定律这么复杂的表述，用π定理一句话就能得到，显然π定理更本质。
7、用隐函数证明π定理。
答：把物理问题的一个因变量和N-1个自变量统一视作变量，其总数是N
，则可将物理规律表示为
不妨取前k
。后面N-k变量是导出量，其量纲可表示为基本量的量纲的幂次式：
作为单位系统，来度量其余量，由此得到的量值都是无量纲的纯数，它们满足的关系是：
上式后面N-k个为对F
，因此函数关系可写为
8、推导物理量量纲的幂次表达式的最后一步。
答：
所以 
代入（1）式可得：C=1
可见，与之相对应，物理量X的量纲表示式应为
9、盛水容器底侧小孔的出流速度。（有图）
与容器中水的高度h，重力加速度g和小孔的直径d有关。
在x=0点泰勒展开，
由于是小孔，
《1，
≈
=C，即
, 
由不可压缩流体的伯努利方程知 C=
，即
。
10、若溢洪道断面为三角形，讨论溢洪流量。（有图）
答：单位时间内流过挡墙的质量流量Q
，上游水头h，重力加速度g。
，g，h
，所以
11、分析定常管流的摩擦系数和总管阻？什么情况下可不考虑密度的影响，说明其物理原因。
与管直径d
，流速U相关。即
（2）层流时，可以不考虑密度的影响。层流时，每个质点基本上作等速运动，流元所受的惯性力和粘性力相比较小，惯性效应不明显。因此可不考虑惯性即密度的影响。
12、在低速绕流问题中，如水和空气互相模拟，问机、艇的尺寸和速度的缩比范围是什么？
低速绕流的模拟需要两方面的模拟条件，即
① 
；
② 
。
（1）先分析低速飞机在水中的模拟
对于低速飞行的飞机，飞行的速度范围200～400km/h，即50～120m/s，一般飞机的尺寸：长30～60m，翼展30～60m，高10～20m，水洞的尺寸：直径d=0.1～2m，
（考虑做模型试验时飞机的放置方式，显然应以翼展方向的缩比为准）。
，
一般情况下，水洞的水流速度的量级为1～10m/s，显然流速远远达不到要求，因此用水洞模拟飞机的低速绕流是不现实的。
（2）再分析潜艇在空气中的模拟：
，潜艇的尺寸：长50～100m，宽5～15m，风洞的尺寸：直径为0.1～3m，
（考虑做模型试验时潜艇的放置方式，显然应以宽度方向的缩比为准）。
。
因此当潜艇的速度很小且尺寸较小时，可以用大尺寸的风洞进行模拟，即只有在这种情况下模型试验才可以在风洞中进行。
13、作船舶润湿面积的量纲分析。（有图）
答：船舶的润湿面积S
，排水体积D
，重力加速度g。所以
，所以
14、轴承问题是否要考虑惯性效应？说明理由。
在0.001-0.01
是滑速，h
（R为定承半径，r为轴半径）。
15、求小球在流体中下落的最终速度和所受的力。
解：控制参数：小球的特征长度，取直径d
重力加速度g
对小球进行受力分析：小球在达到最终速度时已经处于平衡状态，此时受到三个力的作用，重力G
和粘滞阻力F，其中重力向下，浮力和粘滞阻力向上，所以有
由stokes
, 即
显然在分析小球的最终速度v
出现的，小球的最终速度v满足函数关系
作为单位系统，有
即 
（1）
由stokes
，
小球达到平衡后粘滞阻力F将是恒值，所以速度v
成反比，即
所以（1）式可化为 
,
为常数。
16、什么条件下可不考虑表面张力对水波波速的影响。从物理上做简单分析。
答：波长比较长时可不考虑表面张力对水波波速的影响。由水波理论：
的值就远小于1，则可以忽略表面张力的影响。
16、讨论两端固定的梁在侧载作用下的挠度。（有图）
，杨氏模量E
来表征。所以
，就会有一个无量纲的挠度分布
17、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。
处
梁的抗弯刚度EI
单位长度的梁的重量q
，其中C为常数，
18、什么样的结构物需要考虑重力的作用？
答:（1）重力占主导作用时，如分析悬臂梁在自重作用下的挠度分布，显然要考虑重力。
（2）在弹性体的高度h
与弹性极限Y
接近或超过1时，弹性体所受到的重力效应不能被忽略，这样的结构物需要考虑重力的作用。
（3
与弹性极限Y
远远小于1，如果所要研究的问题出现弹性失效，如屈曲失稳，也应该考虑重力的作用。
19、调查一下国内的离心机有多大，可以做什么样的结构物的重力效应实验。
答：（1）工业装备结构分析，国家重点实验室
最大载荷100kg 
，最大回转半径2250mm,主要用于航空航天领域的科学研究。
（2）中国工程物理研究院结构力学研究所 TLJ-60
有效半径2.0m，最大载荷：100g时600kg，200g时300kg。最大容量60
，加速度范围10-200g，用于模拟边坡、隧道、大坝、矿井等土工结构场在重力场作用下的变形特性和应力状态试验。
20、如方形空心梁由实心梁代替，那么实心梁的形状要求符合什么条件？
，即
对于方形实心梁，设边长为L
21求有限弹性体的固有周期。
答：控制参数有：周期T
，杨氏模量E
，则
为基本量并作为单位系统，所以：
22、弹性体中体波的传播有无色散现象，为什么？
。
波速c
，杨氏模量E，则：
，E
，
无关，所以弹性体中体波的传播没有色散现象。
23、杆径对杆中弹性波波速起什么作用？
有关。因此细杆中弹性波为色散波。
，当R增加时，波速降低。
24、求两块单板正面相撞引起的弹性波的波速。（与有关弹性波书中的结果作对比）
答：波速c
，杨氏模量E，则：
，E
，
王礼立的《应力波基础》给出的一维应变弹性纵波波速c为
即 
由于
，所以可得
，即
。
25、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？
答：材料杨氏模量E，屈服极限Y，n
，给定了材料和球形压头半径R，那么，载荷F
应该由压入深度h唯一确定。
因硬度H
所以H
取E，R作为基本量并取作单位系统，于是有：
也可写为 
是随h的变化而变化的，难以判断H和Y成正比关系。
26、什么是几何相似？什么是几何相似律？举例说明。
答：几何相似是指在模型实验中，模型与原型之间遵循的几何形状相似条件。
几何相似律：若模型采用与原型相同的材料，则在满足几何形状相似和分布函数相同的条件下，在几何相似点上有相同的相对位移，应力和应变。
27、相似律是否一定相求几何相似？
，即
再例如在结构失稳的临界载荷模拟实验中，不需要截面形状几何相似，只要做到原型和模型的截面矩具有相同的分布函数。
28、估计和比较典型金属材料中弹性波传播和热传导的特征时间。
答：（1
热传导的特征时间约为：
两个特征时间相差九个数量级之多。
（2
热传导的特征时间约为：
两个特征时间相差八个数量级之多。
（3）对于铝，
弹性波的传播时间约为：
热传导的特征时间约为：
两个特征时间的比值为：
两个特征时间相差八个数量级之多。
由此可见，两个特征时间相差八到九个数量级，由局部温升引起的应力和应变的变化极其迅速地传播到物体内部各处，而热传导与其相比则十分缓慢。既然导热极慢，而变形极快，可以近似地认为两种效应是可以解耦的。
以上题目一部分是自己做的，一部分是参考一些同学的，如有错误，敬请大家指正！
夏伟光
2010年12月22日
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