数学分析3

§1 极限问题的提出

（Newton）

然后令

，先

，后

。

（Cauchy）

§2 数列的极限

Def1.定义域为自然数的函数称为数列，记为

。

。

也称为数列的通项。

Exa。

，

1．极限的概念

Exam.1.

，当n无限大时，

无限接近于0。因而

的极限为0。

Exam.2.

Exam.3.

Exam.4.

Exam.5.

Def2.设

是一数列，n是一实数，若对于

（充要）

N>0,当n>N时，都有

|

-

|<

则称

收敛即它的极限为

，记为

。

几何意义：

－

+

外面仅有有限项。

Def3.极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）

命题1.

的极限为n <=>

是无穷小量.

Exam.6.证明:

.

证明:

,要使 |

－0|<

<

.

只要

,取N=

则当n>N时,有

|

－0|=

≤

<

Exam.7.设|

|<1,证明

.

|

|n=

Ex8.设a>0,证明

.

证明:a≥1,

.

Ex9.证明

.

2.极限与四则运算及与不等式的关系.

Th1.设

,

,则

(1)

;

(2)

;

(3)

.

Th2.(有界性)设

,则

有界.

证明: 对

时,

|

－

|<1

－1<

<

+1

|

|≤|

|+1

取M=max{1+|

|,|

|,|

|,…, |

|}>0,

则 |

|≤M, n=1,2,…

推论1.若

无界,则

发散.

定理3（保号性）：若

,则

N,当n>N时,有

。

证明：由

，取

，

N

当n>N时， |

－

|<

>

-

=

>0 0

推论2：设

，

（1）若

,

N，当n>N时，有

；

（2）若

,

N，当n>N时，有

。

定理1的证明：

1．

。

定理4：若{

}是无穷小量，{

}是有界数列，则{

＋

}是无穷小量。

Ex.11.

。

Ex.12.

。

定理5（保序性）：若

，

，

N，当n>N时，

。

Th6.（极限不等式）

且

则

Th7. (夹迫性)：

=>

Ex13

其中A>B>0 求证

…