倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)

专题5倍长中线模型

解题策略 A倍长中线C图①EA倍长类中线FBDC图②构造全等BFDECAABDBDC

如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）． 如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移． 经典例题 【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出

（1）如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，则𝐴𝐵+𝐴𝐶__________2𝐴𝐷；（填“>”“<”或“=”）

问题探究

（2）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷=3,𝐵𝐶=4，点𝐸为𝐵𝐶的中点，点𝐹为𝐶𝐷上任意一点，当△𝐴𝐸𝐹的周长最小时，求𝐶𝐹的长；

问题解决

（3）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶=4,𝐵𝐶=2，点𝑂为对角线𝐴𝐶的中点，点𝑃为𝐴𝐵上任意一点，点𝑄为𝐴𝐶上任意一点，连接𝑃𝑂、𝑃𝑄、𝐵𝑄，是否存在这样的点𝑄，使折线𝑂𝑃𝑄𝐵的长度最小？若存在，请确定点𝑄的位置，并求出折线𝑂𝑃𝑄𝐵的最小长度；若不存在，请说明理由．

【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△𝐴𝐵𝐶中，

（1）如图1，点E为𝐵𝐶的中点，连𝐴𝐸并延长到点F，使𝐹𝐸=𝐸𝐴，则𝐵𝐹与𝐴𝐶的数量关系是________． （2）如图2，若𝐴𝐵=𝐴𝐶，点E为边𝐴𝐶一点，过点C作𝐵𝐶的垂线交𝐵𝐸的延长线于点D，连接𝐴𝐷，若∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐷，求证：𝐴𝐸=𝐸𝐶．

（3）如图3，点D在△𝐴𝐵𝐶内部，且满足𝐴𝐷=𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐶𝐵，点M在𝐷𝐶的延长线上，连𝐴𝑀交𝐵𝐷的延长线于点N，若点N为𝐴𝑀的中点，求证：𝐷𝑀=𝐴𝐵．

【例3】（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．

(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE； (2)在(1)的条件下，求𝐵𝐶的值；

(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．

𝐶𝐸

【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，𝑂𝐴=𝑂𝐵,𝑂𝐶=𝑂𝐷,∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90°，连接𝐴𝐶,𝐵𝐷．

（1）如图1,若𝐴、𝑂、𝐷三点在同一条直线上，则𝐴𝐶与𝐵𝐷的关系是 ；

（2）如图2，若𝐴、𝑂、𝐷三点不在同一条直线上,𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐸，连接𝑂𝐸,猜想𝐴𝐸、𝐵𝐸、𝑂𝐸之间的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，在(2)的条件下作𝐵𝐶的中点𝐹,连接𝑂𝐹，直接写出𝐴𝐷与𝑂𝐹之间的关系．

培优训练 一、解答题

1．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 ．

（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．

2．（2022·全国·八年级课时练习）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 𝐵𝐷=𝐷𝐶在△ABD与△ECD中{∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐷𝐶

𝐴𝐷=𝐷𝐸∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝ ．

又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴ ＜AE＜ ． 又∵AE＝2AD． ∴ ＜AD＜ ．

AB∥CD，AB＝25，CD＝8，∠DFE＝∠BAE，【探索应用】如图②，点E为BC的中点，求DF的长为 ．（直接写答案）

【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．

3．（2022·江苏·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】

△ABC≌△EDC． 如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：【理解与应用】

如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE． （1）求证：AC＝BD；

（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．

4．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．

(1)求a，b的值；

(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．

5．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．

（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝2√2，求OB的长； （2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．

6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=60°，点𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上一动点，连接𝐵𝐸交直线𝐶𝐷于点𝐹．

(1)如图1，若𝐴𝐵>𝐴𝐶，且𝐵𝐷=𝐶𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐵𝐸，求∠𝐶𝐹𝐸的度数；

(2)如图2，若𝐴𝐵=𝐴𝐶，且𝐵𝐷=𝐴𝐸，在平面内将线段𝐴𝐶绕点𝐶顺时针方向旋转60°得到线段𝐶𝑀，连接𝑀𝐹，点𝑁是𝑀𝐹的中点，连接𝐶𝑁．在点𝐷，𝐸运动过程中，猜想线段𝐵𝐹，𝐶𝐹，𝐶𝑁之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

7．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝑀是𝐴𝐵边的中线，∠𝐵𝐶𝑁=∠𝐵𝐶𝑀交𝐴𝐵延长线于点𝑁，2𝐶𝑀=𝐶𝑁．

（1）求证𝐴𝐶=𝐵𝑁；

（2）如图2，𝑁𝑃平分∠𝐴𝑁𝐶交𝐶𝑀于点𝑃，交𝐵𝐶于点𝑂，若∠𝐴𝑀𝐶=120°，𝐶𝑃=𝑘𝐴𝐶，求𝐶𝑀的值． 8．（2021·全国·八年级单元测试）（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；

𝐶𝑃

（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF． 9．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，已知△𝐴𝐵𝐶中，AD是中线，求证：𝐴𝐵+𝐴𝐶>2𝐴𝐷； （2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，D，E是BC的三等分点，求证：𝐴𝐵+𝐴𝐶>𝐴𝐷+𝐴𝐸； （3）如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，D，E在边BC上，且𝐵𝐷=𝐶𝐸．求证：𝐴𝐵+𝐴𝐶>𝐴𝐷+𝐴𝐸．

10．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．

（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；

（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．

（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）

11．（2022·全国·八年级课时练习）已知：等腰𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶和等腰𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷=90°．

（1）如图1，延长𝐷𝐸交𝐵𝐶于点𝐹，若∠𝐵𝐴𝐸=68°，则∠𝐷𝐹𝐶的度数为 ； （2）如图2，连接𝐸𝐶、𝐵𝐷，延长𝐸𝐴交𝐵𝐷于点𝑀，若∠𝐴𝐸𝐶=90°，求证：点𝑀为𝐵𝐷中点；

𝐵𝐷，𝐴𝐺=9，𝐻𝐺=5，（3）如图3，连接𝐸𝐶、点𝐺是𝐶𝐸的中点，连接𝐴𝐺，交𝐵𝐷于点𝐻，直接写出△𝐴𝐸𝐶的面积．

12．𝐵𝑀⊥直线𝑎于点𝑀．𝐶𝑁⊥（2022·全国·八年级课时练习）在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑃为𝐵𝐶边中点，直线𝑎绕顶点𝐴旋转，直线𝑎于点𝑁，连接𝑃𝑀，𝑃𝑁．

（1）如图1，若点𝐵，𝑃在直线𝑎的异侧，延长𝑀𝑃交𝐶𝑁于点𝐸．求证：𝑃𝑀=𝑃𝐸．

𝑃在直线𝑎的同侧，（2）若直线𝑎绕点𝐴旋转到图2的位置时，点𝐵，其它条件不变，此时𝑆△𝐵𝑀𝑃+𝑆△𝐶𝑁𝑃=7，𝐵𝑀=1，𝐶𝑁=3，求𝑀𝑁的长度．

（3）若过𝑃点作𝑃𝐺⊥直线𝑎于点𝐺．试探究线段𝑃𝐺、𝐵𝑀和𝐶𝑁的关系．

13．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．

（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．

14．（2020·辽宁·大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上，老师出示了这样一个问题： 如图1，点𝐷是△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=3，求𝐴𝐷的取值范围．

（1）小明的想法是，过点𝐵作𝐵𝐸//𝐴𝐶交𝐴𝐷的延长线于点𝐸，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；

（2）请按照上述提示，解决下面问题：

在等腰𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点𝐷边𝐴𝐶延长线上一点，连接𝐵𝐷，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐷于点𝐸，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐴𝐸，且𝐴𝐹=𝐴𝐸，连接𝐸𝐹交𝐵𝐶于点𝐺，连接𝐶𝐹，求证𝐵𝐺=𝐶𝐺．

15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．

（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；

（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．

16．（2022·全国·八年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），

①延长AD到M，使得DM＝AD；

②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．

（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．

17．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；

求（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．证：BM＋CN＞MN；

（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．

18．E分别是AC，AB上的动点，（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等边△ABC中，点D，且AE＝CD，BD交CE于点P．

（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；

（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF， ①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是 ．

②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

19．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：

如图①：在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵=6，𝐴𝐶=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使𝐷𝐸=𝐴𝐷，再连接BE，可证△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷，从而把AB、AC，2𝐴𝐷集中在△𝐴𝐵𝐸中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用：

如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，点D是BC的中点，𝐷𝐸⊥𝐷𝐹于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断𝐵𝐸+𝐶𝐹与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠𝐵𝐴𝐹的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

20．（2021·重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 ．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）

（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为 ．

21．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知：在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，连接𝐴𝐶，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，交𝐴𝐶于点𝐸，交𝐴𝐵于点𝐹．

（1）如图1，若tan∠𝐴𝐶𝐷=√．

2

2①求证：𝐴𝐹=𝐵𝐹；

②连接𝐵𝐸，求证：𝐶𝐷=√2𝐵𝐸．

（2）如图2，若𝐴𝐹2=𝐴𝐵⋅𝐵𝐹，求cos∠𝐹𝐷𝐶的值． 22．（2022·全国·八年级课时练习）阅读理解：

（1）如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=6，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长𝐴𝐷到点𝐸，使得𝐴𝐷=𝐷𝐸，再连接𝐵𝐸，把𝐴𝐵，𝐴𝐶，2𝐴𝐷集中在△𝐴𝐵𝐸中，利用三角形三边关系即可判断中线𝐴𝐷的取值范围是______．

（2）解决问题：如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶边上的中点，𝐷𝐸⊥𝐷𝐹，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹交𝐴𝐶于点𝐹，连接𝐸𝐹，求证：𝐵𝐸+𝐶𝐹>𝐸𝐹．

𝐷是𝐵𝐶边上的中点，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐸𝐷． （3）问题拓展：如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，延长𝐷𝐴至𝐸，使得𝐴𝐶=𝐵𝐸，求证：23．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．

【探究与发现】

（1）如图1，AD是△𝐴𝐵𝐶的中线，延长AD至点E，使𝐸𝐷=𝐴𝐷，连接BE，证明：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷． 【理解与应用】

（2）如图2，EP是△𝐷𝐸𝐹的中线，若𝐸𝐹=5，𝐷𝐸=3，设𝐸𝑃=𝑥，则x的取值范围是________． （3）如图3，AD是△𝐴𝐵𝐶的中线，E、F分别在AB、AC上，且𝐷𝐸⊥𝐷𝐹，求证：𝐵𝐸+𝐶𝐹>𝐸𝐹． 24．（2020·福建福州·九年级开学考试）如图1，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和等腰𝑅𝑡𝛥𝐵𝐸𝐹，𝐸𝐹=𝐵𝐸，∠𝐵𝐸𝐹=90°，𝐹是线段𝐵𝐶上一点，取𝐷𝐹中点𝐺，连接𝐸𝐺、𝐶𝐺．

（1）探究𝐸𝐺与𝐶𝐺的数量与位置关系，并说明理由；

（2）如图2，将图1中的等腰𝑅𝑡𝛥𝐵𝐸𝐹绕点𝐵顺时针旋转𝛼°(0<𝛼<90°)，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若𝐴𝐷=2，求2𝐺𝐸+𝐵𝐹的最小值．