华罗庚%20逻辑推理与数学游戏[1]

由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径.为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有很有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。

解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。 例1 公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”.第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道.第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，说出了自己的目的地。

请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？

解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A市，说明第一、二辆车不可能都开往A市.（否则，如果第一、二辆车都开往A市的，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市）。 再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A市的.（否则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定开往B市）。 运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B市。 例2 李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。 第一盘，李明和小华对张虎和小红； 第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。 请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。

解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。

第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；

第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。

对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。

所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。

例3 “迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖.并且甲、乙、丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是___。

解：首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖.否则，假设丁没获奖，那么丙也没获奖，这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾。 其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也能获奖；再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得出4个人全都能获奖，不可能.因此，只有甲没有获奖。

例4 数学竞赛后，小明、小华、小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌.王老师猜测：“小明得金牌；小华不得金牌；小强不得铜牌.”结果王老师只猜对了一个.那么小明得___牌，小华得___牌，小强得___牌。

分析 逻辑问题通常直接采用正确的推理，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃不合理的情形，最后得到问题的解答.这里以小明所得奖牌进行分析。

解：①若“小明得金牌”时，小华一定“不得金牌”，这与“王老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。

②若小明得银牌时，再以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌，小强得铜牌，那么王老师没有猜对一个，不合题意；如果小华得铜牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，也不合题意.

③若小明得铜牌时，仍以小华得奖情况分别讨论.如果小华得金牌，小强得银牌，那么王老师只猜对小强得奖牌的名次，符合题意；如果小华得银牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，不合题意。

综上所述，小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌符合题意。

例5 有三只盒子，甲盒装了两个1克的砝码；乙盒装了两个2克的砝码；丙盒装了一个1克、一个2克的砝码.每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗？

分析 解决本题的关键是确定打开哪只盒子：若打开标有“两个1克砝码”的盒子，则该盒的真实内容是“两个2克砝码”或“一个1克砝码，一个2克砝码”，当取出的是2克砝码时，就无法对其内容作出准确的判断.同样，打开标有“两个2克砝码”的盒子时，也会出现类似的情况.所以，应打开标有“一个1克砝码，一个2克砝码”的盒子.而它的真实内容应该是“两个1克砝码”或“两个2克砝码”。

①若取出的是1克砝码，则该盒一定装有两个1克砝码，从而标有“两个2克砝码”的盒子里，不可能是两个2克或两个1克的砝码，而只能是一个1克，一个2克的砝码了；标有“两个1克砝码”的盒子自然装有两个2克砝码。

②若取出的是2克砝码，同理可知，此盒装有两个2克砝码；标有“两个1克砝码”的盒子里实际上是一个1克和一个2克的砝码；标有“两个2克砝码”的盒子里实际上是两个1克砝码.

按以上的推理结果，小明就将全部标签改正过来了。

例6 四人打桥牌，某人手中有13张牌，四种花色样样有；四种花色的张数互不相同.红桃和方块共5张；红桃与黑桃共6张；有两张将牌（主牌）.试问这副牌以什么花色的牌为主？

解：①假设红桃为主.那么红桃有2张；方块有3张；黑桃有4张，因为共13张牌，所以草花有4张，这样，黑桃为草花张数相同.与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，即红桃不是主牌。

②假设方块为主牌.那么方块有2张；红桃有3张；则黑桃也有3张，亦与已知矛盾。

③假设草花为主牌.那么草花有2张.并且推得红桃+方块+黑桃共有11张牌.而已知“红桃和方块共5张，红桃与黑桃共6张”，即得红桃+方块+红桃+黑桃共11张牌.由此得到红桃的张数应为零.与已知条件“四种花色样样有”相矛盾.说明草花不是主牌。

由以上推理得知，黑桃必为主牌.即黑桃有2张；红桃有4张；方块有1张.那么草花有6张。

例7 S、B、J、R四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金，但他们都不知道自己获得的是哪一门获学金.他们相互猜测：

S：“R得逻辑学奖”； B：“J得英语奖”； J：“S得不到数学奖”； R：“B得语文奖”。

最后发现，数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的，其他两人都猜错了.那么他们各得哪门学科的奖学金？

分析 假设S猜对，即R得逻辑学奖.由已知条件“逻辑学获奖者所作的猜测是正确的”，则R猜对，那么B得语文奖，并且J、B均猜错.而由B猜错，可知J得数学奖，S只好得英语奖，这又说明J猜“S得不到数学奖”是正确的.与前面的推理（J猜错）矛盾.所以S的猜测是错误的。 解：S猜错，即R得不到逻辑学奖，S不得数学奖且不得逻辑学奖.由此可知，J的猜测是正确的.则J得数学或逻辑学奖.于是推得，B猜错，故R猜对，即B得语文奖，S得英语奖，所以R得数学奖，J得逻辑学奖。 例8 A、B、C三人进行小口径步射击比赛，每个人射击6次，并且都得了71分.三人共18次的得分情况，从小到大排列为：

1，1，1，2，2，3，3，5，5，10，10，10，20，20，20，25，25，50。

已知A首先射击两次，共得22分；C第一次射击只得3分，请根据条件判断，是谁击中了靶心（击中靶心得50分）？

解：我们先来推断A6次射击的情况.已知前两次得22分，6次共得71分，从 71-22＝49

可知，击中靶心的决不会是A.另一方面，在上面18个数中，两数之和等于22的只可能是20和2.再来推算一下四个数之和等于49的可能性.首先，在这四个数中，如果没有25，是绝不可能组成49的.其次，由于49-25=24，则如果没有20，任何三个数也不能组成24.而24-20=4，剩下的两个数显然只能是1和3了.所以A射击6次的得分（不考虑得分顺序）应该是

20，2，25，20，3，1。

（可在前面18个数中，划去上述6个数）。 再来推断击中靶心的人6次得分的情况.从

71-50=21

可知，要在前面12个未被划去的数中，取5个数，使其和是21.可以断定，这5个数中，必须包括一个10，一个5，一个3，一个2，一个1.即6次得分情况为 50，10，5，3，2，1。

在前面12个未被划去的数中，划去上面这6个数。 剩下的6个数

25，20，10，10，5，1 就是第三个人的得分情况了。

从这6个数中没有3，而C第一次得了3分，可知这6个数是B射击的得分数.因此C是击中靶心的人。

例9 在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话.一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下： 第一个人说：“我们四个人全都是骗子.” 第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子.” 第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子.” 第四个人说：“我是老实人.” 请判断一下，第四个人是老实人吗？

解：①四个人当中一定有老实人.因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”.所以第一个人为骗子。

②第二个人为骗子.因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗子，则第二、三、四个人都是老实人.但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，故第二个人说的是假话，他是骗子。 下面再看第三个人的回答：如果第三个人是编子，则由①可知，第四个人一定是老实人；若第三个人是老实人，那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗子还是老实人，都可以推出第四个人是老实人。

所以，第四个人是老实人。

例10 某医院内科病房，A、B、C、D、E、F、G七名护士每周轮流安排一个夜班.已经知道：A的夜班比C的夜班晚一天，D的夜班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早三天；F的夜班在B和C的夜班的正中间，而且是在星期四.问每个护士分别在星期几值夜班？

解：除F以外，可将已知条件归纳如下：CA，E__D，B____G.这里的横线表示空位。

可见CA不能排在B____G中间，否则F就无法排在BC的正中间了.又F必排在三个空位之一，因此还有两个空位必定是E__D和B__G交叉填空.于是可排出：EBDFG或BFEGD两种情况，而CA只能加在任何一端，那么就有CAEBDFG，EBDFGCA，CABFEGD和BFEGD－CA四种排位.其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件“F在BC的正中间”.所以七名护士值班排序是：E星期一值班，B星期二值班，D星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星期六值班，A星期日值班.

习题十

1.有一个珠宝店发生了一起盗窃案，被盗走了许多珍贵的珠宝.经过

几个月的侦破，查明作案的人肯定是A、B、C、D中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进行审讯，这四个人有这样的口供：

A：“珠宝店被盗那天，我在别的城市，所以我是不可能作案的.” B：“D是罪犯.”

C：“B是盗窃犯，他曾在黑市上卖珠宝.” D：“B与我有仇，陷害我.”

因为口供不一致，无法判断谁是罪犯，经过进一步调查知道，这四个人只有一个说的是真话.你知道罪犯是谁吗？

2.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。 赵说：“甲是2号，乙是3号.” 钱说：“丙是4号，乙是2号.” 孙说：“丁是2号，丙是3号.” 李说：“丁是4号，甲是1号.”

又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？

3.对某班同学进行了调查，知道如下情况： ①有哥哥的人没有姐姐； ②没有哥哥的人有弟弟； ③有弟弟的人有妹妹。 试问：

（1）有姐姐的人一定没有哥哥，对吗？ （2）有弟弟的人一定没有哥哥，对吗？ （3）没有哥哥的人一定有妹妹，对吗？

4.某校办数学竞赛，A、B、C、D.E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况。 A说：B第三名，C第五名。 B说：E第四名，D第五名。 C说：A第一名，E第四名。 D说：C第一名，B第二名。 E说：A第三名，B第四名。

老师说：每个名次都有人猜对.那么，这五名同学的名次是怎样排列的？

习题十解答

1.根据B、D两人的话矛盾，可知两句话中必有一句真话，一句假话.

假设B说真话，那么D是罪犯，而A也说了真话，产生了矛盾，所以只有D说真话，其余三人均说假话，则A偷了珠宝。

2.直接推理可得，由于每人只说对一半，且只有李提到了1号，故甲是1号，从而逐步推出：乙是3号，丙是4号，丁是2号。 3.根据条件①得到（1）是对的；

“有弟弟且有哥哥”并不与①②③矛盾，因此得到（2）是不对的；根据条件②③得到（3）是对的；

4.名次排列为：C、B、A、E、D解法如第2题.

第十一讲 逻辑推理（二）

上一讲我们介绍了有关逻辑推理问题的简单例子，它并没有用到专门

的数学原理，而是直接运用正确推理，解决逻辑问题的.这一讲我们将利用图表解决一些较为复杂的逻辑推理问题。

例11 一次数学考试，共六道判断题.考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“×”.记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分.已知A、B、C、D、E、F、G七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分，并简单说明你的思路。

分析 由于E得了9分，说明他只答错了一道题.先假定答错的是第1题，这样就有一个标准答案，并由此可分析其他人的得分.如出现矛盾，再假定E答错的是第2题，„，直到判断出E答错的题号为止.有了正确的答案，就可以写出G的得分。

解：假设E的第1题答错，那么A至少错3道题，一题未答，最多得5分，与A得7分矛盾.所以E第1题答对。

假设E第2题答错，可知A最多得3分，矛盾.所以E第2题答对。 假设E第3题答错，则B最多得3分，矛盾.所以E第3题答对。 假设E第6题答错，则D最多得3分，矛盾.所以E第6题答对。 由于E得9分，因此E只答错一题，因此E第4题答错，于是A的第2、4两题对，3、6两题错.而A得7分，说明A的第5题是对的.由A、E两人的答案，可得一标准答案如下表：

按此标准评分，与题中所给A、B、C、D、E、F得分相符合，所以E的第4题确实答错了.上表的答案是正确的.故可知G得8分。

例12 李英、赵林、王红三人参加全国小学生数学竞赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖.现在知道： ①李英不是金城的选手； ②赵林不是沙市的选手； ③金城的选手不是一等奖； ④沙市的选手得二等奖； ⑤赵林不是三等奖。

根据上述情况，王红是__的选手，他得的是__等奖。 解：为了便于分析，我们画表帮助思考.

根据条件①②，在相应的格中打上“×”。

由条件④得出：如果王红是沙市的选手，他得二等奖，那么由条件③可知：金城选手不是一等奖，只能是三等奖.又因为李英不是金城选手，只有赵林得三等奖.这与条件⑤矛盾.所以王红不是沙市选手，沙市选手应该是李英，他得二等奖.这样金城的选手只能是王红，他得三等奖。 例13 李云和他哥哥参加一次集会，同时出席的还有其他两对兄弟.见面后有的人握手问候，没有人和自己的兄弟问候，也没有人和同一个人握两次手.事后李云发现除自己外每个人握手次数互不相同，问李云握了几次手？李云的哥哥握了几次手？

解：设除李云（用0表示）之外的五个人分别是A、B、C、D、E，他们握手的次数分别是0次、1次、2次、3次、4次，那么他们的握手情况可以用右图来表示，其中一条连线表示握过手一次，没有连线即表示没握过手。

从图中很容易看出：李云握手2次。

那么，谁是李云的哥哥呢？因为A是唯一没有和E握过手的人，所以A、E是一对兄弟.D只和A、B没握过手，而A已经是E的兄弟了，所以B、D也是一对兄弟.这样只剩下C是李云的哥哥，他握手的次数也为2次.

例14 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有A、B、C、D、E五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。

A猜：第二包是紫的，第三包是黄的； B猜：第二包是蓝的，第四包是红的； C猜：第一包是红的，第五包是白的； D猜：第三包是蓝的，第四包是白的； E猜：第二包是黄的，第五包是紫的。

猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对.请你判断他们各猜对了哪一包？

解：我们把题目中的条件列成一个表，就更清楚了。

根据已知条件，每一包都只有一人猜对，而第一包只有C猜，所以C猜对了第一包，是红的；又根据每人只猜对了一种，所以C猜第五包是白的，猜错了；第五包只有C、E两人猜，所以E猜第五包是紫的，猜对了；那么E猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有A、E两人猜，那么A猜第二包是紫的，猜错了；第二包有A、B、E三人猜，其中A、E都猜错了，所以B猜第二包是蓝的，猜对了；那么B猜第四包是红的，猜错了；D猜第三包是蓝的，也猜错了；所以A猜对的是第三包，是黄的；D猜对的是第四包，是白的。

总结以上推理判断，A猜对了第三包是黄的，B猜对了第二包是蓝的，C猜对了第一包是红的，D猜对了第四包是白的，E猜对了第五包是紫的。 注如果题中只给了一个条件：“每人都只猜对了一包”，你能判断他们都猜对了哪包吗？

例15 有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。 分析 解决本题首先要明白两点常识：

①一个队踢进一个球，对方就失去一个球，所以三个队的总进球数应等于总失球数；

②两个队踢平，显然该场球的进、失球的总数应相等。 根据已知条件，可以列成表格如下：

解：已知每两个队要赛一场，一共要赛三场球.B是两战两胜，显然一场胜A，另一场胜C；A踢平一场无疑是与C比赛的这场球。 由总进球数等于总失球数，则B队的进球数应为9个。

因为A与C两队进球总数是6个，那么除去A、C对B的那两场球赛中，踢进B队的那2球外，剩下的4个球便是A与C踢平那一场中双方各自踢进对方的进球数的和，因此A与C踢成2比2。

现在从C的进球数分析，由于C进球4个，除去与A两平外，另外进的两个球是对B比赛进的球数；再从C的失球数分析，因为C对A失两球，表中C共失了5个球，因此另外失的3个球就是对B失的球数.所以C对B是2比3。

再因为B进球共9个，除去对C进的3个球，那么对A就进了6个球，A对B没有进球，所以B对A是6比0。

例16 北京至福州列车里坐着6位旅客：A、B、C、D、E、F.分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州，已知

①A和北京人是医生；E和天津人是教师；C和上海人是工程师。 ②A、B、F和扬州人参过军，而上海人从未参军。 ③南京人比A岁数大；杭州人比B岁数大；F最年轻。 ④B和北京人一起去扬州；C和南京人一起去广州。 试根据已知条件确定每位旅客的住址和职业。

分析 由于职业可由住址确定，所以只需考虑确定旅客的住址。

解：下面我们利用表格进行推理.表格中记号“√”表示这个人是来自这个城市；记号“×”表示这个人不来自这个城市。

由①可知，A、C、E既不是北京人，也不是天津、上海人；由②可知，A、B、F不是上海人，也不是扬州人.于是得到D是上海人.那么他不是其他城市的人.如图（a）。

由③知，A和F不是南京人，那么A一定是杭州人.而其他旅客都不是杭州人.如下图（b）。

由④可知，B不是北京人，也不是南京人；C不是南京人，那么B是天津人，C是扬州人；故F是北京人，E是南京人.如下图（c）。

综合上述推理，我们得到：

A是医生，来自杭州；B是教师，来自天津； C是工程师，来自扬州；D是工程师，来自上海； E是教师，来自南京；F是医生，来自北京。

例17 甲、乙、丙三人分别在北京、天津、上海的中学教数学、物理、化学.已知

①甲不在北京； ②乙不在天津；

③在北京的人不教化学； ④在天津的人教数学； ⑤乙不教物理。

根据以上情况判断，甲、乙、丙三人分别在何处教何课程？ 分析 根据已知条件，我们把人、地区、科目这三类分别用点表示在三个集合内.规定：两者之间有关系用实线连接，没有关系用虚线连接.这样把问题转化为用图进行推理（如图（a））.据此，下面的结果是显然的：①如果某一点用虚线连接某一个集合的两个点，则这点与这一集合内的第三个点应连实线；②如果在以不同集合内的点为顶点的三角形中两条边是实线，则第三条边也应该是实线.这样，上述三角形中若一条边为虚线，另一条边为实线，则第三条边一定为虚线.这两条结论是解题的依据.解题的关键是找到三个以实线为边的三角形。

解：根据题意，甲与北京、乙与天津、乙与物理、北京与化学之间连虚线；天津与数学之间连实线（如上图（b））.这样，根据上面的结论，乙与数学应连虚线，乙与化学应连实线。

从而天津与化学连虚线，上海与化学连实线，乙与上海连实线（如下页图（c）），即乙在上海教化学.由图（c）进一步可以看出，甲与上海应连虚线，甲与天津连实线.因而甲与数学连实线（如下页图（d））.由此得出：甲在天津教数学，而余下就是丙在北京教物理.

习题十一

1.A、B、C、D四位同学参加60米赛跑的决赛.赛前，四位同学对比

赛结果各说了如下的一句话： A说：“我会得第一名.”

B说：“A、C都不会取得第一名.” C说：“A或B会得第一名.” D说：“B会得第一名.”

结果有两位同学说对了.试问：谁会获得这次决赛的第一名？ 2.A、B、C、D四人同住一间寝室，其中一人在修指甲，一人在洗头，一人在画画，另一人在看书，已知： ①A不在修指甲，也不在看书； ②B不在画画，也不在修指甲； ③若A不在画画，则D不在修指甲； ④C既不在看书，也不在修指甲； ⑤D不在看书，也不在画画。 请问：他们各自在干什么？

3.张、王、李三人分别出生在北京、上海和武汉，他们分别是歌唱演员、相声演员和舞蹈演员.已知：①小王不是歌唱演员，小李不是相声演员；②歌唱演员不出生在上海；③相声演员出生在北京；④小李不出生在武汉.试分别确定他们的出生地和职业。

4.有甲、乙、丙、丁四人同住在一座四层的楼房里，他们之中有工程师、工人、教师和医生.如果已知：

①甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第四层； ②医生住在教师的楼上，在工人的楼下，工程师住最低层。 试问：甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？各自的职业是什么？

习题十一解答

1.利用图表可得A是第一名。

2.方法1：由①②③④⑤知，既不是A、B在修指甲，也不是C在修

指甲，以及A、C.D不在看书，所以B在看书，修指甲的是D.但“D修指甲”与③的有条件的结论矛盾.所以③的条件是不成立的.这就得到A在画画.由④知C在洗头。

方法2：可用图表法进行推理。

3.小李是上海人，舞蹈演员；小王是北京人，相声演员； 小张是武汉人，歌唱演员。

4.甲：教师，住二层；乙：工程师，住一层；丙：医生，住三层；丁：工人，住四层.

第九讲 数学游戏

游戏对策问题因常与智力游戏相结合，因此具有很大的趣味性.又由

于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思路，提高分析问题解决问题的能力是很有益处的。

例1 在一个3×3的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数不能重复.最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略。

分析 把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、 i。

甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i =（a＋c＋g+i）+（b+h）； 乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i =（a＋c＋g＋i）+（d＋f）

要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f.要想使b＋h＞d＋f，甲有两种策略：一是增强自己的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论：取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾。

为了使叙述方便起见，我们分别用（甲2）和（a5）分别表示“甲第二轮”和“在a处填数字5”，其余如（乙1），（甲1，b10）等含义类同。

一、甲首先使b、h处填的数尽可能大.譬如，（甲1，b10）。 1.乙为了不输，（乙1）必须在h处填数.（否则，即如（乙1）不在h处填数，（甲2）在h处填余下来的最大数后，无论（乙2）怎么填，最后总有b＋h≥10＋8=18＞16＝9＋7≥d+f，甲胜）.这样，必须（乙1，h1）.（乙当然在h处填最小数）

2.（甲2）不能在d处或f处填数.（否则，如（甲2，dx），x为任一数，则（乙2）在f处填余下来的最大数后，即有d+f≥3＋9＝12＞11＝10＋1＝b+h，乙胜）.当然（甲2）填9，譬如（甲2，eg）.（以后，只要甲不填错，即只要把余下数中的最小者填入d或f，就不会输了） 3.显然，（乙2，d8），乙就不会输了.因此不分胜负（此时（甲3）必须（f3））。

同样，若（甲1，h10），只要乙应对正确，乙就不会输。 因此，只有

二、甲首先使d、f处填的数尽可能小（才有可能必胜）.譬如，（甲1，d1）。

1.若（乙1）不在f处填数时，（甲2）在f处填余下来的最小数，则最后必有

b＋h≥3＋5＝8＞5=1＋4≥d＋f，甲胜。

2.若（乙1，f10）（乙当然在f处填最大数），则（甲2，b9），最后必有

b＋h≥9＋3＝12＞11=1＋10=d+f，甲胜.

因此，只要（甲1，d1），且以后甲每次应对正确，则甲必胜。 解：甲第一轮采用削弱对方策略，把1填入d格（或f格）内，以后无论乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只要把尽可能大的数填入b或h格内，或者把尽可能小的数填入f格（或d格）内（在乙没有在f或d格内填数的情况下），甲都能获胜。

例2 在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？

分析 见右图，采用倒推法.甲要取胜，就必须使乙在移动最后一次石子后，石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中，即动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方格只有

和

必须由甲来占领。

和

.而移，即

这样，如一开始分析的那样，就必须使乙在某一次移动石子后，石子落在再移动一次就能移到格（除了只有用

和

或

的那些方格中，即

.而从哪些方之一中呢？

中。

外）中移动一次石子，石子必定落在

.因此甲第一次移动石子就必须把石子从左下角移到

这样，所有的格子被分成“胜位”（）和“负位”（）.自

然，上图中的和 也是负位.即，谁占据胜位，谁将获胜（若此后他不失误）；谁占负位，谁将失败（若此后对方不失误）。

解：由以上的分析和上图知，甲要取胜，必须向右上走一格.然后，乙如果向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜。

如果是5×5的方格，甲要取胜，应采取怎样的策略呢？

根据例2的分析，我们仍用 表示胜位，表示负位，如右图所示.因此，先移动石子者必输——第一次他只能把石子移动到负位。 例3 甲乙两人玩下面的游戏：有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个，甲乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（＞0）不限.规定拿到最后一个球的人为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？ 分析 解这类题的一个常用的方法是从简单的情形讨论起，逐渐找出规律或找出解来。

为了便于叙述，我们用（m，n）表示两堆球，其中一堆有m个，另一堆有n个。

我们从最简单的情况（1，0）开始讨论。

显然，谁拿过球后两堆球成为（1，0）的状况，则对方必败，因为此时对方只有唯一的一种选择——拿走最后一个球.因此（1，0）是胜位，即谁造成这个局面谁必胜.把这种情形简记为 ①（1，0），胜位。

②（a）（n，0），负位，其中n＞1；

（对方只需在n个球的那堆中拿走n—1个，对方就造出（1，0）局面，因而对方胜）。

显然，（b）（1，1），负位； （c）（n，1），负位，其中n＞1。

（对方只需在n个球的那堆中的球全拿走，就造出（1，0）局面.）此外，

③（2，2），胜位.（对方拿走1个变（2，1），即②（c）中的情形；拿走2个变（2，0），即②（a）中的情形.对方均负）.因此 ④（n，2），负位，其中n＞2。

（对方只需在n个球的那堆中拿走n—2个，对方就占据了胜位（2，2）.）

与③类似，有

⑤（3，3），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②（a），②（c），④三种负位之一.）因此

⑥（n，3），负位，其中n＞3。

（对方只需在n个球的那堆中拿走n—3个，对方就占据了胜位（3，3）.）还有

⑦（4，4），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②（a），②（c），④，⑥四种负位之一.）因此 ⑧（n，4），负位，其中n＞4。

（对方只需在n个球的那堆中拿走n—4个，对方就占据了胜位（4，4）.）如此等等，

因此，当两堆球的个数相等但不等于1，或只有一堆球，其中只有一个球时，先拿的必输；当个数不相等但不是（1，0），或两堆各有1个球时，先拿的必胜（当为（n，0）时，拿走n-1个球；当为（n，1）时，拿走n个球；否则，从多的一堆中拿走一些，使两堆个数相等）。 解：如果甲先拿，甲有必胜的策略.甲的具体做法是：从9个球的那一堆中拿1个，使两堆球数相等，都是8个。

此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿.如果乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；如果乙使得一堆球就剩下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；否则，当乙拿几个时，甲也拿同样多的个数.在前两种情形，因为只剩下一堆球，而且这堆中只有一个球，因此乙必输；在后一种情形两堆球的个数相同，只是比原来少了。 这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球的局面.这时，乙只有两种选择：拿2个或拿1个，然后，甲拿1个或拿2个，乙也必输。

说明：我们也可用例2的分析中的思考方法来解这道题。

先如右图画一表格.其中有“*”的格子表示两堆球的个数分别为3和5.这个方格记为（3，5）（第四行第六列）.显然.（5，3）（第六行第四列）的含义与（3，5）一样（行、列分别为从下到上、从左到右编序）.我们的问题转化为：

在（8，9）格中有一石子（即“有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个”），甲乙两个轮流移动石子（即“甲乙两人轮流从中拿球”），每次只能向下或向左移动（即“每次只能从一堆中拿”），格数不限（即“个数不限”）.规定把石子移到（0，0）格（即左下角）的人为输（即“规定拿到最后一个球的人为输”）.问如果甲先移（即“甲先拿”），他有无必胜的策略？

按照例2分析中的思路，我们把解答填在右面的表格里，其中的“+”、“-”分别表示该格为“胜位”和“负位”.如，（1，0）格中的“+”表示谁把石子移动到这一格即会胜.在表格中除了（1，0），（0，1）是胜位外，其余所有的胜位为（n，n），n＝2，3，4，„.而（8，9）格是负位.因此，开始时石子在（8，9）格中时，如甲先移，甲有必胜的策略，即甲必胜——把石子移到一个标有“+”的格子，即移到（8，8）格中.此时，无论乙怎样移动石子（只要按规定移），他必把石子移到负位.接着，甲又能把石子移到胜位，„.最后，甲必能把石子移到（1，0）格或（0，l）格.因此甲必胜。

请同学们自己推导一下上述填“+”、“-”的过程，并把“移石子”的必胜策略“翻译”成“取玻璃球”的策略.

习题九

1.如果把例1中的九个数改为1、2、3、4、5、6、7、8、10（注意

缺少9），得分少者为胜，甲先填，请你为甲找出一种必胜的策略。 2.甲乙两人玩轮流从右图中选数的游戏，谁选的数中有三个在同一条直线上（即和为15），谁就胜.先选的人有没有必胜的方案？

3.把例2分别改成在8×8和9×9方格纸上，甲乙两人交替将右上角石子移到左下角，其他规则不变，问谁能有必胜策略？

4.甲乙两人玩下面的游戏：有三堆玻璃球，A堆有29个，B堆有16个，C堆有16个，甲乙两人依次从中拿取，每次只许从同一堆中拿，至少拿一个，多拿不限，规定拿最后一个者为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？

习题九解答

1.解：为了叙述方便，在右图中标上字母a、b、c、d、e、f、g、h、

i。此题与例1几乎完全一样，只是把1改为10，把3～10改为8～1，把得分多者胜改为得分少者胜.因此，甲在必胜策略上也相仿，只需把填大（小）数改为填小（大）数.具体如下（记号见例1）：

（甲1，d10）.①若（乙1）不在f处填数，则（甲2）在f处填余下来的最大数.甲胜。

②若（乙1，f1）（乙当然在已方f处填最小数），则（甲2，b2）.甲胜。

2.解：1、3、7、9这四个数各有两种可能使三个数在一条直线上，2、4、6、8各有三种可能，5有四种可能。

设甲先选.为了取胜，甲自然选5.乙选2.有以下几种可能： ①甲选4，乙必选6，甲必选7，乙必选3.无胜负.（甲选6与选4类似）。

②甲选9，乙必选1，甲选任一已不能获胜.（甲选7与选9类似）。 ③甲选1，3是类似的，显然不能获胜。 ④甲选8也显然不能获胜。

如果甲不先选5，而先选其他任一数，乙即选5.显然无胜负.因此先选者无必胜策略.

3.由例2知，采用倒推法分析得下图

我们仍然用“＋”表示胜位，“-”表示负位。 对于8×8的棋盘，先走的人有必胜的策略。 对于9×9的棋盘，后走的人有必胜的策略。

4.解：根据例3，当只有两堆球，且两堆球的个数相同且个数不等于1时，先拿的必败.所以甲先取时，甲把A堆中的29个球全部取走，这时留给乙的是两堆球数相同且个数不等于1的局面.然后按照两堆球游戏的策略，甲就能获胜.