数 学
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题(本大题共10小题,共40分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项。)
1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家,如果将“收入60元”记作“+60元”,那么“支出40元”记作( )A. +40元
B. ―40元
C. +20元
D. 20元
2.若|𝑎|=𝑎,则取范围是( )A. 𝑎>0
B. 𝑎<0
C. 𝑎≤0
D. 𝑎≥0
3.数轴上的点𝐴到原点的距离是4,则点𝐴表示的数为( )A. 4
B. ―4
C. 4或―4
D. 2或―2
4.在0,1,―5,―1四个数中,最小的数是( )A. 0
B. 1
C. ―5
D. ―1
5.有理数𝑎,𝑏,𝑐,𝑑在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列结论中错误的是( )
A. 𝑏>2
6.下列说法正确的是( )
B. 𝑎―𝑐>0C. |𝑑|>|𝑐|D. 𝑏+𝑐>0
A. 近似数5千和5000的精确度是相同的B. 近似数8.4和0.7的精确度不一样C. 2.46万精确到百分位
D. 317500四舍五入精确到千位可以表示为31.8万
7.若𝑎,𝑏,𝑐均为整数且满足(𝑎―𝑏)10+(𝑎―𝑐)10=1,则|𝑎―𝑏|+|𝑏―𝑐|+|𝑐―𝑎|=( )A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.如图所示的运算程序中,若开始输入的𝑥值为36,我们发现第1次输出的结果为18,第2次输出的结果为9,…则第2022次输出的结果为( )
A. 3
11B. 6
𝑥―𝑦5𝑦C. 9D. 18
9.代数式,2𝑥+𝑦,𝑎2𝑏,𝜋,,0.5中整式的个数( )
𝑥34𝑥A. 3个
B. 4个
𝑦C. 5个D. 6个
10.如果|𝑥+1|=3,|𝑦|=5,―𝑥>0,那么𝑦―𝑥的值是( )A. 2或0
B. ―2或0
C. ―1或3
D. ―7或9
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
11.比较大小:― ______―1.(用“>”“=”或“<”填空)
3212.如果|𝑎―2|+(𝑏+3)2=0,那么𝑎+𝑏= ______ .
13.定义一种新运算“∗”,即𝑚∗𝑛=(𝑚+2)×3―𝑛.例如2∗3=(2+2)×3―3=9.比较结果的大小:2∗(―2)的值是______.
14.已知|𝑥|=3,𝑦2=,且𝑥+𝑦<0,则𝑥―𝑦的值等于______ .三、计算题(本大题共4小题,共16分)15. (8分)
(1)(―+)÷(―
1656237)×3.5;1256131432(2)(1―)×(―3)―(―1)÷(―7).16.(8分)
(1)―23÷8―×(―2)2;(2)(―
1131―+―)×(―48).121614三、解答题(本大题共7小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(8分) 若𝑎,𝑏互为相反数,𝑐,𝑑互为倒数,|𝑚|=4,求18.(8分) 已知|𝑚|=1,|𝑛|=4.(1)当𝑚𝑛<0时,求𝑚+𝑛的值;(2)求𝑚―𝑛的最大值.
𝑎+𝑏+𝑚2―5𝑐𝑑+6𝑚的值.3𝑚19.(10分)经过研究,问题“1+2+3+…+100=?“的一般性结论是1+2+3+…+𝑛=𝑛(𝑛+1),其中𝑛是正整数,现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+3×4+…+𝑛(𝑛+1)=?观察下面三个特殊的等式:1×2=(1×2×3―0×1×2),2×3=(2×3×4―1×2×3),3×4=(3×4×5―2×3×4),
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20.根据材料,直接写出下列各式的计算结果.(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11;(2)1×2+2×3+3×4+…+𝑛(𝑛+1).
131313131220.(10分)已知𝑥、𝑦为有理数,现规定一种新运算※,满足𝑥※𝑦=𝑥𝑦+1.(1)求2※3的值;
(2)求(1※4)※(―)的值;
(3)探索𝑎※(𝑏+𝑐)与𝑎※𝑏+𝑎※𝑐的关系,并用等式把它们表达出来.
1221.(12分)某超市现有20筐白菜,以每筐18千克为标准,超过或不足的千克数分别用正、负数来表示,记录如下:
与标准质量的差值(单位:千克)筐数
―3.52
―24
―1.52
01
13
2.58
(1)20筐白菜中,最重的一筐比最轻的一筐重______千克.(2)与标准重量比较,20筐白菜总计超过或不足多少千克?
(3)该超市参与“送温暖惠民工程”,白菜每千克售价1.8元,则出售这20筐白菜可卖多少元?
22.(12分)如图,数轴上𝐴、𝐵两点所对应的数分别是𝑎和𝑏,且(𝑎+5)2+|𝑏―7|=0.
(1)则𝑎=______,𝑏=______;𝐴、𝐵两点之间的距离=______.
(2)有一动点𝑃从点𝐴出发第一次向左运动1个单位长度,然后在新的位置第二次运动,向右运动2个单位长度,在此位置第三次运动,向左运动3个单位长度,在此位置第四次运动,向右运动4个单位长度…按照如此规律不断地左右运动,当运动到2019次时,求点𝑃所对应的数.
(3)在(2)的条件下,点𝑃在某次运动时恰好到达某一个位置,使点𝑃到点𝐵的距离是点𝑃到点𝐴的距离的3倍?请直接写出此时点𝑃所对应的数,并分别写出是第几次运动.
23.(14分)阅读理解:若𝐴、𝐵、𝐶为数轴上三点,若点𝐶到𝐴的距离是点𝐶到𝐵的距离2倍,我们就称点𝐶是【𝐴,𝐵】的好点.
(1)如图1,点𝐴表示的数为―1,点𝐵表示的数为2.表示1的点𝐶到点𝐴的距离是2,到点𝐵的距离是1,那么点𝐶是【𝐴,𝐵】的好点;又如,表示0的点𝐷到点𝐴的距离是1,到点𝐵的距离是2,那么点𝐷______【𝐴,𝐵】的好点,但点𝐷______【𝐵,𝐴】的好点.(请在横线上填是或不是)知识运用:
(2)如图2,𝑀、𝑁为数轴上两点,点𝑀所表示的数为4,点𝑁所表示的数为―2.数______所表示的点是【𝑀,𝑁】的好点;
(3)如图3,𝐴、𝐵为数轴上两点,点𝐴所表示的数为―20,点𝐵所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁𝑃从点𝐵出发,以4个单位每秒的速度向左运动,到达点𝐴停止.当经过______秒时,𝑃、𝐴和𝐵中恰有一个点为其余两点的好点?
答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】解:如果“收人60元”记作“+60元”,那么“支出40元”记作“―40元”。故选:𝐵.
2.【答案】𝐷
【解析】解:若|𝑎|𝑎则𝑎的取值围是≥0.故D.
3.【答案】𝐶
【解析】解:在数轴上,4和―4到原点的距离为4。∴点𝐴所表示的数是4和―4。故选:𝐶。
4.【答案】𝐶
【解析】解:∵―5<―1<0<1,∴最小的数是―5,故选:𝐶.
5.【答案】𝐷
【解析】解:由数轴可知,―4<𝑐<―3,―1<𝑎<0,2<𝑏<3,4<𝑑<5,故𝑏>2正确;𝑎―𝑐>0正确;|𝑑|>|𝑐|正确;𝑏+𝑐>0错,故选:𝐷.
6.【答案】𝐷
【解析】解:𝐴、近似数5千精确到千位,而5000精确到个位,故本选项错误;B、近似数8.4和0.7的精确度一样,都是精确到十分位,故本选项错误;C、2.46万精确到百位,故本选项错误;
D、317500四舍五入精确到千位可以表示为31.8万,故本选项正确;故选:𝐷.
7.【答案】𝐵
【解析】解:因为𝑎,𝑏,𝑐均为整数,所以𝑎―𝑏和𝑎―𝑐均为整数,|𝑎―𝑏|=1|𝑎―𝑏|=0
从而由(𝑎―𝑏)10+(𝑎―𝑐)10=1可得|𝑎―𝑐|=0或|𝑎―𝑐|=1.
{{|𝑎―𝑏|=1
若|𝑎―𝑐|=0则𝑎=𝑐,
从而|𝑎―𝑏|+|𝑏―𝑐|+|𝑐―𝑎|=|𝑎―𝑏|+|𝑏―𝑎|+|𝑎―𝑎|=2|𝑎―𝑏|=2.|𝑎―𝑏|=0
若|𝑎―𝑐|=1则𝑎=𝑏,
从而|𝑎―𝑏|+|𝑏―𝑐|+|𝑐―𝑎|=|𝑎―𝑎|+|𝑎―𝑐|+|𝑐―𝑎|=2|𝑎―𝑐|=2.因此,|𝑎―𝑏|+|𝑏―𝑐|+|𝑐―𝑎|=2.故选:𝐵.
{{8.【答案】𝐵
【解析】解:第1次输出的结果为18,第2次输出的结果为9,
第3次输出的结果为9+3=12,第4次输出的结果为×12=6,第5次输出的结果为×6=3,第6次输出的结果为3+3=6,第7次输出的结果为×6=3,…,
则从第4次开始,以6,3循环出现,
偶数次输出的结果是6,奇数次输出的结果是3,因为2022是偶数,所以第2022次输出的结果为6.故选:𝐵.
1212129.【答案】𝐵
【解析】解:因为不是整式,2𝑥+𝑦是多项式,𝑎2𝑏是单项式,𝜋是多项式,不是整式,0.5是单项式,
3𝑥4𝑥所以整式有2𝑥+𝑦,𝑎2𝑏,𝜋,0.5,共有4个.
3故选:𝐵.
1𝑥―𝑦11𝑥―𝑦5𝑦10.【答案】𝐷
【解析】解:∵―𝑥>0,即𝑥<0,∴𝑥、𝑦异号,
∵|𝑥+1|=3,|𝑦|=5,
𝑦𝑦∴𝑥+1=±3,𝑥=―4或2,𝑦=±5,∵𝑥、𝑦异号,
∴当𝑥=―4,𝑦=5,此时𝑦―𝑥=5―(―4)=9,当𝑥=2,𝑦=―5,此时𝑦―𝑥=―5―2=―7,综上所述:𝑦―𝑥的值为―7或9.故选:𝐷.
11.【答案】>
【解析】解:∵|―|<|―1|,∴―>―1.故答案为:>.
2323232312.【答案】―1
【解析】解:因为|𝑎―2|+(𝑏+3)2=0,所以𝑎―2=0,𝑏+3=0,解得𝑎=2,𝑏=―3,所以𝑎+𝑏=2―3=―1.故答案为:―1.
13.【答案】14
【解析】解:根据题中的新定义得:2∗(―2)
=(2+2)×3―(―2)
=14,=4×3―(―2)
=12+2故答案为:14.
14.【答案】―32或―22 【解析】解:∵|𝑥|=3,𝑦2=,∴𝑥=±3,𝑦=±,∵𝑥+𝑦<0,∴𝑥=―3,𝑦=±,
12121411∴𝑥―𝑦=―3或―2.故答案为:―3或―2.由|𝑥|=3,𝑦2=,得出𝑥=±3,𝑦=±,再由𝑥+𝑦<0,得出𝑥=―3,𝑦=±,进一步代入求得答案即可.
1412121212121215.【答案】解:(1)(―6+3)÷(―12)×3.5
=(―)×(―=+(×=1;
(2)(1―)×(―3)―(―1)÷(―7) =×(―3)―(―=―― 24=―
11 45156113)×(―) 6221656131616712)× 27527127×) 27【解析】(1)先算小括号,然后按照从左到右的顺序进行计算即可解答;(2)先算乘除,后算加减,有括号先算括号里,即可解答.
16.【答案】解:(1)―23÷8―4×(―2)2
=―8÷8―×4 =―1―1 =―2;(2)(―=―
1131―+―)×(―48) 12161411113×(―48)―×(―48)+×(―48)―×(―48) 1612=4+3+(―36)+8 =―21.
【解析】(1)先算乘方,再算乘除法,最后算减法即可;(2)根据乘法分配律计算即可.
17.【答案】解:根据题意得:𝑎+𝑏=0,𝑐𝑑=1,𝑚=4或―4,
当𝑚=4时,原式=0+16―5+24=35;当𝑚=―4时,原式=0+16―5―24=―13.
【解析】利用相反数,倒数,以及绝对值的代数意义求出𝑎+𝑏,𝑐𝑑,𝑚的值,代入原式计算即可得到结果.此题考查了代数式求值,相反数,绝对值,以及倒数,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.【答案】解:∵|𝑚|=1,|𝑛|=4,
∴𝑚=±1,𝑛=±4;(1)∵𝑚𝑛<0,
∴𝑚=1,𝑛=―4或𝑚=―1,𝑛=4,∴𝑚+𝑛=±3;
(2)𝑚=1,𝑛=4时,𝑚―𝑛=―3;𝑚=―1,𝑛=―4时,𝑚―𝑛=3;𝑚=1,𝑛=―4时,𝑚―𝑛=5;𝑚=―1,𝑛=4时,𝑚―𝑛=―5;∴𝑚―𝑛的最大值是5.
【解析】由已知分别求出𝑚=±1,𝑛=±4;
(1)由已知可得𝑚=1,𝑛=―4或𝑚=―1,𝑛=4,再求𝑚+𝑛即可;(2)分四种情况分别求解即可.
19.【答案】解:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11
=×(1×2×3―0×1×2+2×3×4―1×2×3+…+10×11×12―9×10×11) =×10×11×12 =440;
(2)1×2+2×3+3×4+…+𝑛(𝑛+1)
=×[1×2×3―0×1×2+2×3×4―1×2×3+…+𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)―(𝑛―1)𝑛(𝑛+1)] =𝑛(𝑛+1)(𝑛+2).
【解析】(1)原式=×(1×2×3―0×1×2+2×3×4―1×2×3+…+10×11×12―9×10×11),再运算即可;
(2)原式=×[1×2×3―0×1×2+2×3×4―1×2×3+…+𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)―(𝑛―1)𝑛(𝑛+1)],再运算即可.
13131313131320.【答案】解:(1)2※3=2×3+1=7;
(2)(1※4)※(―2)=(1×4+1)※(―2)=5※(―2)=5×(―2)+1=―2;
(3)∵𝑎※(𝑏+𝑐)=𝑎(𝑏+𝑐)+1=𝑎𝑏+𝑎𝑐+1,𝑎※𝑏+𝑎※𝑐=𝑎𝑏+1+𝑎𝑐+1=𝑎𝑏+𝑎𝑐+2 ∴𝑎※(𝑏+𝑐)+1=𝑎※𝑏+𝑎※𝑐 【解析】(1)套用公式列式计算可得;(2)套用公式列式计算可得;
(3)分别计算𝑎※(𝑏+𝑐)与𝑎※𝑏+𝑎※𝑐,即可得出结论.
1111321.【答案】6
【解析】解:(1)最重的一筐超过2.5千克,最轻的差3.5千克,求差即可2.5―(―3.5)=6(千克),故最重的一筐比最轻的一筐重6千克.故答案为:6;
(2)2×(―3.5)+4×(―2)+2×(―1.5)+1×0+3×1+8×2.5=5(千克).故20筐白菜总计超过5千克;
(3)1.8×(18×20+5)
=657(元).=1.8×365故出售这20筐白菜可卖657元.
(1)根据最重的一筐与最轻的一筐相减即可;(2)将20筐白菜的重量相加计算即可;(3)将总质量乘以价格解答即可.
22.【答案】(1)―5 7 12
(2)设向左运动记为负数,向右运动记为正数,
依题意得:―5―1+2―3+4―5+6―7+…+2018―2019,=―5+1009―2019,=―1015.
答:点𝑃所对应的数为―1015;(3)设点𝑃对应的有理数的值为𝑥,
①当点𝑃在点𝐴的左侧时:𝑃𝐴=―5―𝑥,𝑃𝐵=7―𝑥,依题意得:
7―𝑥=3(―5―𝑥),
解得:𝑥=―11;
②当点𝑃在点𝐴和点𝐵之间时:𝑃𝐴=𝑥―(―5)=𝑥+5,𝑃𝐵=7―𝑥,依题意得:7―𝑥=3(𝑥+5),解得:𝑥=―2;
③当点𝑃在点𝐵的右侧时:𝑃𝐴=𝑥―(―5)=𝑥+5,𝑃𝐵=𝑥―7,依题意得:𝑥―7=3(𝑥+5),
解得:𝑥=―11,这与点𝑃在点𝐵的右侧(即𝑥>7)矛盾,故舍去.综上所述,点𝑃所对应的有理数分别是―11和―2.
所以―11和―2分别是点𝑃运动了第11次和第6次到达的位置. 【解析】解:(1)∵(𝑎+5)2+|𝑏―7|=0,∴𝑎+5=0,𝑏―7=0,∴𝑎=―5,𝑏=7;
∴𝐴、𝐵两点之间的距离=|―5|+7=12.故答案是:―5;7;12;(2)见答案;(3)见答案.
23.【答案】(1)不是,是;
(2)0或―8; (3)5或7.5或10.
【解析】解:(1)如图1,因为点𝐷到点𝐴的距离是1,到点𝐵的距离是2,根据好点的定义得:𝐷𝐵=2𝐷𝐴,
那么点𝐷不是【𝐴,𝐵】的好点,但点𝐷是【𝐵,𝐴】的好点;(2)如图2,若好点在𝑀𝑁之间,4―(―2)=6,6÷3×2=4,即距离点𝑀4个单位,距离点𝑁2个单位的点就是所求的好点0;所以数0所表示的点是【𝑀,𝑁】的好点;
若好点在𝑀𝑁之外,好点到𝑀的距离是到𝑁的距离的2倍,所以好点在𝑁点左侧,设这个点为𝑥,4―𝑥=2(―2―𝑥),解得𝑥=―84―(―8)=12,―2―(―8)=6,
同理:数―8所表示的点也是【𝑀,𝑁】的好点;所以数0或―8所表示的点是【𝑀,𝑁】的好点;
(3)如图3,由题意得:𝑃𝐵=4𝑡,𝐴𝐵=40+20=60,𝑃𝐴=60―4𝑡,点𝑃走完所用的时间为:60÷4=15(秒),分四种情况:
①当𝑃𝐴=2𝑃𝐵时,即60―4𝑡=2×4𝑡,𝑡=5(秒),𝑃是【𝐴,𝐵】的好点,②当𝑃𝐵=2𝑃𝐴时,即4𝑡=2(60―4𝑡),𝑡=10(秒),𝑃是【𝐵,𝐴】的好点,③当𝐴𝐵=2𝑃𝐵时,即60=2×4𝑡,𝑡=7.5(秒),𝐵是【𝐴,𝑃】的好点,④当𝐴𝐵=2𝐴𝑃时,即60=2(60―4𝑡),𝑡=7.5(秒),𝐴是【𝐵,𝑃】的好点,所以当经过5秒或7.5或10秒时,𝑃、𝐴和𝐵中恰有一个点为其余两点的好点;故答案:(1)不是,是;(2)0或―8;(3)5或7.5或10.
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