月考数学(文)试题
一、单选题
1.对于非零向量,,“A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】【详解】
不一定有
,若
,则一定有a//b. ”是“a//b ”的( )
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】判断必要性和充分性.
2.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是( ) A.(p)q 【答案】D
【解析】首先判断命题p,q的真假性,由此判断出正确选项. 【详解】
对应命题p,所有有理数都是实数为真命题; 对于命题q,正数的对数不一定是正数,如log2B.pq
C.(p)(q)
D.(p)(q)
1log2211,故q为假命题. 2所以(p)q、pq、(p)(q)为假命题;(p)(q)为真命题. 故选:D 【点睛】
本小题主要考查含有逻辑联结词命题的真假性判断,属于基础题.
x2y2B,若AB5,3.已知F1,F2是椭圆1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A、169则AF1BF1( ) A.11 【答案】A
【解析】由椭圆的方程求出椭圆的长轴长,再由椭圆的定义结合AB5求得结果
B.10
C.9
D.16
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【详解】 如图,
x2y2由椭圆1可得:a216,则a4
169又AF1BF1AB4a16 且AB5 则AF1BF111 故选A 【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质,解题的关键是根据椭圆的定义即椭圆上的点到焦点的距离之和为2a,属于基础题。
4.命题:“若ab0a,bR,则ab0”的逆否命题是nn
22A.若ab0a,bR,则a2b20 B.若ab0a,bR,则a2b20 C.若a0且b0a,bR,则a2b20 D.若a0或b0a,bR,则a2b20 【答案】D
【解析】根据逆否命题的写法得到,逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置,并且都进行否定,故得到逆否命题是若a0,或b0a,bR,则a2b20. 故答案为D.
5.在平面直角坐标系中,已知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,实轴长为8,离心率为,则它的渐近线的方程为( )
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析:渐近线的方程为方程为
,选D.
,而
,因此渐近线的
【考点】双曲线渐近线
6.已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1,到直线3x-4y+9=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是( ) A.
5126 B. C.2 D.
555【答案】A
【解析】试题分析:根据抛物线的定义可知抛物线y4x上的点P到抛物线的焦点距离PFd1,所以d1d2MFd2,其最小值为F1,0到直线3x4y90的距离,由点到直线的距离公式可知d1d2minMFd2A.
【考点】抛物线定义的应用.
2min39324212,故选5x2y27.已知点P是椭圆221(ab0,xy0)上的动点,F1(c,0)、F2(c,0)为椭
abO为坐标原点,圆的左、右焦点,若M是F1pF2的角平分线上的一点,且F1M⊥MP,则|OM|的取值范围是( ) A.(0,c) 【答案】A 【解析】【详解】
解:如图,延长PF2,F1M,交与N点,∵PM是∠F1PF2平分线,且F1M⊥MP, ∴|PN|=|PF1|,M为F1F2中点,
连接OM,∵O为F1F2中点,M为F1F2中点 ∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||
B.(0,a)
C.(b,a)
D.(c,a)
∵在椭圆中,设P点坐标为(x0,y0)
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则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a﹣ex0,
∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0+a﹣ex0|=|2ex0|=|ex0| ∵P点在椭圆∴|x0|∈(0,a],
又∵当|x0|=a时,F1M⊥MP不成立,∴|x0|∈(0,a) ∴|OM|∈(0,c). 故选A.
上,
x2y28.已知椭圆1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4,那么点M到另一
259个焦点的距离等于( ) A.1 【答案】C
【解析】由椭圆方程可得a2252a10 ,由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.故选C.
B.3
C.6
D.10
x2x229.若椭圆y1(m1)与双曲线y21(n0)有相同的焦点F1、F2,P是
mn两曲线的一个交点,则F1PF2的面积是( ) A.4 【答案】C
【解析】试题分析:因为两曲线的焦点相同,所以c2m1n1,即mn2.设
B.2
C.1
D.
1 2P是两曲线在第一象限内的交点,则由椭圆与双曲线的定义,有{PF1PF22mPF1PF22n,第 4 页 共 14 页
解得{PF1mnPF2mnPF22.在F1PF2中,由余弦定理,得,所以PF1·(mn)2(mn)24(m1)==
22cosF1PF2PF1|2PF2|2|F1F2|22PF1?PF22(nm)410,所以F1PF2,所以SF1PF2PF1·PF2,故选C.
422【考点】1、椭圆与双曲线的定义及性质;2、余弦定理. 10.已知抛物线A.
B.
的准线经过点
C.
D.
,则抛物线焦点坐标为( )
【答案】B 【解析】由抛物线所以抛物线焦点坐标为
得准线,故答案选
,因为准线经过点
,所以
,
【考点】抛物线方程和性质.
11.抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是 ( )
A.
4 37B.
5C.
8 5D.3
【答案】A
22【解析】P(x0,y0)为抛物线yx上任意一点. 则y0x0.
220203(x0)24x3y08∴点P到直线的距离为33∴d34. d0min5355数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.
y212.如图,F1,F2是双曲线C1:x1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第
32C一象限的公共点,若F1AF1F2,则2的离心率是( )
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A.
1 3B.
1 5C.
2 3D.
2 5【答案】C
y2【解析】由C1:x1知c2,F1AF1F24
32∵F1AF2A2 ∴F2A2
∵由椭圆得定义知2aF1AF2A6 ∴a3,e故选C
二、填空题
13.焦点在x轴,两准线间的距离为c2 a3185,焦距为25的椭圆方程为__________. 5x2y2【答案】1
94【解析】根据准线的距离、焦距列方程组,解方程组求得a,b,由此求得椭圆方程. 【详解】
a21852c522xy设椭圆方程为221ab0,依题意2c25,
aba2b2c2解得a3,b2,c5. x2y2所以椭圆方程为1.
94x2y2故答案为:1
94【点睛】
本小题主要考查椭圆的准线、焦距等概念,考查椭圆方程的求法.
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x2y214.已知点P为双曲线221(a0,b0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、
abb2右焦点,且F1F2,I为PF1F2的内心,若SIPF1SIPF2SIF1F2成立,则的
a值为___________. 【答案】21
【解析】试题分析:设PF1F2的内切圆的半径为r,由双曲线的定义得
PF1PF22a,F1F22c,
SIPF1111PF1r,SIPF2PF2r,SIF1F22crcr,由题意得222PF1PF2a11b2PF1rPF2rcr,所以,所以,因为F1F2222ccaa22aab2c2a210,所以21,即21. ,所以()2ccccaa
【考点】双曲线的定义及其简单的几何性质的应用.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用,同时考查了三角形的面积的计算与内切圆的性质,其中利用三角形的内切圆的性质,表示出IF1F2,IPF1,IPF2的面积,利用关系式,求出的表达式是解答的关键,着重考查了学生分析问题、解答问题的能力,属于中档试题.
15.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y216x的准线交于A,B两点,AB43;则C的实轴长为______. 【答案】 【解析】【详解】
设等轴双曲线方程为xymm0,由题意可得抛物线的准线为
22,由
,得
所以
,所以不妨设点A4,23,因为点A在等轴双曲线上,,所以等轴双曲线的方程为
,即
,
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从而实轴长2a4, 故答案为4.
【考点】双曲线、抛物线的有关概念和基本性质.
16.过抛物线C:y8x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为6,则AB____________. 【答案】9
【解析】试题分析:焦点坐标为2,0,A到准线距离为6则A的横坐标为4,代入抛物线方程,求得纵坐标为42,不妨设A4,42,所以直线AB的斜率为
24222,方程为y22x2,代入抛物线方程化简得x25x40,42x1x25,所以ABx1x249.
【考点】抛物线的定义.
【思路点晴】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的定义和弦长公式.先根据题意求出焦点的坐标,然后根据抛物线的定义,得到A点的横坐标,代入抛物线的方程,求出A点的纵坐标,利用AF的斜率,求出直线AB的方程,联立直线的方程和抛物线的方程,利用韦达定理,代入抛物线的弦长公式,可求得弦长.
三、解答题
2217.已知命题p:关于x的不等式xa1xa0有实数解,命题q:指数函数
y2a2a为增函数.若“pq”为假命题,求实数a的取值范围.
【答案】a1或ax1. 2【解析】试题分析:首先分别求得p,q为真时a的取值范围,由此求得分别求得p,q为假时a的取值范围,然后由“pq”为假命题, 得出“p为假”或“q为假”,从而求得a的取值范围.
试题解析:p为真 (a1)4a01a221; 3q为真 2a2a1a1或a>1.
2p为假 a1或a1;
3q为假 1a1.
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由“pq”为假命题, 可知“p为假”或“q为假”.
11a1或a或 a1,
321即a1或a.
2【考点】1、命题真假的判定;2、不等式的解法.
【方法点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上,求解一般步骤为:①首先要将p,q等价化简;②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系;③列出关于参数的等式或不等式组,求出参数的值或取值范围.
18.已知命题:“xx|1x1,使等式xxm0成立”是真命题.
2(1)求实数m的取值集合M; (2)设不等式
xa20的解集为N,若xN是xM的必要不充分条件,求实
xa数a的取值范围. 【答案】(1)Mm|911(2)a或a. m2;
4442【解析】试题分析:(1)题中命题为真,说明方程xxm0在(1,1)上有解,即
mx2x在(1,1)上有解,因此只要求mx2x在(1,1)上的值域即可;(2)由充
分必要条件与集合的关系得MN且MN,因此可通过分类解不等式得集合N,再利用子集关系可求得a的范围.
试题解析:(1)由题意知,方程xxm0在1,1上有解,即m的取值范围就是
2函数yxx在1,1上的值域,易得Mm|21m2. 4(2)因为xN是xM的必要不充分条件,所以MN且MN 若MN,分以下几种情形研究;
①当a1时,解集N为空集,不满足题意,
②当a1时,a2a,此时集合Nx|2axa,
19992a则4解得a,且a时,MN,故a满足题意,
444a2③当a1时,a2a,此时集合Nx|ax2a,
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1a1则,解得. a442a2综上,a91或a时xN是xM的必要不充分条件. 44【考点】命题的真假,充分必要条件. 19.
x2已知椭圆G:y21.过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A,B两点.
4(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(II)将AB表示为m的函数,并求AB的最大值.
【答案】(Ⅰ)焦点坐标为(3,0),(3,0).,离心率为ec3 a2(Ⅱ). |AB|的最大值为2
【解析】试题分析:(1)先由椭圆的标准方程求出值,再利用求出值,
在圆上,即斜率不存
的关系,再联立
进而写出焦点坐标和离心率;(2)先讨论两种特殊情况(点
在的情况),再设出切线的点斜式方程,利用直线与圆相切得到与直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系和弦长公式得到关于本不等式进行求解.
试题解析:(1)由已知得:a2,b1,所以ca2b23. 所以椭圆G的焦点坐标为(3,0),(3,0).
的关系式,再利用基
离心率为ec3. a2(2)由题意知:m1.
当m1时,切线l的方程为x1,点A,B的坐标分别为(1,此时AB3.
当m1时,同理可得AB3.
33),(1,), 22第 10 页 共 14 页
yk(xm)当m1时,设切线l的方程为yk(xm).由{x24(14k2)x28k2mx4k2m240.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
y12,得
8k2m4k2m2,x1x2. x1x22214k14k又由l与圆xy1相切,得22kmk211,即m2k2k21.
43mm32所以AB(x1x2)2(y1y2)2(1k2)[(x1x2)24x1x2],
由于当m1时,AB3,
所以AB43mm32,m(,1][1,).
因为
AB43mm234323,且当m3时,AB2, mm所以AB的最大值为2.
【考点】1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.直线与圆的位置关系.
【易错点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系,属于难题;在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时,往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况,导致结果错误不得分或步骤不全而失分,如本题(2)中,当斜率不存在时的直线,即切线l的方程为x1的情况.
20.设命题对任意实数,不等式点在轴上的双曲线.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围; (2)若命题:“【答案】(1)
”为真命题,且“;(2)
.
”为假命题,求实数的取值范围.
恒成立;命题方程
表示焦
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【解析】试题分析:(1)由于双曲线焦点在轴上,所以等式
恒成立,等价于判别式为非正数,解得
,解得;(2)不
.若或真、且假,则
这两个命题一真一假.分别求出假真和真假时的取值范围,取并集得到的取值范围. 试题解析: (1)因为方程∴
,得
表示焦点在轴上的双曲线. ;∴当
时,为真命题,………………………3分
,∴
,
(2)∵不等式∴当∵
恒成立,∴
时,为真命题............................6分 为假命题,
为真命题,∴
一真一假;.......................7分
无解
①当真假
综上,的取值范围是
,②当假真
............................10分
【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性.
x2y21有相同焦点,且经过点(15,4). 21.双曲线与椭圆
2736(1)求双曲线的标准方程;
(2)求双曲线的离心率及渐近线方程.
y2x2251;x. 【答案】(1)(2)y5【解析】试题分析:(1)由题意知双曲线焦点为F1(0,3),F2(0,3),设出双曲线的方程,代入点(15,4)的坐标,即可求解双曲线的标准方程;(2)由(1)得a2,c3,根据离心率的公式和渐近线方程形式,即可求解双曲线的离心率及渐近线方程. 试题解析:(1)由题意知双曲线焦点为F1(0,3),F2(0,3).
y2x21,点(15,4)在曲线上,代入得a24或a236可设双曲线方程为22a9a(舍),
y2x21. ∴双曲线的方程为
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(2)由(1)得a2,c3,∴双曲线的离心率ec3. a2渐近线方程:y25x. 5【考点】双曲线的标准方程及其简单的几何性质.
22.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A1,2为抛物线C上一点. (1)求C的方程;
(2)若点B1,2在C上,过B作C的两弦BP与BQ,若kBPgkBQ2,求证:直线PQ过定点.
2【答案】(1)y4x或x21y; (2)证明见解析. 22【解析】【详解】试题分析:(1)当焦点在x轴时,设C的方程为x2py,当焦点在
y轴时,设C的方程为x22py,分别代入点A1,2,求得P的值,即可得到抛物
线的方程;(2)因为点1,2在C上,所以曲线
C的方程为y24x,设点Px1,y1,Qx2,y2,用直线与曲线方程联立,利用韦达定
理整理得到b32m,即可得到x3my2,判定直线过定点.
试题解析:(1)当焦点在x轴时,设C的方程为x2py,代人点A1,2得2p4,
2即y4x.当焦点在y轴时,设C的方程为x2py,代人点A1,2得2p221,即2x21y, 222综上可知:C的方程为y4x或x1y. 22(2)因为点B1,2在C上,所以曲线C的方程为y4x.
设点Px1,y1,Qx2,y2,
直线PQ:xmyb,显然m存在,联立方程有:
y24my4b0,16m2b,y1y24m,y1gy24b.QkBPgkBQ2,y12y2244g2,g2, x11x21y12y22即y1y22y1y2120,4b8m120即b32m.
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直线PQ:即x3my2,直线PQ过定点3,2.
【考点】抛物线的标准方程;直线过定点问题的判定. 【方法点晴】
本题主要考查了直线与圆锥曲线问题,其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系的应用的知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线方程联立,利用根与系数的关系,及韦达定理是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档试题.
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