2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高二下学期4月月考数学(文)试题(解析版)

月考数学（文）试题

一、单选题

1．对于非零向量，，“A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】【详解】

不一定有

，若

，则一定有a//b. ”是“a//b ”的（ ）

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】判断必要性和充分性.

2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（ ） A．(p)q 【答案】D

【解析】首先判断命题p,q的真假性，由此判断出正确选项. 【详解】

对应命题p，所有有理数都是实数为真命题； 对于命题q，正数的对数不一定是正数，如log2B．pq

C．(p)(q)

D．(p)(q)

1log2211，故q为假命题. 2所以(p)q、pq、(p)(q)为假命题；(p)(q)为真命题. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查含有逻辑联结词命题的真假性判断，属于基础题.

x2y2B,若AB5,3．已知F1,F2是椭圆1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A、169则AF1BF1( ) A．11 【答案】A

【解析】由椭圆的方程求出椭圆的长轴长，再由椭圆的定义结合AB5求得结果

B．10

C．9

D．16

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【详解】 如图，

x2y2由椭圆1可得：a216，则a4

169又AF1BF1AB4a16 且AB5 则AF1BF111 故选A 【点睛】

本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是根据椭圆的定义即椭圆上的点到焦点的距离之和为2a，属于基础题。

4．命题：“若ab0a，bR，则ab0”的逆否命题是nn

22A．若ab0a，bR，则a2b20 B．若ab0a，bR，则a2b20 C．若a0且b0a，bR，则a2b20 D．若a0或b0a，bR，则a2b20 【答案】D

【解析】根据逆否命题的写法得到，逆否命题是将原命题的条件和结论互换位置，并且都进行否定，故得到逆否命题是若a0,或b0a,bR，则a2b20. 故答案为D．

5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ）

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A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：渐近线的方程为方程为

，选D.

，而

，因此渐近线的

【考点】双曲线渐近线

6．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（ ） A．

5126 B． C．2 D．

555【答案】A

【解析】试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线y4x上的点P到抛物线的焦点距离PFd1,所以d1d2MFd2,其最小值为F1,0到直线3x4y90的距离，由点到直线的距离公式可知d1d2minMFd2A.

【考点】抛物线定义的应用.

2min39324212，故选5x2y27．已知点P是椭圆221(ab0,xy0)上的动点，F1(c,0)、F2(c,0)为椭

abO为坐标原点，圆的左、右焦点，若M是F1pF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是( ) A．(0,c) 【答案】A 【解析】【详解】

解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP， ∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，

连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1F2中点 ∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||

B．(0,a)

C．(b,a)

D．(c,a)

∵在椭圆中，设P点坐标为（x0，y0）

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则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，

∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0+a﹣ex0|=|2ex0|=|ex0| ∵P点在椭圆∴|x0|∈（0，a]，

又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a） ∴|OM|∈（0，c）． 故选A．

上，

x2y28．已知椭圆1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一

259个焦点的距离等于（ ） A．1 【答案】C

【解析】由椭圆方程可得a2252a10 ，由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.故选C．

B．3

C．6

D．10

x2x229．若椭圆y1(m1)与双曲线y21(n0)有相同的焦点F1、F2，P是

mn两曲线的一个交点，则F1PF2的面积是（ ） A．4 【答案】C

【解析】试题分析：因为两曲线的焦点相同，所以c2m1n1，即mn2．设

B．2

C．1

D．

1 2P是两曲线在第一象限内的交点，则由椭圆与双曲线的定义，有{PF1PF22mPF1PF22n，第 4 页 共 14 页

解得{PF1mnPF2mnPF22．在F1PF2中，由余弦定理，得，所以PF1·(mn)2(mn)24(m1)＝＝

22cosF1PF2PF1|2PF2|2|F1F2|22PF1?PF22(nm)410，所以F1PF2，所以SF1PF2PF1·PF2，故选C．

422【考点】1、椭圆与双曲线的定义及性质；2、余弦定理． 10．已知抛物线A．

B．

的准线经过点

C．

D．

，则抛物线焦点坐标为（ ）

【答案】B 【解析】由抛物线所以抛物线焦点坐标为

得准线，故答案选

，因为准线经过点

，所以

，

【考点】抛物线方程和性质.

11．抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是 （ ）

A．

4 37B．

5C．

8 5D．3

【答案】A

22【解析】P(x0,y0)为抛物线yx上任意一点. 则y0x0.

220203(x0)24x3y08∴点P到直线的距离为33∴d34. d0min5355数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.

y212．如图，F1,F2是双曲线C1:x1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第

32C一象限的公共点，若F1AF1F2，则2的离心率是（ ）

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A．

1 3B．

1 5C．

2 3D．

2 5【答案】C

y2【解析】由C1:x1知c2，F1AF1F24

32∵F1AF2A2 ∴F2A2

∵由椭圆得定义知2aF1AF2A6 ∴a3,e故选C

二、填空题

13．焦点在x轴，两准线间的距离为c2 a3185，焦距为25的椭圆方程为__________. 5x2y2【答案】1

94【解析】根据准线的距离、焦距列方程组，解方程组求得a,b，由此求得椭圆方程. 【详解】

a21852c522xy设椭圆方程为221ab0，依题意2c25，

aba2b2c2解得a3,b2,c5. x2y2所以椭圆方程为1.

94x2y2故答案为：1

94【点睛】

本小题主要考查椭圆的准线、焦距等概念，考查椭圆方程的求法.

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x2y214．已知点P为双曲线221(a0,b0)右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、

abb2右焦点，且F1F2,I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则的

a值为___________． 【答案】21

【解析】试题分析：设PF1F2的内切圆的半径为r，由双曲线的定义得

PF1PF22a,F1F22c，

SIPF1111PF1r,SIPF2PF2r,SIF1F22crcr，由题意得222PF1PF2a11b2PF1rPF2rcr，所以，所以，因为F1F2222ccaa22aab2c2a210，所以21，即21． ，所以()2ccccaa

【考点】双曲线的定义及其简单的几何性质的应用．

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了三角形的面积的计算与内切圆的性质，其中利用三角形的内切圆的性质，表示出IF1F2,IPF1,IPF2的面积，利用关系式，求出的表达式是解答的关键，着重考查了学生分析问题、解答问题的能力，属于中档试题．

15．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，AB43；则C的实轴长为______． 【答案】 【解析】【详解】

设等轴双曲线方程为xymm0，由题意可得抛物线的准线为

22，由

，得

所以

，所以不妨设点A4,23，因为点A在等轴双曲线上，，所以等轴双曲线的方程为

，即

，

第 7 页 共 14 页

从而实轴长2a4, 故答案为4.

【考点】双曲线、抛物线的有关概念和基本性质.

16．过抛物线C:y8x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点，若A到抛物线的准线的距离为6，则AB____________． 【答案】9

【解析】试题分析：焦点坐标为2,0，A到准线距离为6则A的横坐标为4，代入抛物线方程，求得纵坐标为42，不妨设A4,42，所以直线AB的斜率为

24222，方程为y22x2，代入抛物线方程化简得x25x40，42x1x25，所以ABx1x249.

【考点】抛物线的定义.

【思路点晴】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义和弦长公式.先根据题意求出焦点的坐标，然后根据抛物线的定义，得到A点的横坐标，代入抛物线的方程，求出A点的纵坐标，利用AF的斜率，求出直线AB的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理，代入抛物线的弦长公式，可求得弦长.

三、解答题

2217．已知命题p:关于x的不等式xa1xa0有实数解，命题q:指数函数

y2a2a为增函数.若“pq”为假命题，求实数a的取值范围.

【答案】a1或ax1． 2【解析】试题分析：首先分别求得p,q为真时a的取值范围，由此求得分别求得p,q为假时a的取值范围，然后由“pq”为假命题, 得出“p为假”或“q为假”，从而求得a的取值范围．

试题解析：p为真 (a1)4a01a221； 3q为真 2a2a1a1或a>1.

2p为假 a1或a1；

3q为假 1a1.

2第 8 页 共 14 页

由“pq”为假命题, 可知“p为假”或“q为假”.

11a1或a或 a1,

321即a1或a.

2【考点】1、命题真假的判定；2、不等式的解法．

【方法点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将p，q等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．

18．已知命题：“xx|1x1，使等式xxm0成立”是真命题．

2（1）求实数m的取值集合M； （2）设不等式

xa20的解集为N，若xN是xM的必要不充分条件，求实

xa数a的取值范围． 【答案】（1）Mm|911（2）a或a． m2；

4442【解析】试题分析：（1）题中命题为真，说明方程xxm0在(1,1)上有解，即

mx2x在(1,1)上有解，因此只要求mx2x在(1,1)上的值域即可；（2）由充

分必要条件与集合的关系得MN且MN，因此可通过分类解不等式得集合N，再利用子集关系可求得a的范围．

试题解析：（1）由题意知，方程xxm0在1,1上有解，即m的取值范围就是

2函数yxx在1,1上的值域，易得Mm|21m2． 4（2）因为xN是xM的必要不充分条件，所以MN且MN 若MN，分以下几种情形研究；

①当a1时，解集N为空集，不满足题意，

②当a1时，a2a，此时集合Nx|2axa，

19992a则4解得a，且a时，MN，故a满足题意，

444a2③当a1时，a2a，此时集合Nx|ax2a，

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1a1则，解得． a442a2综上，a91或a时xN是xM的必要不充分条件． 44【考点】命题的真假，充分必要条件． 19．

x2已知椭圆G:y21.过点（m,0）作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点.

4（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.

【答案】（Ⅰ）焦点坐标为(3,0),(3,0).，离心率为ec3 a2（Ⅱ）. |AB|的最大值为2

【解析】试题分析：（1）先由椭圆的标准方程求出值，再利用求出值，

在圆上，即斜率不存

的关系，再联立

进而写出焦点坐标和离心率；（2）先讨论两种特殊情况（点

在的情况），再设出切线的点斜式方程，利用直线与圆相切得到与直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和弦长公式得到关于本不等式进行求解．

试题解析：（1）由已知得：a2,b1，所以ca2b23． 所以椭圆G的焦点坐标为(3,0)，(3,0)．

的关系式，再利用基

离心率为ec3． a2（2）由题意知：m1．

当m1时，切线l的方程为x1，点A，B的坐标分别为(1,此时AB3．

当m1时，同理可得AB3．

33)，(1,)， 22第 10 页 共 14 页

yk(xm)当m1时，设切线l的方程为yk(xm)．由{x24(14k2)x28k2mx4k2m240．

设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则

y12，得

8k2m4k2m2，x1x2． x1x22214k14k又由l与圆xy1相切，得22kmk211，即m2k2k21．

43mm32所以AB(x1x2)2(y1y2)2(1k2)[(x1x2)24x1x2]，

由于当m1时，AB3，

所以AB43mm32，m(,1][1,)．

因为

AB43mm234323，且当m3时，AB2， mm所以AB的最大值为2．

【考点】1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系．

【易错点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2）中，当斜率不存在时的直线，即切线l的方程为x1的情况．

20．设命题对任意实数，不等式点在轴上的双曲线．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题：“【答案】（1）

”为真命题，且“；（2）

.

”为假命题，求实数的取值范围．

恒成立；命题方程

表示焦

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【解析】试题分析：（1）由于双曲线焦点在轴上，所以等式

恒成立，等价于判别式为非正数，解得

，解得；（2）不

.若或真、且假，则

这两个命题一真一假.分别求出假真和真假时的取值范围，取并集得到的取值范围. 试题解析： （1）因为方程∴

，得

表示焦点在轴上的双曲线. ；∴当

时，为真命题，………………………3分

，∴

，

（2）∵不等式∴当∵

恒成立，∴

时，为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 为假命题，

为真命题，∴

一真一假；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

无解

①当真假

综上，的取值范围是

，②当假真

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性.

x2y21有相同焦点，且经过点(15,4). 21．双曲线与椭圆

2736（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.

y2x2251；x. 【答案】（1）（2）y5【解析】试题分析：（1）由题意知双曲线焦点为F1(0,3),F2(0,3)，设出双曲线的方程，代入点(15,4)的坐标，即可求解双曲线的标准方程；（2）由（1）得a2，c3，根据离心率的公式和渐近线方程形式，即可求解双曲线的离心率及渐近线方程. 试题解析：（1）由题意知双曲线焦点为F1(0,3),F2(0,3).

y2x21，点(15,4)在曲线上，代入得a24或a236可设双曲线方程为22a9a（舍），

y2x21. ∴双曲线的方程为

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（2）由（1）得a2，c3，∴双曲线的离心率ec3. a2渐近线方程：y25x. 5【考点】双曲线的标准方程及其简单的几何性质.

22．已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点A1,2为抛物线C上一点. （1）求C的方程；

（2）若点B1,2在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若kBPgkBQ2，求证:直线PQ过定点.

2【答案】（1）y4x或x21y； （2）证明见解析． 22【解析】【详解】试题分析：（1）当焦点在x轴时，设C的方程为x2py，当焦点在

y轴时，设C的方程为x22py，分别代入点A1,2，求得P的值，即可得到抛物

线的方程；（2）因为点1,2在C上，所以曲线

C的方程为y24x，设点Px1,y1,Qx2,y2，用直线与曲线方程联立，利用韦达定

理整理得到b32m，即可得到x3my2，判定直线过定点.

试题解析：（1）当焦点在x轴时，设C的方程为x2py，代人点A1,2得2p4，

2即y4x.当焦点在y轴时，设C的方程为x2py，代人点A1,2得2p221，即2x21y， 222综上可知：C的方程为y4x或x1y. 22（2）因为点B1,2在C上，所以曲线C的方程为y4x.

设点Px1,y1,Qx2,y2，

直线PQ:xmyb，显然m存在，联立方程有：

y24my4b0,16m2b,y1y24m,y1gy24b.QkBPgkBQ2,y12y2244g2,g2, x11x21y12y22即y1y22y1y2120,4b8m120即b32m.

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直线PQ:即x3my2,直线PQ过定点3,2.

【考点】抛物线的标准方程；直线过定点问题的判定. 【方法点晴】

本题主要考查了直线与圆锥曲线问题，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系，及韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.

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