2015-2016学年人教版八年级数学上同步教案第十四章数学活动.doc

数学活动

一、内容和内容解析 1．内容

十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律．

2．内容解析

本节课共有两个数学活动．这两个活动都是围绕两个两位数相乘的积的规律的探究．活动1是探究十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律，其规律是原十位数加上1再与自己相乘，结果后面接25；活动2是探究十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘的积的规律，其规律是十位数乘十位数加1作为结果的百位和千位，两个个位数相乘作为结果的个位和十位．这两个活动都是由非常简单的数学计算入手，让学生探究这些结果中所蕴涵的可以用符号表示的数学规律，需要学生观察、思考、分析、归纳出结果所存在的规律，并运用所学的整式乘法公式和因式分解知识进行推导证明．本章的数学活动是对所学的整式乘法公式和因式分解的实际应用和深化，通过数学活动进一步引导学生感受从特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程，使学生在探究、讨论、思考和相互交流中获得知识，培养能力，提高数学思维水平．

基于以上分析，确定本节课的教学重点：用符号表示并推导十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律，体会从特殊到一般的数学思想方法．

二、目标和目标解析 1．目标

(1)发现十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律，并会用这个规律进行相应的计算．

(2)经历探索数量关系、运用符号表示规律，验证规律的过程，培养学生观察、分析、推理的能力，体会化归思想和从特殊到一般的数学思想在运算中的价值．

2．目标解析

达成目标(1)的标志：学生通过十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的结果及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的结果，发现其结果与十位数字及个位数字之间的关系，能总结出规律，会用符号表示并推导规律，并能运用规律进行相关的

计算．

达成目标(2)的标志：学生在探究十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律的过程中，能够将数量之间的关系用字母和符号表示出来，同时进一步推广，得到三位数进行运算的数学规律．

三、教学问题诊断分析

1．在小学和七年级，学生已经学习了用字母代替数，列代数式表示现实世界中实际问题的数量关系，根据数量关系列方程和解方程，对整式具有了一定的感性认识．

2．整式中的字母表示数，整式的运算都是建立在数的运算的基础之上，通过对数与式运算的对比分析，使学生理解认识事物的过程是由特殊(具体)到一般(抽象)，又由一般(抽象)到特殊(具体)．整式的乘法与因式分解是一个互逆运算的过程．学生已经初步理解和掌握了整式的乘法与因式分解，并能熟练的进行运算，但运用整式乘法和因式分解表示数量关系和探究规律对学生来说，还有一定的困难．

本节课的教学难点：如何通过完全平方公式和因式分解验证十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律．

四、教学过程设计

(一)数学活动1：十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律 问题1 我们共同来进行一个简单的数学计算： 15×15＝ 25×25＝ 35×35＝ ……

设计意图：通过一个简单的数学计算引起学生的注意力，激发学生心中的疑问，自然过渡到下一个主题，规律探究的活动过程中．

问题2 观察上述每一个算式及结果，你能发现这些结果与算式本身具有什么样的关系吗？

(1)观察：通过结果发现个位数相乘的结果是25，就是这个两位数相乘所得结果的后 两位数．

追问1：除后两位数之外，那么结果中的百位数字或千位数字与两位数的十位上的数字 有什么关系呢？

引导再观察：

15×15＝225 2＝1×2 25×25＝625 6＝2×3 35×35＝1 225 12＝3×4

发现：原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果，就是写在25前的数字． (2)归纳：15×15＝1×2×100＋25＝225； 25×25＝2×3×100＋25＝625； 35×35＝3×4×100＋25＝1 225．

得出结论：原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果，再加上25，就是个位数 字为5的两位数的平方数的结果．

追问2：你能再举几个具有这样特征的例子，并用上述方法验证其正确性吗？ 45×45＝4×5×100＋25＝2 025； 55×55＝5×6×100＋25＝3 025； 95×95＝9×10×100＋25＝9 025．

(3)猜想：你能用所学的整式知识用符号表示出刚才得到的一般性的规律吗？ (10a＋5)(10a＋5)＝100a(a＋1)＋25．

(4)验证：你能根据本章所学习的知识推导出你所得到的规律吗？

解：设两位数的十位数字为a，个位数字为5，则这个两位数可以写为a5，表示成 10×a＋5．

所以(10×a＋5)×(10×a＋5)． ＝(10×a＋5)2

＝100a2＋2×10a×5＋52 ＝100a2＋100a＋25 ＝100a(a＋1)＋25．

(5)结论：观察上面的结果可以看出，a(a＋1)后再乘100，个位和十位数都是0，即相当于a(a＋1)的结果向左移了两位，后面再加25，实际上25对应的位刚好全是0，即相当于填补刚才左移空出的两位上．

于是得到计算规律是：原十位数加上1再与自己相乘，结果后面接25即可． 师生活动：教师提出问题，学生先思考，有疑问和争议时进行小组交流．教师鼓励学生运用整式乘法和因式分解的知识尝试解决问题，并及时引导学生进行总结归纳．学生积

极回答并展示验证规律的过程．若学生感到困难，教师可引导学生回答追问的问题．

设计意图：(1)通过探究引例，让学生经历观察、猜想、归纳、验证的学习过程，体会从特殊到一般的数学思想方法．(2)为学生提供探究的时间和空间，允许学生从不同的角度思考问题，并及时给予指导和肯定，让学生感受成功的喜悦；(3)通过探究活动，学生探索出十位数字相同，个位数字为5的两位数的平方数的规律，并知道解决问题的关键是运用所学过的完全平方公式．

(二)数学活动2：探究十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律 问题3 类比上道题探究规律的过程，继续计算下列两个数的积(这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10)，你还能发现有什么规律？你能尝试用本章所学的知识解释这个规律吗？

归纳：53×57＝5×6×100＋3×7＝3021 30＝5×6 21＝3×7 38×32＝3×4×100＋2×8＝1216 12＝3×4 16＝2×8 84×86＝8×9×100＋4×6＝7224 72＝8×9 24＝4×6 71×79＝7×8×100＋1×9＝5609 56＝7×8 9＝1×9

发现：前一项就是十位数乘十位数加一，后一项就是两个个位相乘．

得出规律：十位数乘十位数加1作为结果的百位和千位，两个个位数相乘作为结果的个位和十位．

用符号表示为：(10a＋b)(10a＋10－b)＝100a(a＋1)＋b(10－b)． 验证：

设十位为a，个位为b，则一个数为10a＋b，另一个为10a＋10－b， 两数相乘(10a＋b)[10a＋10－b]＝(10a＋b)[10(a＋1)－b]

＝10a×10(a＋1)－10ab×10(a＋1)－b2

＝100a(a＋1)＋b(10－b)．

师生活动：学生先思考，尝试解答并板书，然后进行小组交流，全班展示并评价，老师适时进行指导和点拨．

设计意图：通过教师提出的问题，引导学生根据上道题的探究过程进行类比学习，在经历探究与相互交流的过程中，在获得新知识与技能的同时，掌握基本的解题思想和方法，体会化归的数学思想方法．

(三)总结

问题4 回顾刚才探究规律的过程，请思考：数学活动1与数学活动2所得到的规律之间有什么相同的地方？

归纳：它们的计算规律在实质上是相同的．都属于十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘．结果都是十位数乘十位数加1作为结果的百位和千位，两个个位数相乘作为结果的个位和十位．但数学活动1是数学活动2的特殊形式，数学活动2是数学活动1的一般形式，它们都可以用活动2的规律统一表示．

师生活动：教师有针对性的提出问题，学生积极进行回顾，并观察、比较与分析，从而发现数学活动1与数学活动2之间内在的联系与区别．

设计意图：通过数学活动1和数学活动2的比较归纳，进一步促进学生理解和体会数学活动1和数学活动2之间的联系和区别，体会整式乘法运算在推导规律中的作用，感受知识之间的内在联系及相互转化，从而真正理解数学学习中从特殊到一般的数学思想方法．

(四)巩固练习

(1)利用刚才所学的规律计算下列算式的结果： 78×72＝ 93×97＝ 95×95＝ 85×85＝

设计意图：通过练习，训练学生运用所学的规律进行简便的运算，巩固学生所学的新知识和新方法，加深对规律的应用意识．

(2)拓展：

105×105＝ 114×116＝

设计意图：通过练习，进一步拓展了学生的视野，提升学生的数学思维能力，学会运用所学的基本知识和方法解决新问题，并进一步将规律推广，得到三位数进行运算的数学规律，有助于促进学生感受数学思想方法的价值所在．

(五)作业布置 观察下列等式： 12×231＝132×21； 13×341＝143×31； 23×352＝253×32； 34×473＝374×43； ……

以上每个等式中两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成的两位数与三位数之间具

有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．

(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： ①52×______＝______×25； ②_______×396＝693×_______．

(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b),并证明．

五、目标检测设计 观察下列几组数据：

第一组：3＝2×1＋1，4＝2×1×(1＋1)，5＝2×1×(1＋1)＋1； 第二组：5＝2×2＋1，12＝2×2×(2＋1)，13＝2×2×(2＋1)＋1； 第三组：7＝2×3＋1，24＝2×3×(3＋1)，25＝2×3×(3＋1)＋1； 第四组：9＝2×4＋1，40＝2×4×(4＋1)，41＝2×4×(4＋1)＋1； ……

观察以上各组数的组成特点，你能求出第七组数三个对应的数值吗？第n组呢？ 设计意图：考查学生发现一组数据存在的规律，并会用字母和符号来表示出规律，学会运用所学的基本思想和方法解决新问题的能力．