概率论与数理统计第6-7章(点估计)复习题

《概率论与数理统计》第六、七章（点估计）复习题解答

1. 设来自总体X的一个样本为(x1,x2,,x10)(2,1,2,3,1,4,4,1,3,4), (1) 求X, S2, B2; (2) 求经验分布函数F10(X)并作图; (3) 求总体期望E(X)

2. 设X1,X2是总体X~N(1,2)的样本，求概率P((X1X2)0.408).

3. 设X1,X2,,X5是总体X~N(0,)的样本，证明: Y

4. 设随机变量F~F(m,n), (1) 求F0.01(10,12),F0.99(10,12); (2) 当mn10时, 求常数c, 使概率P(Fc)0.05, 并把c用上分位点记号表示出来; (3) 当m15,n20时, 求概率P(F1.84).

1

2*, 方差D(X)2的矩估计值.

22X1X2X3~t(1).

3X4X5路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

5. 设总体X~N(5,2), (1) 从中随机抽取容量为25的样本，求样本均值X落在4.2到5.8之间的概率; (2) 样本容量n取多大时, 可使P(X5.8)0.95?

26. 设X1,X2,,X10是总体X~N(,4)的样本，S是样本方差, 且P(S222a)0.1, 求常数a.

7．设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布，即X~EXP(),0，未知. 现从中随机抽取5只进行

测试，得到它们的寿命（单位：小时）如下：518 612 713 388 434. 试求该厂晶体管平均寿命的最大似然估计值.

2x2, 0x8．设总体X的一个样本为(X1,X2,,Xn)，X的分布密度为f(x), 参数0，

 0, else未知. (1) 求的矩估计量; (2) 求矩估计量的方差; (3) 求的最大似然估计量.

2

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

9. 设总体X有期望E(X), 方差D(X)2, 但均未知. X1,X2,,Xn是取自总体X的样本,

221Xni1n1Xi, B2n21(XiX), Sn1i1n(Xi1niX)2. 试验证: X是的无偏估计, B2是2的渐

近无偏估计, 而S2是的无偏估计.

10．设X1,X2,,Xn是总体

X2的一个子样，E(X)，D(X)存在且未知，任意正的常数

nai(i1,2,,n)满足

i1nai1. 试证: (1) 估计量aXii1i总是的无偏估计；(2) 在上述无偏估计中

1nXXi 最有效，并写出此时的最小方差.

ni1

3

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 -

提示及参

y 1 1 0, x10.3, 1x20.7 *F10(X)0.5, 2x30.5 0.7, 3x40.3 1, x4 1. (1) 3, 4.6, 4.2; (2) 经验分布函数及其图形为 00 1 2 3 4 x

(3) 3, 4.2；(若记得教材第179页例3的结论, 也可以利用来直接求E(X)2, D(X)2的矩估计值.)

2. 0.25. 考虑一下: 此题如果不用分布, 而利用标准正态分布函数表, 该怎么求解? 3. 用到简单随机样本的概念、正态分布的性质、分布和t分布定义.

4. (1) 4.30, 0.21; (2) cF0.05(10,10)2.98; (3) 0.10. 5. (1) 0.908; (2) 取n17即可. 6. a26.1

23ˆˆˆ)7. 533. 8. (1) 矩估计量X；(2) D(; (3) 最大似然估计量为max{Xi}.

1in28n219. 从基本公式Xni1n1Xi, B2n1(XiX), Sn1i122n(Xi1niX)2出发, 求数学期望.

ˆˆ); (2) 求估计量10. (1) 验证E(i1naiXi的方差, 得到D(ˆ)2ai2, 再分析知当且仅当

i1nn111ˆ)2. ˆ)取得最小值，故XXi最有效. 此时, 最小方差为D(a1a2an时，D(nnni1

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