一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．2021的相反数是（ ） A．1202
B．﹣2021
C．
D．﹣
2． 如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．据央广网消息，近年来，数字贸易在国内创造了高达32000亿元的经济效益．将数据“32000亿”用科学记数法表示为（ ） A．3.2×1011
B．3.2×1012
C．32×1012
D．0.32×1013
4．如图是手提水果篮的几何体，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ） A．2a+3a＝5a2 C．a2•a3＝a6
B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 D．（a+2b）2＝a2+4b2
6．某体育用品商店对某一型号运动服9月份的销售情况的统计如图所示，店长决定下个月进该型号运动服时多进一些蓝色的，店长的这一决定主要参考销售数据中的（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
7．如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要铁皮（ ）
A．40πm2 B．30πm2 C．25πm2 D．20πm2
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若CD：DB＝3：5，则△ABC的面积为（ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
9．抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ） A．C．
+＝
＝﹣2
+2
B．D．
+＝
＝﹣2
+2
10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程
+A．7
＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
B．﹣14
C．28
D．﹣56
11．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝4，且∠GCE＝45°，则GE＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
12．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，E重合．点C，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，答案写在答题卡上）
13．分解因式：2a2﹣8ab+8b2＝ ．
14．如图，某小区有古树3棵，分别记作为M，N，P，若建立平面直角坐标系，将古树M，N用坐标分别表示为（1，1）和（2，4），则古树P用坐标表示为 ．
15．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，若∠1＝32°，则∠2＝ ．
16．在“抗疫”期间，某药店计划一次购进A、B两种型号的口罩共200盒，每盒A型口罩的销售利润为7.5元，每盒B型口罩的销售利润为10元，若要求B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元，则该药店在此次进货中获得的最大利润是 元．
17．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝4
；E是AB边上一点，将
△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，tan∠DCE的值为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，
连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③H为BF的中点；④CF＝DF．其中正确的有 ．（将所有正确结论的序号填在横线上）
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程写在答题卡上） 19．（1）计算：（
﹣1）0﹣（）﹣1+1﹣
）÷
|﹣2cos30°．
，其中x＝
+3．
（2）先化简，再求值：（x﹣1﹣
20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝Rt∠，对角线BD平分∠ABC，且BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBC；
（2）当∠ADB＝60°时，求∠DCE的度数．
21．“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下： 1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表 复习时间 1小时 2小时 3小时 4小时
频数（学生人数）
3 a 4 6
（1）统计表中a＝ ，该班女生一周复习时间的中位数为 小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为 °； （3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？ （4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或
者列表法求恰好选中B和D的概率．
22．周末时，小明和妈妈在小区对面的山上玩，回家走到E点时，在E点处测得楼顶A的仰角为53°，沿着坡度i＝1：2.4的山坡向下走了13米达到C处，再往前走了42米达到了B处，求小明家所住楼房的高度．（精确到米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m． （1）求反比例函数和直线PQ的解析式；
（2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求点M的坐标．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AC＝3，BC＝4，求BE的长；
（3）在（2）的条件下求tan∠EDB的值．
25．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．2021的相反数是（ ） A．1202
B．﹣2021
C．
D．﹣
【分析】绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．
解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数． 根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021． 故选：B．
2． 如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：B．
3．据央广网消息，近年来，数字贸易在国内创造了高达32000亿元的经济效益．将数据“32000亿”用科学记数法表示为（ ） A．3.2×1011
B．3.2×1012
C．32×1012
D．0.32×1013
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1．
解：32000亿＝3200000000000＝3.2×1012． 故选：B．
4．如图是手提水果篮的几何体，则它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段． 故选：B．
5．下列运算正确的是（ ） A．2a+3a＝5a2 C．a2•a3＝a6
B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 D．（a+2b）2＝a2+4b2
【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
解：A.2a+3a＝5a，故本选项不合题意； B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确； C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项不合题意． 故选：B．
6．某体育用品商店对某一型号运动服9月份的销售情况的统计如图所示，店长决定下个月进该型号运动服时多进一些蓝色的，店长的这一决定主要参考销售数据中的（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【分析】在决定本周进女装时多进一些蓝色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而蓝色上周销售量最大．
解：在决定本周进女装时多进一些蓝色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而蓝色上周销售量最大．
由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数． 故选：D．
7．如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要铁皮（ ）
A．40πm2 B．30πm2 C．25πm2 D．20πm2
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后把圆锥的侧面积乘以100即可．
解：根据题意，圆锥的侧面积为：×80π×50＝2000π（cm2），
所以100个这样的烟囱帽至少需要铁皮的面积为：100×2000πcm2＝20πm2． 故选：D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若CD：DB＝3：5，则△ABC的面积为（ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据题意求出AD、CD，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，
∵CD：DB＝3：5，AC＝16， ∴AD＝BD＝10，CD＝6， ∴AC＝AD+CD＝16， 由勾股定理得：BC＝
＝
＝8，
则S△ABC＝AC•BC＝×16×8＝64， 故选：D．
9．抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务．设原来每天生产x台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ） A．C．
+＝
＝﹣2
+2
B．D．
+＝
＝﹣2
+2
【分析】根据完成前一半所用时间+后一半所用时间＝原计划所用时间﹣2可列出方程． 解：设原来每天生产x台呼吸机， 根据题意可列方程：整理，得：故选：D．
10．若关于x的一元一次不等式组
的解集为x≤a；且关于y的分式方程
＝
+﹣2，
＝
﹣2，
+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．﹣14 C．28 D．﹣56
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可． 解：不等式组整理得：由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2，即3y＝a+2， 解得：y＝
，
，
由y为正整数解，且y≠2得到a＝1，7 1×7＝7， 故选：A．
11．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝4，且∠GCE＝45°，则GE＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】如图，将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△DCM，由“SAS”可证△CGE≌△CGM，可得EG＝MG，由勾股定理可求解．
解：如图，将△EBC绕点DC按顺时针方向旋转90°得到△DCM．
∵△EBC绕点DC按顺时针方向旋转90°得到△DCM ∴CE＝CM，∠ECM＝90°，∠B＝∠CDM＝90°， ∴∠CDM+∠CDG＝180°， ∴点G，点D，点M三点共线，
∵∠GCE＝45°， ∴∠GCM＝45°， ∴∠GCE＝∠GCM， ∴△CGE≌△CGM（SAS）， ∴EG＝MG； 设EG＝MG＝x，
∵BE＝DM＝4，AB＝BC＝12，
∴AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8，AM＝AD+DM＝12+4＝16， ∴AG＝AM﹣GM＝16﹣x．
在Rt△EAG中，由勾股定理得EA2+AG2＝EG2， 即82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， 则GE的长为10， 故选：B．
12．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，E重合．点C，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案． 解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形， ∴△GEJ为等边三角形． ∴GH＝
EJ＝
x， x2．
，且抛物线的开口向上．
∴y＝EJ•GH＝当x＝2时，y＝
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
y＝FJ•GH＝故选：A．
（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，答案写在答题卡上） 13．分解因式：2a2﹣8ab+8b2＝ 2（a﹣2b）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可． 解：原式＝2（a2﹣4ab+4b2）＝2（a﹣2b）2， 故答案为：2（a﹣2b）2
14．如图，某小区有古树3棵，分别记作为M，N，P，若建立平面直角坐标系，将古树M，N用坐标分别表示为（1，1）和（2，4），则古树P用坐标表示为 （4，3） ．
【分析】根据M与N的坐标建立平面直角坐标系，确定出P的坐标即可．
解：∵古树M，N用坐标分别表示为（1，1）和（2，4），如图建立平面直角坐标系，
则点P的坐标分别为（4，3）， 故答案为（4，3）．
15．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，若∠1＝32°，则∠2＝ 64° ．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到∠1＝∠AEG，再利用角平分线的性质推出∠AEF＝2∠1，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”就可求出∠2的度数． 解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEG． ∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEG， ∴∠AEF＝2∠1＝64°． ∴∠2＝64°． 故答案为：64°．
16．在“抗疫”期间，某药店计划一次购进A、B两种型号的口罩共200盒，每盒A型口罩的销售利润为7.5元，每盒B型口罩的销售利润为10元，若要求B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元，则该药店在此次进货中获得的最大利润是 1875 元．
【分析】设购进A型口罩x盒，则购进B型口罩（200﹣x）盒，根据“要求B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可得出可以取的各x值，再利用总利润＝每盒的销售利润×销售数量，可分别求出取各x值时获得的总利润，比较后即可得出结论．
解：设购进A型口罩x盒，则购进B型口罩（200﹣x）盒， 依题意得：解得：50≤x≤52， 又∵x为正整数， ∴x可以取50，51，52，
当x＝50时，该药店在此次进货中获得的利润是7.5×50+10×（200﹣50）＝1875（元）； 当x＝51时，该药店在此次进货中获得的利润是7.5×51+10×（200﹣51）＝1872.5（元）； 当x＝52时，该药店在此次进货中获得的利润是7.5×52+10×（200﹣52）＝1870（元）．∵1875＞1872.5＞1870，
∴该药店在此次进货中获得的最大利润是1875元． 故答案为：1875．
17．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝4
；E是AB边上一点，将
，
△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，tan∠DCE的值为
．
【分析】作CH⊥AB于H，EM⊥BC于M，因为∠B＝45°，BC＝4，所以BH＝CH
＝4，因为AC＝5，所以AH＝3，AB＝7，由题意，可得∠ACD＝∠D＝∠B＝45°，∠DCE＝∠BCE，
所以∠ACE＝∠AEC，即AE＝AC＝5，可得BE＝2，BM＝EM＝利用锐角三角函数定义即可得出tan∠DCE的值． 解：如图，作CH⊥AB于H，EM⊥BC于M， ∵∠B＝45°，BC＝4∴BH＝CH＝4， ∵AC＝5， ∴AH＝3，
∴AB＝AH+BH＝3+4＝7，
∵将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，且DE∥AC， ∴∠ACD＝∠D＝∠B＝45°，∠DCE＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BCE＝∠AEC， ∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣5＝2， ∴BM＝EM＝∵BC＝4∴MC＝∴tan∠DCE＝故答案为：．
，
，
．
，
，
，在Rt△CEM中，
18．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，
连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③H为BF的中点；④CF＝DF．其中正确的有 ①②③ ．（将所有正确结论的序号填在横线上）
【分析】设AB＝a，则AD＝a，用a表示出AE长度可判断①；证明DH＝DC即可说
明②；证明△DHF≌△EBH，可判断③；用含a是式子表示CF与DF，比较即可判断④．解：①设AB＝a，则AD＝∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∴BA＝BE． 在Rt△ABE中，AE＝∴AE＝AD，故①正确；
②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝∴DH＝AH＝a， ∴DH＝DC， ∴DE平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，故②正确； ③∵AH＝AB＝a， ∴∠ABH＝∠AHB， ∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠DFB＝180°， 又∠AHB+∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝∠HFD，∠HEB＝∠FDH＝45°， 在△DHF和△EBH中，
，
∴△DHF≌△EBH（AAS），
a，
a，
a，
∴BH＝HF，
∴点H是BF的中点，故③正确； ④∵△BHE≌△HFD， ∴HE＝DF＝AE﹣AH＝∴CF＝a﹣（∴CF＝
a﹣a，
a，
a﹣a）＝2a﹣
DF，故④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程写在答题卡上） 19．（1）计算：（
﹣
﹣1）0﹣（）1+1﹣
|﹣2cos30°．
，其中x＝
+3．
（2）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷
【分析】（1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义、绝对值的意义以及特殊锐角三角函数的值即可求出答案．
（2）先根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
解：（1）原式＝＝﹣1． （2）原式＝＝＝＝当原式＝1+2
． ，
时，
20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝Rt∠，对角线BD平分∠ABC，且BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBC；
（2）当∠ADB＝60°时，求∠DCE的度数．
【分析】（1）由“AAS”可证：△ABD≌△EBC； （2）由等腰三角形的性质可求∠BDC＝75°，即可求解． 【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝BC，∠A＝∠CEB＝90°， ∴△ABD≌△EBC（AAS） （2）∵∠ADB＝60°， ∴∠ABD＝30°， ∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，且BD＝BC， ∴∠BDC＝75°， ∵CE⊥BD， ∴∠CED＝90°， ∴∠DCE＝15°．
21．“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下： 1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表 复习时间 1小时 2小时 3小时
频数（学生人数）
3 a 4
4小时 6
（1）统计表中a＝ 7 ，该班女生一周复习时间的中位数为 2.5 小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为 72 °；（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？ （4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．
【分析】（1）由已知数据可得a的值，利用中位数的定义求解可得；
（2）先根据百分比之和等于1求出该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比，再乘以360°即可得；
（3）用总人数乘以样本中一周复习时间为4小时的学生所占比例即可得；
（4）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中B和D的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）由题意知a＝7，该班女生一周复习时间的中位数为故答案为：7，2.5；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比为1﹣（10%+20%+50%）＝20%，
∴该班男生一周复习时间为4小时所对应的圆心角的度数为360°×20%＝72°， 故答案为：72；
（3）估计一周复习时间为4小时的学生有600×答：估计一周复习时间为4小时的学生有144名． （4）画树状图得：
＝144（名）；
＝2.5（小时），
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中B和D的有2种结果， ∴恰好选中B和D的概率为P＝答：恰好选中B和D的概率为．
22．周末时，小明和妈妈在小区对面的山上玩，回家走到E点时，在E点处测得楼顶A的仰角为53°，沿着坡度i＝1：2.4的山坡向下走了13米达到C处，再往前走了42米达到了B处，求小明家所住楼房的高度．（精确到米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
＝．
【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于点F，作EH⊥AB于点H，根据坡度的概念求出EF、CH，根据正切的定义求出AH，计算即可．
解：过点E作EF⊥BC的延长线于点F，作EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵i＝EF：CF＝∴EF＝5米，CF＝12米，
，CE＝13米，
∴BH＝EF＝5米，HE＝BF＝BC+CF＝42+12＝54（米）， 在Rt△AHE中，∵∠HAE＝90°﹣53°＝37°， ∴AH＝
＝72（米），
∴AB＝AH+HB＝72+5＝77（米）． 答：小明家所住楼房的高度约为77米．
23．如图所示，直线y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点Q（4，a），点P（m，n）是反比例函数图象上一点，且n＝2m． （1）求反比例函数和直线PQ的解析式；
（2）若点M在x轴上，使得△PMQ的面积为3，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析，再利用反比例函数k的意义得P点的坐标，最后利用待定系数法得一次函数解析式；
（2）先求点A（6，0），再设M（a，0），根据S△PQM＝S△PAM﹣S△QAM且△PMQ的面积为3，列出方程，解方程可得问题的答案． 解：（1）∵直线∴∵
．
，
与反比例函数
的图象交于点Q（4，a），
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为
，
∵点P（m，n）是反比例函数图象上一点， ∴mn＝8，且n＝2m，m＞0， ∴m＝2，n＝4， ∴P（2，4），
设直线PQ的解析式为y＝cx+b， ∴解得
， ，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵直线PQ交x轴于点A， ∴令y＝0，﹣x+6＝0，得x＝6， ∴A（6，0）， 设M（a，0）， ∴AM＝|6﹣a|．
∵S△PQM＝S△PAM﹣S△QAM且△PMQ的面积为3， ∴
∴a＝3或a＝9，
∴点M的坐标为（3，0）或（9，0）．
，
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AC＝3，BC＝4，求BE的长； （3）在（2）的条件下求tan∠EDB的值．
DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，【分析】（1）连接OD，由AE为直径、根据AD平分∠CAB可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C＝90°即可得出∠ODB＝90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD＝r，则BO＝5﹣r，由OD∥AC可得出度．
（3）接着利用勾股定理计算BD＝，则CD＝，利用正切定义得tan∠CAD＝，然后证明∠CAD＝∠EDB，从而得到tan∠EDB的值． 【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．
，代入数据即可求出r值，再根据BE＝AB﹣AE即可求出BE的长
在Rt△ADE中，点O为AE的中心，
∴DO＝AO＝EO＝AE，
∴点D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO． 又∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAO， ∴∠ADO＝∠CAD， ∴AC∥DO． ∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC． 又∵OD为半径， ∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5．
设OD＝r，则BO＝5﹣r． ∵OD∥AC， ∴△BDO∽△BCA， ∴解得：r＝
，即，
，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣（3）解：∵OD＝
． ，OB＝
， ＝，
在Rt△ODB中，BD＝∴CD＝BC﹣BD＝，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝∵AE为直径， ∴∠ADE＝90°， ∴∠EDB+∠ADC＝90°， ∵∠CAD+∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠EDB， ∴tan∠EDB＝．
，
25．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连接PB、PC，可先求得直线BC的解析式，则可用t分别表示出E的坐标，从而可表示出PE的长，再可用t表示出△PBC的面积，再利用等积法可用t表示出h，利用二次函数的性质可求得h的最大值；
（3）分AM、CM和AC为对角线三种情况，分别根据菱形的性质可求得N点的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， ∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连接PB、PC，‘
∵B（3，0）、C（0，3）， ∴OB＝OC＝3，BC＝
设直线BC解析式为y＝kx+n，则 ∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∵点P的横坐标为t，且在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， ∴P（t，﹣t2+2t+3），
又∵PD⊥x轴于点D，交BC于点E， ∴D（t，0），E（t，﹣t+3），
∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝ PE•（ xB﹣xC ）＝ （﹣t2+3t）×3＝﹣ t2+ t， 又∵S△PBC＝ BC•PH＝×3 ∴
h＝﹣t2+t，
t2+
t（0＜t＜3），
•h＝
h， ，
，解得
，
∴h与t的函数关系式为：h＝﹣
∵
∴当t＝时，h有最大值为
（3）存在．
①若AM为菱形对角线，如图2，
；
，
则AM与CN互相垂直平分， ∴N（0，﹣3）；
②若CM为菱形对角线，如图3和图4，
则CN＝AM＝AC＝∴N（﹣
，3）或N（
， ，3）；
③若AC为菱形对角线，如图5，
则CN＝AM＝CM， 设M（m，0），
由CM2＝AM2，得m2+32＝（m+1）2， 解得m＝4，
∴CN＝AM＝CM＝5， ∴N（﹣5，3）．
综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：（0，﹣3）或（﹣
，3）或（
，3）或（﹣5，3）．
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