第３３卷第３期 ２００９年６月 南京理工大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖ０１．３３ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２００９ 基于磁传感器组合的高旋弹横滚角测量方法 李 玎 ，赵成刚 ，卜雄洙 （１．南京理工大学机械工程学院，江苏南京２１００９４；２．安阳工学院机械工程系，河南安阳４５５０００） 摘要：针对三轴磁传感器与加速度计组合对于弹体的姿态测量存在难以消除或补偿掉有害加 速度的问题，设计了一种磁传感器组合的布阵方式。两磁传感器成一定角度安装，并根据传感 器布阵方式提出了两种新的解算方法，即零交叉法和极值比值法，使之适用于有线加速度的载 体。推导了磁场在磁传感器敏感轴方向上的数学表达式，论证了两种解算方法并进行了数值仿 真，在此基础上比较了两种方法，并分析了其误差产生的原因。结果表明：两种方法均适用于高 转速弹体横滚姿态和转速的测量；与零交叉法相比，极值比值法获得的姿态角信息多且是单值 的，解算的姿态角更为准确且误差衰减较快，优于零交叉法。 关键词：传感器；磁性材料；弹丸；磁传感器组合；高转速弹体；横滚角；转速 中图分类号：ＴＪ ７６５．４ 文章编号：１００５—９８３０（２００９）０３—０３２０—０５ Ｒｏｌｌ Ａｎｇｌｅ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｈｉｇｈ－ｓｐｉｎｎｉｎｇ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｌｅ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｓｅｎｓｏｒｓ Ｕｎｉｔ ＬＩ Ｄｉｎｇ ，ＺＨＡＯ Ｃｈｅｎｇ—ｇａｎｇ ，ＢＵ Ｘｉｏｎｇ—ｚｈｕ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮＵＳＴ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ａｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ａｎｙａｎｇ ４５５０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ａｌｌｕｓｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｈａｒｍｆｕｌ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ａ ｔｈｒｅｅ—ａｘｉｓ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｅｎｓｏｒ ａｎｄ ａｃｃｅｌｅｒｏｍｅｔｅｒｓ ｏｎ ｐｒｏｊｅｃｔｉｌｅ ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ ａｔｔｉｔｕｄｅ ａｎｇｌｅｓ ｉｓ ｄｉｉｃｕｌｆｔ ｔｏ ｒｅｍｏｖｅ ｏｒ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅ， ａ ｎｅｗ ｓｃｈｅｍｅ ｃｏｍｐｒｉｓｉｎｇ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｅｎｓｏｒｓ ｉｎｓｔａｌｌｅｄ ｉｎ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｗａｙ ｉｓ ｄｅｓｉｇｎｅｄ．Ｔｗｏ ｎｏｖｅｌ ｃａｌｃｕ— ｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｃａｌｌｅｄ ｚｅｒｏ ｃｒｏｓｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｅｘｔｒｅｍｕｍ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ａｄｏｐｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｎｓｏｒｓ，ｍａｋｅ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｂｅ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｒｒｉｅｒ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｌｉｎｅａｒ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ａｘｉｓ ｏｆ ｓｅｎｓｏｒｓ ａｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ，ｔｈｅ ｔｗｏ ｎｏｖｅｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ａｎｄ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｗｏｒｋｅｄ ｏｕｔ．Ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ ａｘｉａｌ ａｎｇｕｌａｒ ｒａｔｅ ｃａｎ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｚｅｒｏ ｃｒｏｓｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｅｘｔｒｅｍｕｍ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｂｅｔｔｅｒ，ｂｅｃａｕｓｅ ｍｏｒｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｉｎｇｌｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａｔｔｉｔｕｄｅ ａｎｇｌｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ａｔｔｉｔｕｄｅ ａｎｇｌｅｓ ａｒｅ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅ，ａｎｄ ｔｈｅ ｅｌＴＯｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｎｇｌｅｓ ａｒｅ ｄｅｃａｙｅｄ ｆａｓｔｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｅｎｓｏｒｓ；ｍａｇｎｅｔｉｃ ｍａｔｅｒｉａｌｓ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｌｅｓ；ｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｅｎｓｏｒｓ ｕｎｉｔ；ｈｉｇｈ—ｓｐｉｎｎｉｎｇ ｐｒｏｊｅｃ— ｔｉｌｅｓ；ｒｏｌｌ ａｎｇｌｅｓ；ｓｐｉｎ ｒａｔｅｓ 收稿日期：２００８—０３—０３ 修回日期：２００９—０３—２６ 作者简介：李玎（１９８２一），女，博士生，主要研究方向：动态测试技术，Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｄｉｎｇ＿ｌ１２＠ｓｉｎａ．ｃｏｒｎ；通讯作者：卜 雄洙（１９６６一），男，教授，博士生导师，主要研究方向：动态信号处理与分析，Ｅ－ｍａｉｌ：ｂｕｘｕｌ０５＠ｍａｉｌ． ｎｊｕｓｔ．ｅｄｕ．ａｎ。 总第１６６期 李玎赵成刚 卜雄洙基于磁传感器组合的高旋弹横滚角测量方法 ＭｓＭＩ ＣＯＳＯ＂ ｃｏｓ￣，ｃｏｓＡ～ ２＝Ｉ３２１ 针对目前惯性传感器量程有限，无法用于高 转速弹体轴向角速度测量，以及测量误差随时问 ＩＭＩ ｃｏｓｔｒｍｓｉｎ０ｃｏｓ￣ｐ ｓｉｎＡ＋ＩＭＩ ｓｉｎｏ－．，ｓｉｎ￣ ｓｉｎＡ 严重发散…的缺点，本文探讨了采用磁传感器组 合的方式测量高转速弹体姿态及转速。磁传感器 具有测量范围宽、稳定性高、无漂移、抗干扰能力 强、体积小、成本低 等许多优点，被广泛应用于 高速旋转弹体上。 由于研究的是弹丸出炮口附近的飞行姿态，弹 Ｄ （２） 式中： 表示偏航角， 表示横滚角。 Ｄ投 （Ⅳ） （ ０ 道倾角保持不变 ，即可近似认为弹体运动方向与 地磁场矢量方向的夹角为常量。尽管地磁场会随 地区和时间变化而变化，即具有长期变化性与地区 差异性，但这些变化都是规则的、可知的 。除了 少数地区异常之外，在给出 个确定的地点时，地 球磁场变化在弹体飞行的全过程内是可以忽略 的 Ｊ。在本文中，利用两传感器某些特征值的比值 变化来解算弹体姿态角，进而确定其横滚角速率。 本文采取了使磁传感器敏感轴与弹轴成一定夹角 的安装方式，当弹体绕弹轴旋转时，地磁场强度矢 量在传感器敏感轴上的分量是按正弦规律变化的， 通过进一步解算传感器输出的某些特征值的比值 的变化可知弹体的横滚姿态变化。 １磁传感器的安装 ，Ｍｘ＝ＩＭｌ ＣＯＳＯ＂ ｛ ＝０ 【 ＝ＩＭＩ ｓｉｎｏ＂ ｚ ） ｚ（Ｄ） （ａ）安装角示意图 （ｂ）姿态角示意图 图１ 地理坐标系、载体坐标系与磁传感器 安装及姿态角示意图 ２范围的确定 由式（１）、（２）可以看出，当传感器输出为零 时，姿态角计算与地磁场强度无关，并且求解时只 进行标量计算。因此为了使 ，有过零点，定义 了该系统能正常工作时的 范围，这个使用范 围叫做“ＭＡＧＳＯＮＤＥ ｗｉｎｄｏｗ”［ ，分两种情况 讨论。 （１）偏航角 ＝０。或１８０。 对于传感器ｓ ，由式（１）可知 Ｍ５，＝ＩＭＩ ｓｉｎｏ－ ｓｉｎｑ￣ （３） 当Ｍｓ，＝０时，ｓｉｎｏ－ ：０或ｓｉｎｑ￣。＝０。当ｓｉｎｔｒ ＝０ 时，ｏｒ ＝ｏ或１８０。，Ｍｓ．输出为常值；而当ｓｉｎｇａ ：０ 且 ≠０。或１８０。时， ＝ＯＯ或１８０。。 对于传感器５ ，由式（２）可知 Ｍｓ．：４－Ｉ Ｉ ＣＯＳＯ＂ ｃｏｓｈ＋Ｉ Ｉ ｓｉｎ（￣ ｓｉｎｑ￣ ｓｉｎｈ （４） 当Ｍｓ ＝０时 ｓｌ’ ｎｑ￣ ＣＯＳＯ＂：＋－＋—－——＿—■ ＿ｍＣＯＳ￣—＿＿（５）Ｌ） ｓｌｎｏ＂ ｓｉｎ＾ 由于ｌ ｓｉｎ ｌ≤１，则ｌ ｌ千 Ｃｓｌｎｏ＇￣ｓｉｎＡ ｌＯＳＯ＇ｍＣＯＳ￣ｌ ≤１，可以推出 ９０。一Ａ≤ ≤９０。＋Ａ。 （２）偏航角 ≠０。或１８０。 由式（１）知，当Ｍｓ，＝０时 ｔａｎｑ￣。＝ｓｉｎ０ｃｏｔｔｒ （６） 由于 ≠Ｏ。或１８０。，对于 的取值范围没有 限制即无论 取何值，传感器都可以正常工作 ３２２ 南京理工大学学报（自然科学版） 第３３卷第３期 且当 ＝４－，ｒｒ／２时， ＝ＯＯ或１８０。。 由式（２）知，当Ｍ ＝０时 ｓｉｎ（（ 一）＝——— ～一０）：— ＾ ｔａＴ（２）速度矢量始终在射击面内ｌ３］，即偏航角 不变； ｔａｎＯ： ＝ （３）相比横滚角速率，ｏｒ 随时间变化缓慢。 ３．１输出曲线特征值的比值与 的关系曲线 ３．１．１零交叉法相位信息比值与 线的证明与分析 √ ｎ ｏ ｒ面ｓ＋ ‘ｉｎ 协 ｍ” （７） 的关系曲 —ｃｌｏｓＯｃｏｔＡ ｌ 卣于 【Ｊ ２ｌ ≠０。或１８０。时，当Ｍｓ．＝０且ｏｒ ≠０。或１８０。 １≤ １，可以推出ｌ ｃｏｓ ｃ０ｓ Ｉ≤ｌ ｓｉｎＡ ｌ，一般Ａ＜ ９０。。若ｓｉｎＡ≥Ｉ ｃ０ｓ ｌ，则 ∈［０。，１８０。］；若 ｓｉｎＡ＜Ｉ ｅ。ｓ Ｉ，则ａｒｃｃ。ｓ（丁 三参Ｔ）≤ ＜ 一 ， ｓｉｎＡ、 盯∞∞Ｉ一面Ｊ。 高转速弹体飞行过程中，速度矢量始终在射 击面内，偏航角不变 ］。由上文可以看出，对于 固定的Ａ和固定的 ，横滚角 依赖于ｏｒ 的变 化。图２、３分别表示两个传感器在ｏｒ ＝４５。、 ＝ ０。和 ＝３０。时的输出Ｍｓ，ｉ：１，２。 １．２ ０．８ ０．４ ０ 、√ 一Ｏ・４ 一 Ｖ ＼、Ｖ 。 ／， 一Ｏ．８ Ｏ ２００ ４ｏｏ ６００ ８００ ，（ｏ） 图２ ＝０。时两磁传感器的输出 ，（ｏ） 图３ ＝３０。时两磁传感器的输出 ３ 高转速弹体横滚姿态及转速的解 算与仿真 根据高转速弹体的飞行姿态变化特点，以下 两种方法的理论基础都是在如下假设下进行的： （１）在高转速弹体旋转一周内横滚角速率近 似不变； 时，由式（３）可知， ＝０。或１８０。；当Ｍｓ．：０时， 由式（５）可知，Ａ固定已知， 转过的角度与ｏｒ 有关。设在 旋转一周内，Ｍ ．：０时 。的值为 １Ａ、 １Ｂ，Ｍｓ＝，０时 ２的值为 ｓ２Ａ、 ｓ２Ｂ（如图２ 所示）。当弹体转速很高且 随时间变化缓慢 时，在弹体旋转一周内可认为 不变，则可认为 比值Ｒ＝（ 一 ）／（ １ 一 ）在旋转一周内 近似不变，且与 成对应关系，其详细证明见文 献［８］。 ＝ｏ或１８０。且Ｍｓ．＝０，Ｍ ，＝０时，由式 （６）、（７）可得，Ａ、 固定且已知，两零点之间 转过的角度取决于 ，据此可做出尺相对于ｏｒ 的曲线。 当 ＝０。或１８０。时，ｏｒ ∈［０。，１８０。］，由式 （３）、（４）可知，每对应一个 ， 旋转一周时， 影响Ｍ ，上下移动使得比值Ｒ与ｏｒ 成对应 关系。 当 ≠０。或１８０。时，由式（１）、（２）可知 Ｍｓ＝．ｌ １．ＣＯＳ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ・ｓｉｎ（ 一 ） （８） Ｍｓ＝，ｌＭＩ ｃｏｓｑ，ｃｏｓＡｃｏｓｏ＂ ＋ｌＭＩ ｓｉｎＡ・ Ｃ０Ｓ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ・ｓｉｎ（ 一０） （９） 式中：ｔａｎＯ＝ｓｉｎ￣Ｏ／ｔａｎｏ－ 。 由式（８）、（９）可以看出， 使 ，上下移动 使得比值 与 成对应关系，且ｏｒ 影响 ，、 左右平移且移动相同，使得Ｒ与 的关系不 受影响，在Ａ， 不变的情况下，比值Ｒ仍只与ｏｒ 有关。在 定义域内，曲线上下平移过程中会 出现比值相同的情况，此时可根据Ｍｓ．＝０时， ． 的值判断ｏｒ ，Ｍｓ，＜０， Ｅ［０。，１８０。］；Ｍｓ２＞０， ∈［９０。，１８０。］。 ３．１．２极值比值法中极值信息比值与ｏｒ 关系 曲线的证明与分析 在载体横滚一周内，传感器输出的最大值之 比与最小值之比与 存在固定关系，由此可以 根据实际传感器的输出解算 。下面证明两传 总第１６６期 李 玎赵成刚 卜雄洙 基于磁传感器组合的高旋弹横滚角测量方法 ３２３ 感器输出的最大值、最小值的比值与 成一一 对应关系。 当 ，、 取得最大值、最小值时，即ｄ Ｓｌ／ ｄｔ＝０，则 ＣＯＳＯ＂ ｓｉｎ￣ｂｓｉｍｐ ＋ｓｉｎｔｙ ｃｏｓｔｐ ＝０ （１０） ｄＭ ／ｄｔ，则 ＣＯＳＯ＂ ｓｉｎＯｓｉｎｑ￣ ＋ｓｉｎｏ＂ ｃｏｓｑ￣ ＝０ （１ １） 式（１Ｏ）、（１１）表明在同一时刻，ｏｒｍ、 相同， ，、Ｍ 同时取得最大最小值。当传感器输出出 现最大最小值时，ｏｒ 满足式（１１），结合式 （１１）可求出两传感器输出最大值的比值和输出 最小值的比值如式（１２）、（１３）所示 瓮－ｓｉ 、 ｃｏｓＯｃｏｓＡ ＣＯＳＯ＂ （１２） Ｍｓ２ｍｉｎ＝ｓｉｎＡｃ ｏｓＯｃ ｏｓＡＣＯＳＯ＂ｍ 一 （１３） 两种方法所求得的比值Ｒ与ｏｒ 的关系如图４、５ 所示。 ａＪ（。） 图４ Ａ＝６０。和Ａ＝４５。， ＝３０。时零交叉法的 比值与ｏｒ 的关系 图５ Ａ＝６０。， ＝３０。时极值比值法的比值 与 的关系 实际传感器输出时，每个时刻的 ｍ、 、 都 在发生变化，可利用零交叉法和极值比值法从输 出中求出两个磁传感器的特征值的比值尺，根据 比值在做出的关系曲线中求出该时刻所对应的 ｏｒ ，代入式（６）求出此时的 ，进而可求得横滚角 速率。 ３．２解算方法的仿真计算与误差分析 根据以上介绍的解算方法按如下条件进行了 仿真：ｏｒ 在９０。±５。范围内变化且幅度随时间减 小，变化频率为２ Ｈｚ；￡ｆｒ在３０。±３。内变化，变化频 率为ｌ０ Ｈｚ；转速为２０ ｒ／ｓ且以１ ｒ／ｓ的速度减至 １５ ｒ／ｓ。磁传感器噪声为均值为零、均方根为 １０ Ｇ的随机白噪声。两种方法所求得的 误 差（Ｅｏ＂ ）曲线、 误差（ ）曲线如图６、７所示。 ｏ．４ ｏ．２ 一０ 晶一ｏ．２ －０．４ ０ １ ２ ３ ４ ５ ｔ／ｓ （ａ 误差 ．１ ／、＼ ０．１５ ０．０５ 一０．０５ Ｏ １ ２ ３ ４ ５ ｔ／ｓ （ａ 误差 喜 ０．３ ３２４ 南京理工大学学报（自然科学版） 第３３卷第３期 中，采用了在比值 与ｏｒ 的关系曲线中插值的 方法，引入了误差。由此在利用式（６）求解 时 导致了 误差，但对于高转速弹体来说，本方案 仍不失为一种横滚姿态测试的有效方法。 ３．３零交叉法与极值比值法的比较 从两种方法的比较来看，两种方法都是利用 传感器输出的特征值比值与ｏｒ 成固定关系来解 算姿态角的。极值比值法与零交叉法相比，具有 以下几个方面的优势：零交叉法在弹体旋转一周 内只计算出了一个ｏｒ ，而极值比值法利用极大极 小值的比值方法可以获得比零交叉法多一倍的 ，相当于ｏｒ 的采样频率提高；零交叉法在周期 曲线上过零点判读的精度低于极值比值法峰值判 读的精度；零交叉法使用的是原始数据 的差 值，故 的误差会影响ｏｒ 的计算误差，而极值比 值法只比较峰值，故与 没有直接关系；零交叉 法的计算结果是二值的，需要通过其中一个磁传 感器的输出来判断ｏｒ 的取值，而极值比值法可 得到唯一值。由此可见，极值比值法求解的ｏｒ 和 的精度比零交叉法要高。ｏｒｍ、 变化相同的 条件下，转速越高，则相同时间内零点越多，计算 ｒｏ 也越准确，由此求解的横滚角 和横滚角速 率的精度也随之提高。 ４结束语 本文提出了一种磁传感器的组合，其由两个 磁传感器成一定角度安装，用来测量高转速弹体 的横滚姿态和转速。探讨了两种不同的解算方 法，即利用零交叉时两磁传感器输出的相位信息 确定姿态，和利用两磁传感器输出的极值信息确 定姿态，并结合仿真比较了两种方法的不同之处。 与零交叉法相比，极值比值法可获得单值的、数量 更多的姿态角，且解算精度较高。这种磁传感器 组合的布阵方式及解算方法使得只借助磁传感器 解算姿态成为可能，其优点如下：无需知道地磁场 强度的大小，在横滚姿态测量中只有标量计算，不 受天气、光线的影响。 参考文献： ［１］周百令，黄胜华，王寿荣，等．一种新型的单陀螺多 加速度计捷联惯导系统［Ｊ］．中国惯性技术学报， ２００２，１０（１）：６—９． ［２］ 晏登洋，任建新，宋永军．惯性／地磁组合导航技术 研究［Ｊ］．机械与电子，２００７（１）：１９—２２． ［３］杜振宇，石庚辰．弹体飞行姿态测量方法探讨［Ｊ］． 探测与控制学报，２００２，２４（１）：５３—５６． ［４］ 孙磊．火箭弹引信二维弹道修正原理与关键技术 研究［Ｄ］．南京：南京理工大学机械工程学院， ２０ｏ５．６２—７３． ［５］饶高敏．磁探测在弹道修正弹中的应用［Ｄ］．南 京：南京理工大学机械工程学院，２００７．７—２１． ［６］Ｈｅｐｎｅｒ Ｄ，Ｈａｒｋｉｎｓ Ｔ．Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ｉｎｅｒｔｉａｌ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｐｉｎｎｉｎｇ ｂｏｄｙ ｗｉｔｈ ｂｏｄｙ—ｉｆｘｅｄ ｓｅｎｓｏｒｓ［Ｒ］．ＡＲＬ・ ＴＲ－２３１３，２００１．７—１１． ［７］Ｔｈｏｍｐｓｏｎ Ａ Ａ．Ａ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｃａｌｉｂｒａｔｉｎｇ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｅｎｓｏｒｓ［Ｒ］．ＡＲＬ—ＭＲ一５２４，２００２．１—２． ［８］Ｈａｒｋｉｎｓ Ｔ Ｊ，Ｈｅｐｎｅｒ Ｄ Ｊ．Ｍａｇｓｏｎｄｅ（ｐａｔｅｎｔ ｐｅｎｄ— ｉｎｇ）：Ａ ｄｅｖｉｃｅ ｆｏｒ ｍａｋｉｎｇ ａｎｇｕｌａｒ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｏｎ ｓｐｉｎｎｉｎｇ ｐｒｏｊｅｃｔｉｌｅｓ ｕｓｉｎｇ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｅｎｓｏｒｓ［Ａ］．Ｐｒｏ— ｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＳＰＩＥ ｉｎ Ａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ，Ｔｒａｃｋｉｎｇ，ａｎｄ Ｐｏｉｎｔ・ ｉｎｇ ＸＩＶ［Ｃ］．Ｏｒｌａｎｄｏ，ＦＬ，ＵＳＡ：ＳＰＩＥ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｌｉ— ｂｒａｒｙ．２０００．６０—６７．
