2019年高考物理双基突破：专题33-电磁感应中的“双杆”模型(精讲)(含解析)

一、电磁感应中的“双杆”模型

1．模型分类

双杆类题目可分为两种情况：一类是“一动一静”，即“假双杆”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡。另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减。

2．分析方法

通过受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态。对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。

题型一、一杆静止，一杆运动

【题1】如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒a、b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面。现用一平行于导轨的恒力F作用在a的中点，使其向上运动。若b始终保持静止，则它所受摩擦力可能

A．变为0 C．等于F 【答案】AB

B．先减小后不变 D．先增大再减小

【题2】如图所示，两条平行的金属导轨相距L＝1 m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。金属棒MN和PQ的质量均为m＝0.2 kg，电阻分别为RMN＝1 Ω和RPQ＝2 Ω。MN置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且

接触良好。从t＝0时刻起，MN棒在水平外力F1的作用下由静止开始以a＝1 m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F2作用下保持静止状态。t＝3 s时，PQ棒消耗的电功率为8 W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN始终在水平导轨上运动。求：

: ]

（1）磁感应强度B的大小；

（2）t＝0～3 s时间内通过MN棒的电荷量； （3）求t＝6 s时F2的大小和方向；

（4）若改变F1的作用规律，使MN棒的运动速度v与位移 x满足关系：v＝0.4x，PQ棒仍然静止在倾斜轨道上。求MN棒从静止开始到x＝5 m的过程中，系统产生的热量。

20【答案】（1）2 T （2）3 C （3）5.2 N 方向沿斜面向下 （4） J

3

EΔΦΔΦ

（2）E＝ q＝Δt＝

ΔtRMN＋RPQRMN＋RPQ代入数据可得：q＝3 C

（3）当t＝6 s时，设MN的速度为v2，则v2＝at＝6 m/s E2

E2＝BLv2＝12 V I2＝＝4 A F安＝BI2L＝8 N

RMN＋RPQ

规定沿斜面向上为正方向，对PQ进行受力分析可得：F2＋F安cos 37°＝mgsin 37° 代入数据得：F2＝－5.2 N（负号说明力的方向沿斜面向下）

（4）MN棒做变加速直线运动，当x＝5 m时，v＝0.4x＝0.4×5 m/s＝2 m/s 因为速度v与位移x成正比，所以电流I、安培力也与位移x成正比， 1BLv20安培力做功W安＝－BL··x＝－ J

2RMN＋RPQ320

Q＝－W安＝ J。

3

【题6】如图所示，光滑平行的金属导轨宽度为L，与水平方向成θ角倾斜固定，导轨之间充满了垂直于导轨平面的足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨上垂直导轨放置着质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b，

二者都被垂直于导轨的挡板挡住保持静止，金属导轨电阻不计，现对b棒施加一垂直于棒且平行于导轨平面向上的牵引力F，并在极短的时间内将牵引力的功率从零调为恒定的P。为了使a棒沿导轨向上运动，P的取值可能为（重力加速度为g）

A． B．

C．

【答案】CD

D．

题型三、不在同一直线上

【题7】如图所示，两根质量同为m、电阻同为R、长度同为l的导体棒，用两条等长的、质量和电阻均可忽略的长直导线连接后，放在距地面足够高的光滑绝缘水平桌面上，两根导体棒均与桌边缘平行，一根在桌面上。另一根移动到靠在桌子的光滑绝缘侧面上。整个空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度为B。开始时两棒静止，自由释放后开始运动。已知两条导线除桌边缘拐弯处外其余部位均处于伸直状态，导线与桌子侧棱间无摩擦。求：

（1）刚释放时，导体棒的加速度大小； （2）导体棒运动稳定时的速度大小；

（3）若从开始下滑到刚稳定时通过横截面的电荷量为q。求该过程中系统产生的焦耳热。 12mgR2mgqR4m3g2R2

【答案】（1）g （2）22 （3）－44

2BlBlBl【解析】（1）刚释放时，设细线中拉力为FT 对a棒：mg－FT＝ma

对b棒：FT＝ma 1

解得：a＝g

2

（2）导体棒运动稳定时，设细线中拉力为FT′ 对b棒：FT′＝0 对a棒：mg＝F安 B2l2v

又F安＝BIl＝

2R2mgR

解得：v＝22

Bl

（3）从开始下滑到刚稳定，设a棒下降的高度为h ΔΦBlh

则通过横截面的电荷量q＝I·Δt＝＝

2R2R

1

由能量守恒定律得：系统产生的焦耳热Q＝mgh－×2mv2

22mgqR4m3g2R2

解得：Q＝－44。

BlBl

【题8】（多选）如图所示，水平传送带带动两金属杆匀速向右运动，传送带右侧与两光滑平行金属导轨平滑连接，导轨与水平面间夹角为30°，两虚线EF、GH之间有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场宽度为L，两金属杆的长度和两导轨的间距均为d，两金属杆a、b的质量均为m，两杆与导轨接触良好。当金属杆a进入磁场后恰好做匀速直线运动，当金属杆a离开磁场时，金属杆b恰好进入磁场，则

A．金属杆b进入磁场后做加速运动 B．金属杆b进入磁场后做匀速运动

mgL

C．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为

2D．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL 【答案】BD

B项

正确；两杆穿过磁场的过程中都做匀速运动，根据能量守恒定律得，回路中产生的总热量为Q＝2×mgsin 30°·L＝mgL，故C项错误，D项正确。

二、电磁感应中“闭合线框”模型

闭合线框从不同高度穿越磁场时，可能做匀速直线运动、加速运动、减速运动，或先后多种运动形式交替出现。

线框进入磁场和离开磁场的过程和单杆的运动情况相同，在磁场中运动的过程与双杆的运动情况相同。 解决此类问题的三种思路：

1．运动分析：分析线圈进磁场时安培力与重力的大小关系，判断其运动性质。 2．过程分析：分阶段（进磁场前、进入过程、在磁场内、出磁场过程）分析。 3．功能关系分析：必要时利用功能关系列方程求解。

题型一、竖直面内的“闭合线框”

【题9】如图甲所示，在竖直方向上有四条间距相等的水平虚线L1、L2、L3、L4，在L1L2之间、L3L4之间存在匀强磁场，大小均为1 T，方向垂直于虚线所在平面。现有一矩形线圈abcd，宽度cd＝L＝0.5 m，质量为0.1 kg，电阻为2 Ω，将其从图示位置静止释放（cd边与L1重合），速度随时间的变化关系如图乙所示，t1时刻cd边与L2重合，t2时刻ab边与L3重合，t3时刻ab边与L4重合，已知t1～t2的时间间隔为0.6 s，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向。（重力加速度g取10 m/s2）则

A．在0～t1时间内，通过线圈的电荷量为0.25 C

B．线圈匀速运动的速度大小为8 m/s C．线圈的长度为1 m

D．0～t3时间内，线圈产生的热量为4.2 J

【答案】AB

得：

1ΔΦBdLQ＝mg·5d－mv2＝＝0.25 C，选项A正确。 2＝1.8 J，选项D错误.0～t1时间内，通过线圈的电荷量为q＝2RR

【题10】（多选）如图所示，边长为L、电阻不计的n匝正方形金属线框位于竖直平面内，连接的小灯泡的额定功率、额定电压分别为P、U，线框及小灯泡的总质量为m，在线框的下方有一匀强磁场区域，区域宽度为l，

磁感应强度方向与线框平面垂直，其上、下边界与线框底边均水平。线框从图示位置开始静止下落，穿越磁场的过程中，小灯泡始终正常发光。则

A．有界磁场宽度lB．磁场的磁感应强度应为

nPL

P

C．线框匀速穿越磁场，速度恒为

mg

D．线框穿越磁场的过程中，灯泡产生的焦耳热为mgL 【答案】BC

【题11】如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个闭合线圈Ⅰ、Ⅱ分别用同种导线绕制而成，其中Ⅰ为边长为L的正方形，Ⅱ是长2L、宽为L的矩形，将两个线圈同时从图示位置由静止释放。线圈下边进入磁场时，Ⅰ立即做了一段时间的匀速运动，已知两线圈在整个下落过程中，下边始终平行于磁场上边界，不计空气阻力，则

A．下边进入磁场时，Ⅱ也立即做匀速运动

B．从下边进入磁场开始的一段时间内，线圈Ⅱ做加速度不断减小的加速运动 C．从下边进入磁场开始的一段时间内，线圈Ⅱ做加速度不断减小的减速运动 D．线圈Ⅱ先到达地面

【答案】C

题型二、水平面内的“闭合线框”

【题12】如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则

A．Q1＞Q2，q1＝q2 C．Q1＝Q2，q1＝q2 【答案】A

ΔΦ

【解析】由法拉第电磁感应定律得：E＝①

Δt

B．Q1＞Q2，q1＞q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2

E

I＝② q＝IΔt③ RΔΦ由①②③得：q＝

R所以q1＝q2

B2lab 2vB2lbc 2v

由Q＝|W安|＝BIl·x得Q1＝·lbc，Q2＝·lab

RR又因lab＞lbc

所以Q1＞Q2，所以选项A正确。

【题13】如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合金属线框abcd，其边长为l、质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ，虚线框a′b′c′d′内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的d′c′边重合。现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场区域的d′c′边距离为l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为

12A．mv0＋μmgl

21C．mv2＋2μmgl

20【答案】D

1B．mv2－μmgl

2012D．mv0－2μmgl

2

【题14】如右图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框abcd，其边长为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ。虚线框a′b′c′d′内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的d′c′边重合。现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场区域的d′c′边距离为l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为

12A．mv0＋μmgl

21C．mv2＋2μmgl

20【答案】D

1B．mv2－μmgl

2012D．mv0－2μmgl

2

题型三、斜面内的“闭合线框”

【题15】（多选）在倾角为θ足够长的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，磁场方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L，如图所示。一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形线框，在t＝0时刻以速度v0进入磁场，恰好做匀速直线运动，若经过时间t0，线框ab边到达gg′与ff′中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则下列说法正确的是

A．当ab边刚越过ff′时，线框加速度的大小为gsin θ v0

B．t0时刻线框匀速运动的速度为

4

3152

C．t0时间内线框中产生的焦耳热为mgLsin θ＋mv

2320D．离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动 【答案】BC

EB2L2v0

【解析】当ab边进入磁场时，有E＝BLv0，I＝，mgsin θ＝BIL，有＝mgsin θ.当ab边刚越过ff′时，线

RR4B2L2 v0

框的感应电动势和电流均加倍，则线框做减速运动，有＝4mgsin θ，加速度向上大小为3gsin θ，A错误；

R4B2L2vv0

t0时刻线框匀速运动的速度为v，则有＝mgsin θ，解得v＝，B正确；线框从进入磁场到再次做匀速运动

R433mgLsin θmv0 2mv2

的过程，沿斜面向下运动距离为L，则由功能关系得线框中产生的焦耳热为Q＝＋（－）＝

22223mgLsin θ15mv0 2

＋，C正确；线框离开磁场时做加速运动，D错误。 232

【题16】如图所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°角，在斜面上虚线aa′和bb′与斜面底边平行，在aa′、b′b围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B＝1 T；现有一质量为m＝10 g、总电阻为R＝1 Ω、边长为d＝0.1 m的正方形金属线圈MNPQ，让PQ边与斜面底边平行，从斜面上端静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场。已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，（取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：

（1）线圈进入磁场区域时，受到的安培力大小； （2）线圈释放时，PQ边到bb′的距离；

（3）整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。 【答案】（1）2×102 N （2）1 m （3）4×103 J

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