2018年四川省广安市中考数学试卷

2018年四川省广安市中考数学试卷

一、选择题（每小题，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上的相应位置，本大题共10个小题，每小题3分，共30分。） 1．（3.00分）﹣3的倒数是（ ） A．3

1

B． 3

1

C．﹣ D．﹣3

3

2．（3.00分）下列运算正确的（ ） A．（b2）3=b5

B．x3÷x3=x C．5y3•3y2=15y5 D．a+a2=a3

3．（3.00分）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著．据统计约有65 000 000人脱贫，把65 000 000用科学记数法表示，正确的是（ ） A．0.65×108

B．6.5×107 C．6.5×108 D．65×106

4．（3.00分）下列图形中，主视图为①的是（ ）

A． B． C． D．

5．（3.00分）下列说法正确的是（ ）

A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式 B．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5 C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”

D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定

6．（3.00分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ） A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1

7．（3.00分）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）

第1页（共30页）

A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 8．（3.00分）下列命题中： ①如果a＞b，那么a2＞b2

②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等

④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1 其中真命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

9．（3.00分）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）

2

A．π﹣2√3 324

B．π﹣√3 C．π﹣2√3

334

D．π﹣√3 3

10．（3.00分）已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）

A．

B． C． D．

第2页（共30页）

二、填空题（请把最简单答案填在答题卡相应位置。本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3.00分）要使√𝑥+1有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．（3.00分）一个n边形的每一个内角等于108°，那么n= ．

13．（3.00分）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC= 度．

14．（3.00分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．

15．（3.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有 ． ①abc＞0

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3 ③2a+b=0

④当x＞0时，y随x的增大而减小

16．（3.00分）为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查

第3页（共30页）

到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是 ．

三、简答题（本大题共4个小题，第17题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

1

17．（5.00分）计算：（）﹣2+|√3﹣2|﹣√12+6cos30°+（π﹣3.14）0．

3

𝑎2𝑎−1

18．（6.00分）先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），并从﹣1，0，1，2四

𝑎+1𝑎+1

个数中，选一个合适的数代入求值

19．（6.00分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．

𝑘

20．（6.00分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k为

𝑥

常数，k≠0）的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA，3

已知OC=2，tan∠AOC=，B（m，﹣2）

2

（1）求一次函数和反比例函数的解析式．

（2）结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．

四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）

21．（6.00分）某校为了了解了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查调查，调查结果分为“非常了解“、

第4页（共30页）

“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：

（1）本次调查的学生共有 人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有 人．

（2）“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图和列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

22．（8.00分）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． （1）求今年A型车每辆车的售价．

（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元，1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？

23．（8.00分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）

第5页（共30页）

24．（8.00分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下： （1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形． （2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形． （3）画一个面积为5的等腰直角三角形．

（4）画一个边长为2√2，面积为6的等腰三角形．

五、推理论证题（9分）

25．（9.00分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D． （1）求证：∠PCA=∠ABC．

4（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，

5

求BE的长

六、拓展探索题（10分）

121

26．（10.00分）如图，抛物线y=x+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x

22

轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；

第6页（共30页）

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第7页（共30页）

2018年四川省广安市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上的相应位置，本大题共10个小题，每小题3分，共30分。） 1．（3.00分）﹣3的倒数是（ ） A．3

1

B． 3

1

C．﹣ D．﹣3

3

【分析】利用倒数的定义，直接得出结果．

1

【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，

3

1

∴﹣3的倒数是﹣．

3

故选：C．

【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是负数的倒数还是负数．

倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（3.00分）下列运算正确的（ ） A．（b2）3=b5

B．x3÷x3=x C．5y3•3y2=15y5 D．a+a2=a3

【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则．

【解答】解：A、（b2）3=b6，故此选项错误； B、x3÷x3=1，故此选项错误； C、5y3•3y2=15y5，正确；

D、a+a2，无法计算，故此选项错误． 故选：C．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．（3.00分）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著．据统计约有65 000 000

第8页（共30页）

人脱贫，把65 000 000用科学记数法表示，正确的是（ ） A．0.65×108

B．6.5×107 C．6.5×108 D．65×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：65 000 000=6.5×107． 故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3.00分）下列图形中，主视图为①的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．

【解答】解：A、主视图是等腰梯形，故此选项错误； B、主视图是长方形，故此选项正确； C、主视图是等腰梯形，故此选项错误； D、主视图是三角形，故此选项错误； 故选：B．

【点评】此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．

5．（3.00分）下列说法正确的是（ ）

A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式

第9页（共30页）

B．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5 C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”

D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定

【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取抽样调查的方式，故选项A错误，

一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数分别是3、5，故选项B错误， 投掷一枚硬币100次，可能有50次“正面朝上”，但不一定有50次“正面朝上”，故选项C错误，

若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故选项D正确， 故选：D．

【点评】本题考查全面调查与抽样调查、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确它们各自的含义．

6．（3.00分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（ ） A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1

【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．

【解答】解：∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限， ∴{

1−𝑎＞02𝑎+6＜0

，

解得a＜﹣3． 故选：A．

【点评】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

7．（3.00分）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移

第10页（共30页）

正确的是（ ）

A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度

【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究． 【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象． 故选：D．

【点评】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．

8．（3.00分）下列命题中： ①如果a＞b，那么a2＞b2

②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等

④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1 其中真命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案．

【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；

②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误； ③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；

④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误． 故选：A．

【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．

第11页（共30页）

9．（3.00分）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）

2

A．π﹣2√3 324

B．π﹣√3 C．π﹣2√3

334

D．π﹣√3 3

【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形

AOC可得答案．

【解答】解：连接OB和AC交于点D，如图所示：

∵圆的半径为2， ∴OB=OA=OC=2， 又四边形OABC是菱形，

1

∴OB⊥AC，OD=OB=1，

2

在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=√22−12=√3，AC=2CD=2√3，

𝐶𝐷√3=， 𝑂𝐶2

∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，

∵sin∠COD=

11

∴S菱形ABCO=OB×AC=×2×2√3=2√3，

22120⋅𝜋⋅224𝜋

S扇形AOC==，

3603

4

则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=π﹣2√3，

3

故选：C．

【点评】本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面

第12页（共30页）

1𝑛𝜋𝑟2积=a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=，有一定的难度．

2360

10．（3.00分）已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）

A． B． C． D．

【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，PM总上等于半径，则可对D进行判断，从而得到正确选项．

【解答】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；D选项中的封闭图形为圆，y为定中，所以D选项不正确；A选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值． 故选：A．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

二、填空题（请把最简单答案填在答题卡相应位置。本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3.00分）要使√𝑥+1有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣1 ． 【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解． 【解答】解：依题意得

第13页（共30页）

x+1≥0， ∴x≥﹣1．

故答案为：x≥﹣1．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．

12．（3.00分）一个n边形的每一个内角等于108°，那么n= 5 ．

【分析】首先求得外角的度数，然后利用360度除以外角的度数即可求得． 【解答】解：外角的度数是：180°﹣108°=72°，

360°则n==5，

72°

故答案为：5．

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

13．（3.00分）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC= 120 度．

【分析】先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=150°，求得答案．

【解答】解：如图，过点B作BF∥CD， ∵CD∥AE， ∴CD∥BF∥AE，

∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°， ∵∠BCD=150°，∠BAE=90°， ∴∠1=30°，∠2=90°， ∴∠ABC=∠1+∠2=120°．

第14页（共30页）

故答案为：120．

【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

14．（3.00分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= 2 ．

【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答． 【解答】解：作EH⊥OA于H，

∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA， ∴EH=EC=1，∠AOB=30°， ∵EF∥OB，

∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE， ∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE， ∴OF=EF=2， 故答案为：2．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

第15页（共30页）

15．（3.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有 ②③ ． ①abc＞0

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3 ③2a+b=0

④当x＞0时，y随x的增大而减小

【分析】由函数图象可得抛物线开口向下，得到a＜0，又对称轴在y轴右侧，可得b＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．

【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧，∴

−𝑏2𝑎

＞0，∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误；

∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确； ∵对称轴为直线x=1，∴

−𝑏2𝑎

=1，即2a+b=0，故③正确；

∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大； 当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误； 故答案为②③．

第16页（共30页）

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．

16．（3.00分）为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是 1024 ． 【分析】根据题意可得每次挑选都是去掉偶数，进而得出需要挑选的总次数进而得出答案．

【解答】解：∵将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋， ∴剩余的数字都是偶数，是2的倍数，；

∵他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号，

又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋， ∴剩余的数字为4的倍数，

以此类推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1 共经历10次重新编号，故最后剩余的数字为：210=1024． 故答案为：1024．

【点评】此题主要考查了推理与论证，正确得出挑选金蛋的规律进而得出挑选的次数是解题关键．

三、简答题（本大题共4个小题，第17题5分，第18、19、20小题各6分，

第17页（共30页）

共23分）

1

17．（5.00分）计算：（）﹣2+|√3﹣2|﹣√12+6cos30°+（π﹣3.14）0．

3

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．

√3【解答】解：原式=9+2﹣√3﹣2√3+6×+1=12．

2

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6.00分）先化简，再求值：

÷（a﹣1﹣），并从﹣1，0，1，2四

𝑎+1𝑎+1

𝑎

2𝑎−1

个数中，选一个合适的数代入求值

【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．

𝑎2−12𝑎−1

【解答】解：原式=÷（﹣）

𝑎+1𝑎+1𝑎+1

𝑎𝑎2−2𝑎=÷ 𝑎+1𝑎+1𝑎𝑎+1=• 𝑎+1𝑎(𝑎−2)1=， 𝑎−2

𝑎

∵a≠﹣1且a≠0且a≠2， ∴a=1， 则原式=

=﹣1． 1−2

1

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．

19．（6.00分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．

第18页（共30页）

【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=90°，AD∥BC，（2分） ∴∠EAF=∠BMA， ∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90°=∠B，（4分） 在△ABM和△EFA中， ∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐵𝑀𝐴

∵{∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵=90°，

𝐴𝐸=𝐴𝑀

∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分） ∴AB=EF．（6分）

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．

𝑘20．（6.00分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k为

𝑥

常数，k≠0）的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA，

3

已知OC=2，tan∠AOC=，B（m，﹣2）

2

（1）求一次函数和反比例函数的解析式．

（2）结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．

【分析】（1）求得A（2，3），把A（2，3）代入y2=可得反比例函数的解析式

𝑥

6

为y=，求得B（﹣3，﹣2），把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，

𝑥可得一次函数的解析式为y=x+1．

（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．

第19页（共30页）

𝑘

3

【解答】解：（1）∵OC=2，tan∠AOC=，

2

∴AC=3， ∴A（2，3），

𝑘

把A（2，3）代入y2=可得，k=6，

𝑥

6

∴反比例函数的解析式为y=，

𝑥

把B（m，﹣2）代入反比例函数，可得m=﹣3， ∴B（﹣3，﹣2），

把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，可得

{3=2𝑎+𝑏

−2=−3𝑎+𝑏

，

解得{𝑎=1，

𝑏=1

∴一次函数的解析式为y=x+1．

（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围．

四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分）

21．（6.00分）某校为了了解了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查调查，调查结果分为“非常了解“、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：

第20页（共30页）

（1）本次调查的学生共有 50 人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有 600 人．

（2）“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图和列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

【分析】（1）由“非常了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“不了解”的人数，用总人数乘以样本中“不了解”人数所占比例可得；

（2）分别用树状图和列表两种方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到2名男生的结果数，利用概率公式计算可得．

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷8%=50人， 则不了解的学生人数为50﹣（4+11+20）=15人，

15

∴估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有2000×=600人，

50

故答案为：50、600；

（2）画树状图如下：

共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，

21

∴P（恰好抽到2名男生）==．

126

列表如下：

A1

A2 B1 B2

A1 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1）

A2 （A1，A2） （B1，A2） （B2，A2）

B1 （A1，B1） （A2，B1） （B2，B1）

B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2）

21=． 126

第21页（共30页）

由表可知共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个， ∴P（恰好抽到2名男生）=

【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

22．（8.00分）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． （1）求今年A型车每辆车的售价．

（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元，1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？

【分析】（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，根据销售利润=单辆利润×销售数量，即可得出y关于a的函数关系式，由B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，

6000060000×(1−20%)根据题意得：=，

𝑥+400𝑥

解得：x=1600，

经检验，x=1600是原分式方程的解， ∴今年A型车每辆车售价为1600元．

（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆， 根据题意得：y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（45﹣a）=﹣100a+27000． ∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， ∴45﹣a≤2a，解得：a≥15． ∵﹣100＜0，

第22页（共30页）

∴y随a的增大而减小，

∴当a=15时，y取最大值，最大值=﹣100×15+27000=25500，此时45﹣a=30． 答：购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大，最大利润是25500元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质求出最大利润．

23．（8.00分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）

【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可． 【解答】解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°， 在Rt△CDB中，tan∠DCB=解得：DB=200，

在Rt△CDA中，tan∠DCA=解得：DA=200√3，

∴AB=DA﹣DB=200√3﹣200≈146米，

𝐴𝐵146

轿车速度𝑣=𝑡=10=14.6＜16，

𝐷𝐴𝐷𝐶𝐷𝐵𝐷𝐶

𝐷𝐵200𝐷𝐴200

==1，

==

√3，

答：此车没有超过了该路段16m/s的速度．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．

第23页（共30页）

24．（8.00分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下： （1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形． （2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形． （3）画一个面积为5的等腰直角三角形．

（4）画一个边长为2√2，面积为6的等腰三角形．

【分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可； （2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可． （3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可； （4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可． 【

解

答

】

解

：（

1

）

如

图

（

1

）

所

示

：

（2）如图（2）所示： （3）如图（3）所示； （4）如图（4）所示．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．

五、推理论证题（9分）

25．（9.00分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O

第24页（共30页）

于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D． （1）求证：∠PCA=∠ABC．

4

（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，

5

求BE的长

【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；

（2）本题介绍两种解法：

4方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，

5

FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB=

𝐴𝐸𝐴𝐵

，可得AE的长，从而计算BE的长；

方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论． 【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H， ∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分） ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，（2分） ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∴∠PCA=∠OCB，（3分）

第25页（共30页）

∵OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， ∴∠PCA=∠ABC；（4分） （2）方法一：∵AE∥PC， ∴∠CAF=∠PCA， ∵AB⊥CG，

̂=𝐴𝐺̂， ∴𝐴𝐶

∴∠ACF=∠ABC，（5分） ∵∠ABC=∠PCA， ∴∠CAF=∠ACF， ∴AF=CF=10，（6分） ∵AE∥PC， ∴∠P=∠FAD，

4∴cos∠P=cos∠FAD=，

5

𝐴𝐷

在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，

𝐴𝐹

∴AD=8，（7分） ∴FD=√𝐴𝐹2−𝐴𝐷2=6， ∴CD=CF+FD=16，

在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8， r2=（r﹣8）2+162， r=20，

∴AB=2r=40，（8分） ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°，

在Rt△AEB中，cos∠EAB=∴AE=32，

∴BE=√𝐴𝐵2−𝐴𝐸2=24．（9分） 方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，

第26页（共30页）

𝐴𝐸𝐴𝐵

，AB=40，

∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分）， ∴∠EAO+∠COA=90°， ∵AB⊥CG，

∴∠OCD+∠COA=90°， ∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分） 在Rt△CFH中，cos∠HCF=∴CH=8，（7分）

在Rt△OHA中，cos∠OAH=∴OH=3x，OC=3x+8，

由OC=OA得：3x+8=5x，x=4， ∴AO=20， ∴AB=40，（8分） 在Rt△ABE中，cos∠EAB=∴AE=32，

∴BE=√𝐴𝐵2−𝐴𝐸2=24．（9分）

𝐴𝐸𝐴𝐵𝐴𝐻𝐴𝑂𝐶𝐻𝐶𝐹

，CF=10，

=，设AO=5x，AH=4x，

5

4

，AB=40，

【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．

六、拓展探索题（10分）

121

26．（10.00分）如图，抛物线y=x+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x

22

轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；

第27页（共30页）

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；

（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【解答】解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得 𝑐=3{9， −3𝑏+𝑐=025𝑏=解得{2， 𝑐=3

125

抛物线的解析式是y=x+x+3；

22

（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称， ∴对l上任意一点有MD=MC，

1

𝑦=2𝑥+3

联立方程组{，

125

𝑦=2𝑥+2𝑥+3

𝑥=0𝑥=−4解得{𝑦=3（不符合题意，舍），{𝑦=1， ∴B（﹣4，1），

第28页（共30页）

当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，

过点B作BE⊥x轴于点E在Rt△BEC中，由勾股定理，得 BC=√𝐵𝐸2+𝐶𝐸2=√2， |MB﹣MD|取最大值为√2；

，

（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似， 在Rt△BEC中，∵BE=CE=1， ∴∠BCE=45°， 在Rt△ACO中， ∵AO=CO=3， ∴∠ACO=45°，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

过点P作PQ⊥y轴于Q点，∠PQA=90°，

15

设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）

22

①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB， ∴△PGA∽△BCA，

𝐵𝐶𝐴𝐶∴=， 𝑃𝐺𝐴𝐺𝑃𝐺𝐵𝐶1即==， 𝐴𝐺𝐴𝐶3

𝑥1

∴1=， 523𝑥+2𝑥+3−32解得x1=1，x2=0（舍去），

15

∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6，

22

第29页（共30页）

∴P（1，6），

②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA， ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC， ∴△PGA∽△ACB，

𝐵𝐶𝐴𝐶∴=， 𝐴𝐺𝑃𝐺𝑃𝐺𝐴𝐶

即==3， 𝐴𝐺𝐵𝐶

𝑥

∴1=3， 52𝑥+𝑥+3−322解得x1=﹣

13

（舍去），x2=0（舍去） 3

∴此时无符合条件的点P， 综上所述，存在点P（1，6）．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．

第30页（共30页）