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2014年安徽省高考数学试卷(理科)

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2014年安徽省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（） 2 2i A．﹣2 B． ﹣2i C． D． 2．（5分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件充分必要条件 C．D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（2014•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）

34 55 78 A．B． C． D． 4．（5分）（2014•安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是截得的弦长为（） A．（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C

B． 2 C． D． 2 5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的

值为（） A．或﹣1 B． 2或 C． 2或1 D． 2或﹣1 6．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（=（） A．）

B． 0 C． D． ﹣ 7．（5分）（2014•安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）

21 18 A．C． D． 21+ 8．（5分）（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（） A．24对 B． 30对 C． 48对 D． 60对 9．（5分）（2014•安徽）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（） A．5或8 B． ﹣1或5 C． ﹣1或﹣4 D． ﹣4或8 10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足曲线C={P|

=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤|

（+），

B． 18+|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）

A．1＜r＜R＜3 B． 1＜r＜3≤R C． r≤1＜R＜3 D． 1＜r＜3＜R 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置． 11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+的最小正值是 _________ ．

12．（5分）（2014•安徽）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= _________ ．

13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）的展开式为a0+a1x+a2x+…+anx．若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a= _________ ．

）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ

14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x+

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E

于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 _________ ．

15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由2个和3个排列而成，记S=

•

，+

，•

，

和

，

，Smin表示S所有可能取值中的

最小值．则下列命题正确的是 _________ （写出所有正确命题的编号）． ①S有5个不同的值； ②若⊥，则Smin与||无关； ③若∥，则Smin与||无关； ④若||＞4||，则Smin＞0；

⑤若||=2||，Smin=8||，则与的夹角为

．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域． 16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+

）的值．

17．（12分）（2014•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．

18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x﹣x，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y=2p1x（p1＞0）和E2：y=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求

的值．

20．（13分）（2014•安徽）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；

（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N．

（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）＞1+px；（Ⅱ）数列{an}满足a1＞

，an+1=

an+an

1﹣p

．证明：an＞an+1＞

．

2014年安徽省高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（） 2 A．﹣2 B． ﹣2i C．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 2i D．解答：解：∵z=1+i， ∴∴+i•=， =．故选：C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 2．（5分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件充分必要条件 C．D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0； ∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0， ∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 3．（5分）（2014•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）

34 55 78 A．B． C． D．考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．专题：算法和程序框图．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B 点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题． 4．（5分）（2014•安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取

相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C

截得的弦长为（） A．B． C． D． 2 2 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程为 x﹣y﹣4=0；圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x+y=4x， 22即（x﹣2）+y=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．弦心距d==＜r，∴弦长为2=2=2， 222故选：D．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题． 5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论． 6．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（=（） A．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．解答：解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，）

B． 0 C． D． ﹣ ∴f（=f（=f（=f（=sin==．

故选：A．点评：本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 7．（5分）（2014•安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）

A．21+ B． 18+ 21 C． 18 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底=故选：A． =21+．点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状． 8．（5分）（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（） A．24对 B． 30对 C． 48对 D． 60对考点：排列、组合及简单计数问题；异面直线及其所成的角．专题：排列组合．分析：利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．解答：解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．点评：本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．

9．（5分）（2014•安徽）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（） A．5或8 B． ﹣1或5 C． ﹣1或﹣4 D． ﹣4或8 考点：带绝对值的函数；函数最值的应用．专题：选作题；不等式选讲．分析：分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．解答：解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1； ﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1； x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2， ∴﹣1=3或a﹣2=3， ∴a=8或a=5， a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去； ≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a； ﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1； x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1， ∴2﹣a=3或﹣+1=3， ∴a=﹣1或a=﹣4， a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．点评：本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题． 10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足曲线C={P|

=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤|

B． 1＜r＜3≤R =

（+），

|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）

D． 1＜r＜3＜R A．1＜r＜R＜3 C． r≤1＜R＜3 考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．解答：解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则

=（+）=（，），

=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆， Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1， ∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A 点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|（0＜r≤|示的平面区域，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置． 11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+的最小正值是

．

）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ

|≤R，r＜R}表考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得解答：解：将函数f（x）=sin（2x+﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．）的图象向右平移φ个单位， ]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+则 ﹣2φ=kπ+．，k∈z，即 φ=﹣﹣π，故φ的最小正值为故答案为：点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题． 12．（5分）（2014•安徽）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= 1 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列， ©2010-2014 菁优网

得：整理得：即化简得：（d+1）=0，即d=﹣1． ∴q==． 2，， +5a1+a1+4d．故答案为：1．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）的展开式为a0+a1x+a2x+…+anx．若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a= 3 ．

考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：求出（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值． n解答：解：（1+）的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4， ∴，，，2， a﹣3a=0，解得a=3，故答案为：3．点评：本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题． 14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x+

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E

于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 x+ 考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． =1 ．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 222求出B（﹣c，﹣b），代入椭圆方程，结合1=b+c，即可求出椭圆的方程．解答：解：由题意，AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2， ∵|AF1|=3|F1B|， ∴B（﹣c，﹣b）， 2代入椭圆方程可得∵1=b+c， ∴b=，c=， ∴x+22222， =1． 2故答案为：x+=1．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量均由2个和3个排列而成，记S=

•

，+

，•

，

和

，

，Smin表示S所有可能取值中的

最小值．则下列命题正确的是 ②④ （写出所有正确命题的编号）． ①S有5个不同的值； ②若⊥，则Smin与||无关； ③若∥，则Smin与||无关； ④若||＞4||，则Smin＞0；

⑤若||=2||，Smin=8||，则与的夹角为考点：命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：依题意，可求得S有3种结果：S1=+++2

．

+，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误； +﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，即S中最小为S3；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=解答：再对②③④⑤逐一分析即可得答案．解：S有3种结果：S1=S2=+•+•+++，，故①错误；

+++， S3=•+•+•+•+

∵S1﹣S2=S2﹣S3=∴S中最小为S3；若⊥，则Smin=S3=，与||无关，故②正确；，与||有关，故③错误；＞﹣4||•||+=8，＞﹣+=0，故④正确； +﹣2•≥+﹣2||•||=≥0， ③若∥，则Smin=S3=4•+④若||＞4||，则Smin=S3=4||•||cosθ+⑤若||=2||，Smin=S3=8||cosθ+4∴2cosθ=1，∴θ=即与的夹角为，． 2综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域． 16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+

）的值．

考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+解答：解：（Ⅰ）∵A=2B，∴a=6cosB， ∴a=6，，b=3，）的值． ∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB， ∴cosB=∴sinB=，，，cosA=cos2B=2cosB﹣1=﹣，（sinA+cosA）=． 2∴sinA=sin2B=∴sin（A+）=点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．解答：解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，则P（Ak）=，P（Bk）=，k=1，2，3，4，5 （Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A2+P（A1B2A3A4）=（）+×（）+××（）=（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5． P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=， P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=， P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，， 222． P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=故分布列为： X P 2 +5×= 3 ． 4 5 E（X）=2×+3×+4×点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力． 18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x﹣x，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值． 2解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x， 23

由f′（x）=0，得x1=∴由f′（x）＜0得x＜由f′（x）＞0得

，x2=，x＞＜x＜

故f（x）在（﹣∞，在（，）和（）上单调递增；，+∞）单调递减，（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，（i）当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．（ii）当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调dz，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a， ∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题． 19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y=2p1x（p1＞0）和E2：y=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求

的值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）由题意设出直线l和l的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到12的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．解答：（Ⅰ）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，设l1：y=k1x，l2：y=k2x．联立，解得．联立，解得． ©2010-2014 菁优网

联立，解得．联立，解得． ∴，．， ∴A1B1∥A2B2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2． ∴△A1B1C1∽△A2B2C2，因此，又， ∴．故．点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题． 20．（13分）（2014•安徽）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；

（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q为BB1的中点；（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则棱柱==，VQ﹣ABCD==ahd，利用V=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1=ABCD所成二面角的大小．解答：（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC， ∴平面QBC∥平面A1D1DA， ∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D ∴△QBC∽△A1AD， ∴=， =1，即可求平面α与底面∴Q为BB1的中点；（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，设BC=a，则AD=2a，∴∴V1=， ==，VQ﹣ABCD==ahd， ∵V棱柱=ahd， ∴V2=ahd，； ∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E， ∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角， ∵BC∥AD，AD=2BC， ∴S△ADC=2S△ABC， ∵梯形ABCD的面积为6，DC=2， ∴S△ADC=4，AE=4， ©2010-2014 菁优网

∴tan∠AEA1=∴∠AEA1=，． =1， ∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为点评：本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N．

（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）＞1+px；（Ⅱ）数列{an}满足a1＞

，an+1=

an+an

1﹣p

．证明：an＞an+1＞

．

考点：不等式的证明；数列与不等式的综合；分析法和综合法．专题：函数思想；点列、递归数列与数学归纳法． p分析：第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从an+1着手，由an+1=an+an1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将an＞an+1进行转换，设法利用已证结论证明． pp1p1解答：证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）﹣p=p[（1+x）﹣1]． p﹣10①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）＜（1+x）=1， p﹣1∴（1+x）﹣1＜0，即f′（x）＜0， ∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数， pp∴f（x）＞f（0）=（1+0）﹣（1+p×0）=0，即（1+x）﹣（1+px）＞0， p∴（1+x）＞1+px． p﹣10②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）＞（1+x）=1， ∴f′（x）＞0， ∴f（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴f（x）＞f（0）=0， p∴（1+x）＞1+px． p综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）＞1+px，得证． ﹣﹣（Ⅱ）先证an+1＞∵an+1=an+an． 1﹣p，∴只需证an+an1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边=， ©2010-2014 菁优网

当且仅当，即时，上式取“=”号，当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立， ∴an+an1﹣p＞，即an+1＞．再证an＞an+1．只需证an＞an+an1﹣p，化简、整理得an＞c，只需证an＞cp．由前知an+1＞成立，即从数列{an}的第2项开始成立，成立，又n=1时，由题设知∴对n∈N成立，∴an＞an+1． *综上知，an＞an+1＞，原不等式得证．点评：本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大． ©2010-2014 菁优网

参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；qiss；翔宇老师；刘长柏；maths；尹伟云；wdnah；caoqz；wfy814；liu老师（排名不分先后）菁优网

2014年6月24日

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