1.3.1函数的单调性例题

1.3.1函数的单调性

题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）yx21; （2）yx22x3; （3）yx1(x2); （4）y

相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性

用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论

2x26x9x26x9

取值，即_____________________________；

作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； 定号，即____________________________________________________________;

④下结论，即______________________________________________________。

例2.用定义法证明下列函数的单调性

（1）证明：f(x)x1在,上是减函数.

3

1

▲定义法证明单调性的等价形式： 设x1、x2a,b，x1x2,那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)证明：f(x)x21x在其定义域内是减函数；

（3）证明：f(x)1x2在,0上是增函数； 法一： 作差

2

法二：作商

（4）已知函数yf(x)在0,上为增函数，且f(x)0(x0)，试判断F(x)1在

f(x)0,上的单调性，并给出证明过程；

▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：

1、直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册P27（2）P31（上5、1） 2、图象法； 3、定义法； 4、运算性质法：

①当a0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性； 当a0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； ②当函数f(x)恒不等于零时，f(x)与1单调性相反；

f(x)③若f(x)0，则f(x)与

f(x)具有相同的单调性；

④若f(x)、g(x)的单调性相同，则f(x)g(x)的单调性与之不变； ▲即：增+增=增 减+减=减

⑤若f(x)、g(x)的单调性相反，则f(x)g(x)的单调性与f(x)同.

▲即：增-减=增 减-增=增 注意：（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断； （2）f(x)g(x)与

f(x)的单调性不能确定. g(x)3

ax在1,1上的单调性（a0）； x21k▲（2）务必记住“对勾”函数f(x)x(k0)的单调区间（见练习册P29探究之窗.

x相应作业2：（1）讨论函数f(x)探究1）

知识拓展——复合函数单调性（▲难点）

一、复习回顾：

复合函数的定义：如果函数yf(t)的定义域为A，函数tg(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数yf(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，

tg(x)叫内层函数，yf(x)叫外层函数。

二、引理1 已知函数y=f［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

引理2 已知函数y=f［g(x)］.若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(t)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 引理1的证明：

▲重要结论1：复合法则

若tg(x) 增 减 增 减 规律可简记为“_____________________”（四个字）

▲重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:

若减函数有偶数个，则复合函数为增函数； 若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.

yf(t) 增 减 减 增 则yfg(x) 增 增 减 减 4

规律可简记为“_____________________”（四个字） 题型三、求复合函数的单调区间 例3. 求下列函数的单调区间. （1）y76xx2 ▲小结：

1、注意：（1）求单调区间必先求定义域； （2）单调区间必须是定义域的子集；

（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，”隔开. 2、判断复合函数单调性步骤： 求函数的定义域；

将复合函数分解成基本初等函数：yf(t)与tg(x)； 确定两个函数的单调性；

④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性. 相应作业3：求下列函数的单调区间.

（1）y82xx2 （2）y

（2）y1

2x2x31x2x32

（3）y

1

x24x5

单调性的应用

题型四、比较函数值的大小

例4.已知函数yf(x)在0,上是减函数，试比较f()与f(aa1)的大小.

234

题型五、已知单调性，求参数范围 例5.已知函数f(x)x2(xa)x2

（1）若f(x)的减区间是,4，求实数a的值； （2）若f(x)在,4上单调递减，求实数a的取值范围.

2(2b1)xb1,x0例6.若函数f(x)在R上为增函数，求实数b的取值范围.

2x(2b)x,x0

6

题型六、利用单调性，求解抽象不等式

例7.已知函数yf(x)是1,1上的减函数，且f(1a)f(a1)，求实数a的取值范

2围.

例8.已知f(x)是定义在0,上的增函数，且f()f(x)f(y)，且f(2)1，解不

xy等式f(x)f(

1)2. x3相应作业4：已知f(x)是定义在0,上的增函数，且f(xy)f(x)f(y)，且

f(2)1，解不等式f(x)f(x2)3.

题型七、抽象函数单调性的判断——定义法 解决此类问题有两种方法：

“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论； 赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.

7

例9.已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时

f(x)0，求证：f(x)在R上单调递增.

例10.已知定义在0,上的函数f(x)对任意x、y0,，恒有

f(xy)f(x)f(y)，且当0x1时f(x)0，判断f(x)在0,上单调性.

相应作业5：定义在0,上的函数f(x)对任意x、y0,，满足

f(mn)f(m)f(n)，且当x1时f(x)0.

（1）求f(1)的值； （2）求证：f(m)f(m)f(n)； n（3）求证：f(x)在0,上是增函数；

（4）若f(2)1，解不等式f(x2)f(2x)2；

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函数的最大（小）值

1、函数的最大（小）值定义 2、利用单调性求最值常用结论

（1）若函数yf(x)在闭区间a,b上单调递增，则yminf(a)，ymaxf(b)； （2）若函数yf(x)在闭区间a,b上单调递减，则yminf(b)，ymaxf(a)； （3）若函数yf(x)在开区间a,b上单调递增，则函数无最值，但值域为f(a),f(b)； （4）若函数yf(x)在闭区间a,b上单调递增，在闭区间b,c上单调递减，那么函数

yf(x)，xa,c在xb处有最大值，即ymaxf(b)；

（5）若函数yf(x)在闭区间a,b上单调递减，在闭区间b,c上单调递增，那么函数

yf(x)，xa,c在xb处有最小值，即yminf(b).

题型八、单调性法求函数最值（值域） 例11、（1）函数f(x)

（2）函数y

（3）函数y2x12x的值域为________________;

（4）函数y

（5）函数

（6）函数

1在1,5上的最大值为________,最小值为________; 2x12x1在2,4上的最大值为________,最小值为________; x1xx1的值域为________________;

yx21x2的值域为________________;

y1xx的值域为________________;

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二次函数的区间最值的求法

二次函数在给定区间m,n上求最值，常见类型： （1）定轴定区间：对称轴与区间m,n均是确定的； （2）动轴定区间： （3）定轴动区间： （4）动轴动区间： 1、定轴定区间

可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。 例12.当2x2时，求函数yx2x3的最值.

相应作业6：求函数yx4x5在1,5上的最值.

222、动轴定区间

例13.已知函数f(x)x2ax2，求f(x)在5,5上的最值.

2

▲动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.

相应作业7：求函数f(x)x2ax1在0,2上的最值.

2

10

3、定轴动区间

例14.已知函数f(x)x2x2，当xt,t1时，求f(x)的最小值g(t).

2

相应作业8：已知函数f(x)x4x3，当xm,m2时，求f(x)的最大值g(m).

24、动轴动区间

解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动，进行讨论. 例15.求函数yxax在x1,a上的最大值.

2

相应作业9：求函数yx2ax2在xa,1上的最值.

2

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