基于效用函数的投资组合

第３５卷第２期　２００８缸　北京化工大学学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＢＥＩＪ　ＩＮＧ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＣＨＥＭＩＣＡＬ　ＴＤＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ　Ｖ０１．３５。Ｎｏ．２　２００８　基于效用函数的投资组合　宋立军杨永愉　１０００２９）　●　（北京化工大学理学院，北京摘要：本文旨在解决当证券市场不允许卖空时，“均值一ＣＶａＲ”模型的求解问题。若风险资产收益率服从正态分　布，则在效用最大化原则下的“均值一方差”模型的两种解法是一致的。并且可以证明“均值一ＣＶａＲ”模型的有效前沿　是“均值一方差”模型有效前沿的一部分。从而用“均值一方差”模型的有效前沿表示出“均值一ＣＶａＲ”模型的有效前　沿，使其直接可以用计算机来求解。并且因为效用函数的引入，因此可以求得满足不同风险偏好投资者的资产配置。　关键词：ＣＶａＲ；有效前沿；指数效用函数；资产组合　中图分类号：Ｆ８３０．９　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ的投资组合理论［１］，是以“均值一方　差”模型为基础，推导出了“均值一方差”模型的有效　前沿［　，从而保证了投资组合的有效性。１９９９年，　Ｒｏｃｋｆａｌｌｅｒ等研究者提出了ＣＶａＲ［０］方法，并且建立　的期望收益率和收益率的标准差．期望收益率Ｅ　（　）＝Ｅ，　个证券的期望收益率向量为Ｒ　＝Ｅ　（，　）＝（Ｒ１，Ｒ２，…，Ｒ　），Ｉ　＝（１，１，…，１）为　维单　位向量，　为证券组合的协方差矩阵，则“均值一方　差”投资组合模型为　了“均值一ＣＶａＲ”模型。基于此模型，林旭东等人推　导出了“均值一ＣＶａＲ”的有效前沿ｌ４　Ｊ。为满足不同　投资者的风险偏好，在文献［５］中引入了指数效用函　ｆｍｉｎ　０－２（　）＝ＸＴ　・数，从而投资者可以选择期望效用最大的投资组合。　由于当前的许多证券市场不允许卖空，因此，每　个资产的投资权重不能为负值，这就使得“均值一　Ｅ（　ＴＲ　（１）　ｌ　∑ｚ　＝　Ｊ＝１　ＣＶａＲ”的有效前沿变为一条不连续曲线，给问题的　求解带来一定困难。本文通过模型的等价，将原模　型转化为可以用Ｍａｔｌａｂ工具箱直接求解的模型。　对于模型（１）由拉格朗日乘子法［　可解得　与　Ｅ的关系式，　１／Ｃ　一　Ｄ／Ｃ２　：１　（２）１　“均值一方差”投资组合模型和“均值一　ＣＶａＲ”投资组合模型　１．１　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ的“均值．方差”投资组合模型及其　有效前沿　式中，Ａ＝ｉＴ　～Ｒ，Ｂ＝Ｒ　～Ｒ，Ｃ＝ｉＴ　Ｄ＝ＢＣ—Ａ　。　Ｊ，　显然，当　＝舍时，０．２取到最小值　１。因此，　“均值一方差”模型的有效前沿须Ｅ≥鲁。　１．２“均值．ＣＶａＲ”投资组合模型及其有效前沿　在给定置信水平Ｃ∈（０，１）下，当资产收益率服　从正态分布时，ＣＶａＲ的表达式为［　ＣＶａＲ＝Ｔａ　一Ｅ（　）　对于一个由　种证券组成的证券组合，其中　ｚ１，ｚ２，…，ｚ　分别为各证券的投资权重，　＝（ｚ１，　ｚ２，…，ｚ　）为投资组合。设ｒ　表示第ｉ（ｉ＝１，２，…，　）种证券的收益率，假设它服从正态分布（下面的　证券收益亦为此假定），则证券组合的收益率向量为　，　＝（ｒｌ，ｒ２，…，ｒｎ）。　＝ｘＴ，：∑ｚ　为投资　组合　的收益率．Ｅ　）和　（　）分别为投资组合　收稿日期：２００７　０７—０５　其中，Ｔ：　，　（．）表示标准正态分布的分　布函数，　（・）表示标准正态分布的密度函数。　由此“均值一ＣＶａＲ”模型可以建立如下　第一作者：男，１９８２年生，硕士生　＊通讯联系人　Ｅ－ｍａｉｈ　ｙａｎｇｙｏｎｇｙｕ１７６５＠ｓｉｎａ．ｃｏｒｎ　ｆｍｉｎ　ｃ　Ｒ＝　Ｉ【　　—Ｅ　（３）　ｓ．ｔ．Ｅ（　）：ＸＴＲ＝Ｅ　ｒ　ｒ：１　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　宋立军等：基于效用函数的投资组合　将式ＣＶａＲ＝Ｔａ　一Ｅ（　）代入（２）得，　（ＣＶａＲ＋Ｅ）２（星二　一）　一，　一　Ｔ２／Ｃ　Ｄ＝ＢＣ—Ａ２。　Ｄ／Ｃ２　（４）　ｌ　Ｅ一　Ｉ　其中，Ａ＝ｉＴ　～　Ｒ，Ｂ＝Ｒ　三一　Ｒ，Ｃ＝　显然，当ＣＶａＲ取到最小值时，３Ｃ　Ｖ￣＿ａ　Ｒ：０对　，（４）两边求关于Ｅ的偏导可得，　一Ｅｍｉｎ　Ａ＋Ｊ（ｒ２　一吉）＿ＤＣ　此时，　ＣＶａＲ　曲：丁√　ｉ　一　Ａ—Ｔ２　１）Ｄ一　因此，“均值一ＣＶａＲ”的有效前沿须Ｅ≥Ｅ　ｍｉ　。　定理１：在　一Ｅ坐标系中，“均值一ＣＶａＲ”的有　效前沿是“均值　方差”有效前沿的一部分。　证明：记ＥＢ　ＥＢｃ啪分别为“均值一方差”模型　和“均值一ＣＶａＲ”模型的有效前沿，由１．１，１．２节知，　ＥＢ　：　∈Ｒ２　　ｌ一　－Ｅ　Ａ）　ＥＢｃｖ￣＝　）∈Ｒ２　　１一　：Ｌ　－Ｅ　Ａ＋、／（　：Ｔ　２　一１）Ｄ一）　显然，ＥＢｃｖ￣ＣＥＢ　定理得证。　２　指数效用函数下投资组合模型的两　种解法及其同解性　现实生活中，大部分投资者是理性的风险厌恶　型的，所以投资者的效用函数可取为指数函数型，　即，Ｕ＝１一ｅ　，其中ｋ＞０，称为风险厌恶因子，　表示投资收益，根据文献［５］，当ｋ＞０时可得　Ｕ　＝ｋｅ－　＞０　＝一是　ｅ一　＜０　所以该效用函数为上凸函数，效用单调递增，且边际　效用递减。图１给出了ｋ取不同值时，指数效用函　数的图象。　由图１可以看出，当ｋ越小时，效用Ｕ随收益　ｒ增长得越慢，即对风险的规避要求越高，投资者表　现为越保守。当证券收益率服从正态分布时，可推　得投资者期望效用为　Ｅ（ｕ）＝１－ｅｘｐ［ｋ（１ｋｘＴ．￣Ｘ—　ＴＲ）］　Ｆｉｇ．１　Ｆｉｇｕｒｅｓ　ｏｆ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｕｔｉｌｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　投资者选择证券组合是使期望效用最大化，即，　使指数部分　ｋｘＴ　一Ｘ　Ｒ最小。转化为投资组　合模型为　ｌ【　ｍｉｓ．ｔｎ专船　—　．　ＴＪ：１　（５）　定理２　模型１ｆＳｍａ．ｔｘ．　　Ｅ（ｕ）一　＝　一ｅｘｐ　ｋ（　：１　　２））　与模型（５）同解，即可得到相同的资产配置［引，　其中Ｘ　Ｒ＝Ｅ，　＝Ｘ　。　在许多证券市场上并不允许卖空，因此，证券的　资产配置　应满足０≤　≤１，依据定理１，“均值一　ＣＶａＲ”的有效前沿为　ｆ　１／Ｃ　一（星二　Ｄ／ｃ２　）　一１一　　，　｛０≤　｛≤１，ｉ＝１，２，…，　（７）　ｌ　≥舍＋√（蔷　）号　依据期望效用最大化原则，可以得到如下模型　ｍａｘ　Ｅ（ｕ）＝　－ｅｘｐ｛忌［号忌　２～　］）　・Ｌ　一　：．　．　一—　一１　　（８）　０≤　≤１，ｉ＝１，２，…，　≥舍＋Ｊ（ｃ￣２＿—Ｄ　ｃ　由于原“均值一ＣＶａＲ”模型有效前沿中的每一个　点，都对应着一个投资组合，并且其每个权重可以取　维普资讯 http://www.cqvip.com 北京化工大学学报　负值。而对于模型（８），由于条件０≤　≤１（ｉ＝１，　２，…，ｎ）的引入，使得原“均值一ＣＶａＲ”模型有效前　沿中某些点取不到，这给求解模型带来一定困难。　为此，需要将模型（８）做相应的转化。　根据定理２，可以得到如下推论。　推论：模型（８）与模型　表１　取不同值时的投资组合　Ｔａｂｌｅ　１　Ｔｈｅ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓ　ｆｏｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　的趋势，　，　有减小的趋势，即当投资者对风险规　Ｊ：　１　０≤　ｆ≤１，　１，２，…，　（９）　避要求降低时，期望收益小的甚至是负的股票配置　可能增加，期望收益大的股票配置可能减小。因此，　【　≥舍＋√（　一　）　通过改变参数ｋ的取值，可以使模型满足不同风险　偏好的投资者的需要。　４　结束语　通过模型的转化，推导出了“效用一ＣＶａＲ”模型。　当风险厌恶因子ｋ取不同值时，可以满足不同风险　３“效用一ＣＶａＲ”模型求解及实例分析　偏好投资者的需要。虽然本文仅用了指数型的保守　效用函数，但仍有冒险型、混合型等其它类型的效用　函数，这留待以后继续研究。　参考文献：　［１］Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ　Ｈ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｔｈｅ　ＪｏｕｒｎＭ　ｏｆ　Ｆｉ—　ｎａｎｃｅ，１９５２，７（１）：７７—９１．　［２］李苏，投资组合及其边界分析［Ｊ］．宁夏大学学报：自　然科学版，２００５，２６（３）：２３３—２３５．　Ｆｏ．１７０６　０．０３４９　０．０４４２　０．０３０７３　ｌ　０．０３４９　０．０９０５　０．０２９８　０．０４０４　ｌ　１０　・ｌｆ　０ｌ　０４４２　０．０２９８　０．１４１３　０．０２９４　Ｉ　，．［３］　Ｒｏｅｋｆｅｌｌｅｒ　Ｒ　Ｔ，Ｕｒｙａｓｅｖ　Ｓ．Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ　Ｖａｌｕｅ－ａｔ—Ｒｉｓｋ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｒｉｓｋ，２０００，２（３）：２１—　２４．　ｋＯ．０３０７　００４０４　０．０２９４　０．０６６９３　．［４］　林旭东，巩前锦．正态条件下均值一ＣＶａＲ有效前沿的　研究［Ｊ］．管理科学，２００４，１７（３）：５２—５５．　［５］　周庆健，吴建民．负指数效用函数最优组合的两种解法　及其一致性［Ｊ］．大连民族学院学报，２００４，６（１）：７—１０．　Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｕｔｉｌｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ＳＯＮＧ　ＬｉＪｕｎ　ＹＡＮＧ　ＹｏｎｇＹｕ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　ＣｈｅｍｉｃＮ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００２９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｕｔｉｌｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｄｅｖｉｓｅｄ　ｂｙ　ｍａｋｉｎｇ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍｅａｎ—ＣＶａＲ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｅｆｆｉ—　ｃｉｅｎｔ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ．Ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇ　ｕｔｉｌｉｔｙ，ｔｈｅ　Ｍｅａｎ—ＣＶａＲ　ｍｏｄｅｌ　ｗａｓ　ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ　ｔｏ　ａ　ｍｏｄｅｌ　ｔｈａｔ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｓｏｌｖｅｄ　ｂｙ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｉｎ　ａｎ　ｅｑｕｉｔｙ　ｍａｒｋｅｔ　ｗｈｅｒｅ　ｓｈｏｒｔｉｎｇ　ｓａｌｅ　ｉｓ　ｐｒｏｈｉｂｉｔｅｄ．Ｂｙ　ａｐｐｌｙ—　ｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｕｔｉｌｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓ　ｔｏ　ｓｕｉｔ　ａ　ｖａｒｉｅｔｙ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｉｎｖｅｓｔｏｒｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ＣＶａＲ；ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ；ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ　ｕｔｉｌｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ