【真题】甘肃省兰州市2020年中考数学试卷含答案(Word版)

一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1.－2020的绝对值是( C )．

2.如图是有5个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是( A )．

A． B． C． D．

3.据中国电子商务研究中心（100EC．CN）发布《2020年度中国共享经济发展报告》显示，截止2020年12月，共有190家共享经济平台获得1159．56亿元投资．数据1159．56亿元用科学计数法可表示为（ C ） A.1159．56×108元 B.11.5956×1010元 C.1.15956×1011元 D.1.15956×108元

4.下列二次根式中,是最简二次根式的是( B ).

A.18 B.13 C.27 D.12 5如图,AB//CD,AD＝CD，∠1＝65°则∠2的度数是（ A ） A．50° B．60° C．65° D．70°

6.下列计算正确的是（ D ）

A.2a3a5ab B.aaa

3412（-3ab)6ab D.aaa2a C.

7.如图,边长为4的等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的面积是（ A ）

A.3 B.

22425322333 C. D.23 24C E B

D A

(第7题)

8.如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,BE//DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长度是（ C） A. A 3757 B． C． D．

888E C

B

9．如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F．若ABD＝

F D

48°，CFD＝40°，则E为（ B ） A．102° B．112° C．122° D．92°

A D y B E

F C -O 1 1 x 第11题图 2xa1的解为负数，则a的取值范围为（ D ） x1A. a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a－2 D．a＞1且a2

10．关于x的分式方程

D.解析：化简得x＝a－1<0（x－1）即a>1且a2．

211．如图，已知二次函数yaxbxc(a0)的图像如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②b－a＞c；

的实数)．其中正确的结论有③4a2bc＞0；④3a＞c;⑤ab＞m(amb)(m1（ B ）

A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤

B.解析：开口向下，a<0，与y轴交点在上方，c>0，x1x2＞0，即b>0，故abc＜0；

bac是2到3之间a2的数x－1到0之间的数>－3，故3a<－c；⑤式化解得，ambm(ab)0，(m21)a(m1)b＜0，无论m大于1还是1，该式总成立，故⑤成立，即答案为B．

x＝－1时，y＝a－b＋c<0，故b－a>c；x＝2时，y＝4a＋2b＋c<0；x1x2

1245x7x与x轴的交于点A、B，把抛物线在x轴即其下方的221部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴的交于点B、D．若直线yxm与C1、

212．如图，抛物线yC2共有三个不同的交点，则m的取值范围是（ C ）

y D O B A C2 A.C1

455291m- B.m- 8282295451m- D.m- 82821245C.解析:在y＝x7x中，令y＝0，解得x1＝9,x2＝5，∴点A，B的坐标分别为（9，

22C.0），（5，0）．∵C2是由C1向左平移得到的，∴点D的坐标为（1，0），C2对应的函数解析

1251．当直线y＝xm与C2相切时，可知x3x（1≤x≤5）

2221251关于x的一元二次方程x3x＝xm有两个相等的实数根，即方程x2－7x＋5－

222292m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（－7）2－4×1×（5－2m）＝0，解得m＝．当直

8115295线y＝xm过点B时，可得0＝5m，解得m＝．如图，故当222821直线y＝xm与C1，C2共有3个不同的交点．

2式为y＝（x3）2＝

212

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共24分． 13．因式分解：xyy＝ ．

y(x＋y)(x－y)

23

2(x1)5x714．不等式组42的解集为 ．

x31-x33－115．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB的长是 ．

C O B A

11 2.

13. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AB交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 ．

D F M N C E A 第16题图 B 353

三、解答题（本大题共11小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1017．（5分）计算：π-31-2tan45．

2解:原式41(21)17-2．

218.解方程:3x2x20． 解:移项,得3x2－2x＝2,

2127）＝, 331717解得x1＝，x2＝ ．

333x4x2119．先化简，再求值：(x，其中x． )x1x12配方,得3（x－

x24x4x115解:原式＝＝x2,代入x得原式＝．

x1x22220. （6分）如图，在Rt△ABC中．

（1）利用尺度作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；

（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） C A B

第20题图

解:∠A的角平分线作法.作图略． 21．（7分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛帮助，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．

学生借阅图书的次数统计表 学生借阅图书的次数统计图 借阅图书0次 1次 2次 3次 4次及4次及的次数 以上 以上 3次 7 13 a 10 3 人数 0次 b%

1次

2次 26%

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ；

（2）该调查统计数据的中位数是 ，众数是 ； （3）请计算扇形统计图中的“3次”所对应的圆心角的度数；

（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

解:(1)17，20%.a1326%713103＝17,b＝101326%＝20%；

20%＝72°(2)10,10.由中位数和众数的定义即可得；（3）72°.360°； （4）120人.20003120（人） 5022．（7分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状是、大小完全相同．李强从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样就确定了点M的坐标（x，y）． （1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标； （2）求点M（x，y）在函数y＝x＋1的图像上的概率．

解:（1） x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 y 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 （2）

1.解:一共12个点坐标，有三个点坐标在上面． 4

23. （7分）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°．求CD的高度．（结果保留根号） D B F C A E

解:过B点作CD的垂线，垂足为F,设CD＝x米,则

DE3x(米)，AC＝AE＋CE

tan3033x，即3x18x， ＝18CDtan301833解得，x93，即CD长为93米．

DF＝（x－3）（米），BF＝AC，BF＝

24．（7分）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商家管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天的销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30，且x为整数）的销量为y件．

（1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？

解:（1）y＝38＋2x；解析：y＝40＋2（x－1）＝2x＋38；

（2）w2x38145805x1＝2x212041

故x＝21时，w值最大，为2041元，即第21天时，利润最大，最大利润为2041元．

225．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax＋b的图像与反比例函数y2图像交于点A（1，2）和B（－2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＞y2时，x的取值范围；

k的x（3）过点B做BE//x轴，ADBE于点D，点C是直线BE上一点，若AC＝2CD，求点C的坐标．

y1 y

A

y2

O

x

E D B

解:（1）y1x1;y2（3）2,0(1,)；解析：观察图像可知； 2；解析：代入点坐标即可； 第25题图 x-1；解析：易知D（1，－1）（3）C点的坐标为13,1和1-3，，设C点坐标为（x，

－1），故AC＝(x1)3，BC＝x1，由AC＝2BC可知，AC4BC，即

2222x12324x1213,1和1-3，-1．

，解得x113，x213，故

C点的坐标为

26．（8分）如图，在ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G．连接AD、CF． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若GB＝3，BC＝6，BF＝证明（1）

3，求AB的长． 2∵E是AC的中点AECE∵AF//CDFAEDCE又AEFCEDAECE△AEF△CED(ASA)AFCD又AF//CD四边形AFCD是平行四边形.（2）

G B 第26题图 F A D

E C ∵BF//CD易得△GBF∽△GCDGBBFGCCD9

代入数值，可得CD,29又AFCD,2ABAFBF6即AB的长为6． 27．（9分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，ACDB．

（1）求证：DC为圆O的切线；

（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F，且CEF＝45°，圆O的半径为5，sinB求CF的长． B

（1）连接OC，

C F E O A D

3，5∵OBOCOBCOCB∵AB是圆O的直径ACB90OCAOCB90 DACOCA90OCCDCD是圆O的切线.（2）解析：由∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，可知，∠CFE＝∠CEF＝45°，即CF＝CE． 由

3，可得AC＝6,由勾股定理得，BC＝8，设CF＝CE＝x，由∠CDE＝∠BDF，∠ECD5BFFD8x＝∠FBD，可知，△CED相似于△BFD，即由∠CFD＝∠AED，∠EDA①，

CECDxCFFDx24＝∠FDC，可知△CFD相似于△AED，即，②，联立①②得，xAEED6x724即CF的长为．

7sinB

228．（12分）如图，抛物线yaxbx4经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC． （1）求抛物线的表达式；

（2）求证：AB平分CAO；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ABM是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． y

O

x A

C B

第28题图

解:（1）将A，B两点的坐标分别代入， 得9a3b40,

25a5b44，1a,6解得

5b,6故抛物线的表达式为y＝y125xx4 66．

（2）证明：设直线AB的表达式为y＝kx＋b’，

则3kb'0,

5kb'4,1k,2解得

3b',2故直线AB的表达式为y＝13x． 223）． 2设直线AB与y轴的交点为点D，则点D的坐标为（0，易得点C的坐标为（0，－4），

则由勾股定理，可得AC＝[0（3）](40)5． 设点B到直线AC的距离为h， 则

22111hACCD3CD5, 222解得h＝4．

易得点B到x轴的距离为4， 故AB平分∠CAO． （3）存在．

易得抛物线的对称轴为直线x设点M的坐标为（，m）．

由勾股定理，得AB2＝[5－(－3)]2＋(－4－0)2＝80，AM2＝[m2，BM2＝（

5， 2525121－(－3)]2＋(m－0)2＝＋24589－5）2＋[m－(－4)]2＝m2＋8m＋． 2412189＋m2＝80＋m2＋8m＋，

44当AM为该直角三角形的斜边时， 有AM2＝AB2＋BM2，即解得m＝－9， 故此时点M的坐标为（

5，－9）． 289121＝80＋＋m2， 44当BM为该直角三角形的斜边时， 有BM2＝AB2＋AM2，即m2＋8m＋解得m＝11，

5，11）． 255综上所述，点M的坐标为（，－9）或（，11）．

22故此时点M的坐标为（