2020年甘肃省兰州中考数学试卷(附答案与解析)

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2020年甘肃省兰州市初中学业水平考试

数 学

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1.2020的绝对值是

（ ）

A.2020

B.2020

C.2020

D.2020

2.如图是有5个完全相同的小正方形组成的几何体，则该几何体的主视图是 （ ）

A B C D

3.据中国电子商务研究中心100EC.CN发布《2020年度中国共享经济发展报告》显示，截止2020年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿元投资.数据1159.56亿元用科学计数法可表示为

（ ）

A.1159.56108元 B.11.59561010元 C.1.159561011元

D.1.15956108元 4.下列二次根式中，是最简二次根式的是

（ ）

A.18

B.13

C.27

D.12 5如图，AB∥CD，ADCD，165则2的度数是

（ ）

A.50

B.60 C.65 D.70 6.下列计算正确的是

（ ）

A.2a3a5ab

B.a3a4a12 C.3a2b26a4b2

D.a5a3a22a2

7.如图，边长为4的等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的面积是

（ ）

数学试卷 第1页（共10页） A.3

B.32 C.334

D.23

8.如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，BE∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长度是

（ ）

3

A.7

B.

8 C.758 D.8 9.如图，将ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若

ABD48，CFD40，则E为

（ ） A.102

B.112

C.122

D.92 10.关于x的分式方程

2xax11的解为负数，则a的取值范围为

（ ）

A.a＞1

B.a＜1

C.a＜1且a≠-2

D.a＞1且a≠2

11.如图，已知二次函数yax2bxc(a≠0)的图像如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0；②ba＞c；

③4a2bc＞03a＞cab＞mamb（m≠1的实数）.

其中正确的结论

（ ）

A.①②③

B.②③⑤

C.②③④ D.③④⑤

数学试卷 第2页（共10页）

12.如图，抛物线y12452x7x2与x轴的交于点A、B，把抛物线在x轴即其下方的部分记作C，C11，将C1向左平移得C22与x轴的交于点B、D.若直线y2xm与C1、C2共有三个不同的交点，则m的取值范围是 （ ）

45

A.8＜m＜52 B.2918＜m＜2 C.2958＜m＜2

D.4518＜m＜2

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共24分.）

13.因式分解：x2yy3________.

2(14.不等式组x1)＞5x742的解集为________.

3x3＞13x15.如图，△ABC的外接圆O的半径为3，C55，则劣弧AB的长是________.

16. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AMBN，连接AB交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段

CF的最小值是________.

三、解答题（本大题共11小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过

数学试卷 第3页（共10页） 程或演算步骤）

217.（5分）计算：12(π3)0|12|tan45.

18.解方程: 3x22x20.

19.先化简，再求值：x3x4x21x1x1，其中x2. 20.（6分）如图，在Rt△ABC中

（1）利用尺度作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）

等于PC的长；

（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD.

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

21.（7分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛帮助，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表.

学生借阅图书的次数统计表 学生借阅图书的次数统计图 借阅图书0次 1次 2次 3次 4次及的次数 以上 人数 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）a________，b________；

（2）该调查统计数据的中位数是________，众数是

________；

（3）请计算扇形统计图中的“3次”所对应的圆心角的度数；

（4）若该校共有2 000名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4

次及以上”的人数.

22.（7分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状是、

大小完全相同.李强从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样就确定了点M的坐标x,y.

（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；

数学试卷 第4页（共10页）

--- -------------在 ________------------------__此______号生考------------------ 卷 _________------------------__上_____名姓 ------------------- _答____________-------------------校题学业毕-------------------无-------------------效-------------

（2）求点Mx,y在函数yx1的图像上的概率.

23.（7分）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30，60.求CD的高度.（结果保留根号）

24.（7分）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商家管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天的销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30，且x为整数）的销量为y件. （1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利

润最大？最大利润是多少元？

25.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1axb的图像与反比例函数yk2x的图像交于点A1,2和B2,m.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＞y2时，x的取值范围；

（3）过点B做BE∥x轴，ADBE于点D，点C是直线BE上一点，若

AC2CD，求点C的坐标.

26.（8分）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G.连接AD、CF. （1）求证：四边形AFCD是平行四边形；

数学试卷 第5页（共10页） （2）若GB3，BC6，BF32，求AB的长.

27.（9分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点，

ACDB.

（1）求证：DC为圆O的切线；

（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F，且CEF45，圆O的半径为5，

sinB35，求CF的长.

2

28.（12分）如图，抛物线yaxbx4经过A3,6，B5,4两点，与y轴交于

点C，连接AB，AC，BC. （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB平分CAO；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角

形.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

数学试卷 第6页（共10页）

2020年甘肃省兰州市初中学业水平考试

数学答案

一、 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】B 10.【答案】D 11.【答案】B 12.【答案】C 二、

13.【答案】yxyxy 14.【答案】1＜x＜3

15.【答案】112

16.【答案】353 三、

17.【答案】解：原式4121172.

18.【答案】解：移项，得3x22x2，配方，得312717x33，解得x13，

x1723. 19.【答案】解：原式x24x4x115x1x2x2，代入x2得原式2.

20.【答案】（1）略 2）略

数学试卷 第7页（共10页） 21.【答案】（1）17 20 （2）10 10

（3）36020%72. （4）2000350120（人） 【解析】（1）a1326%71310317，b10(1326%)20%. （2）由中位数和众数的定义即可得10，10. （3）具体解题过程见答案. （4）具体解题过程见答案. 22.【答案】（1） x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 y 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 （2）

14（一共12个点坐标，有三个点坐标在上面.） 【解析】具体解题过程见答案.

23.【答案】解：过B点作CD的垂线，垂足为F设CDx米，则DFx3（米），

BFAC，BFDEtan303x，ACAECE18CDtan301833x，即

3x1833x，解得，x93，即CD长为93米. 【解析】具体解题过程见答案.

24.【答案】（1）y402x12x38.

（2）w(2x38)145805(x1)2(x21)22041，故x21时，w值最大，为

2041元，即第21天时，利润最大，最大利润为2 041元. 【解析】具体解题过程见答案. 25.【答案】（1）y21x1，y2x. （2）(2,0)(1,).

（3）C点的坐标为(13,1)和(13,1)；解析：易知D1,1，设C点坐标为x,1，

故AC(x1)232，BC|x1|，由AC2BC可知，AC24BC2，即

数学试卷 第8页（共10页）

（

(x1)2324(x1)2，解得x113，x213.故C点的坐标为(13,1)和(13,1).

【解析】具体解题过程见答案. 26.【答案】（1）

E是AC的中点，AECE，AF∥CD，FAEDCE，又

AEFCED，AECE，△AEF≌△CED(ASA)，AFCD，又AF∥CD，四边形AFCD是平行四边形.

（2）

BF∥CD，易得△GBF∽△GCD，GBGCBF9CD，代入数值，可得CD2，又AFCD92ABAFBF6，即AB的长为6. 【解析】具体解题过程见答案.

27.【答案】（1）连接OC，OBOC，OBCOCB，

AB是圆O的直径，

ACB90，OCAOCB90，DACOCA90，OCCD，CD是圆O的切线．

（2）由CEF45，ACB90，可知，CFECEF45，即CFCE.由

sinB35，可得AC6，由勾股定理得，BC8，设CFCEx，由

CDEBDF，ECDFDB，可知，△CED相似于△BFD，即BFFD8xCECDx 1，由CFDAED，EDAFDC，可知△CFD相似于△AED，即

CFAEFDEDx6x1，联立①②得，x247，即CF的长为247. 【解析】具体解题过程见答案.

28a1.【答案】（1）将A，B两点的坐标分别代入，得9a3b40625a5b44，解得5，

b6故抛物线的表达式为y156x26x4.

k1（2）证明：设直线AB的表达式为ykxb'，则3kb'025kb'4，解得，故直线

b'32AB的表达式为y132x2.设直线AB与y轴的交点为点D，则点D的坐标为

数学试卷 第9页（共10页） 0,32.易得点C的坐标为

0,4，则由勾股定理，可得

AC0(3)2(40)25.设点B到直线AC的距离为h，则

12hAC12CD312CD5，解得h4.易得点B到x轴的距离为4，故AB平分CAO.

（3）存在.易得抛物线的对称轴为直线x552，设点M的坐标为2,m.由勾股定理，得AB25(3)2(40)280，AM52221212(3)m04m2，2BM2525m(4)2m28m894.当AM为该直角三角形的斜边时，有

AM2AB2BM2，即1214m280m28m894，解得m9，故此时点M的坐标为52,9.

当BM为该直角三角形的斜边时，有BM2AB2AM2，即

m28m894801214m2，解得m11，故此时点M的坐标为52,11.综上所

述，点M的坐标为52,95或2,11.

【解析】具体解题过程见答案.

数学试卷 第10页（共10页）