古城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 抛物线x=﹣4y2的准线方程为（ ） A．y=1 B．y=

C．x=1 D．x=

2． 设集合S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，则实数a的取值范围是（ ） A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1

C．a≤﹣3或a≥﹣1

D．a＜﹣3或a＞﹣1

3． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A．

B．

C．

D．

4． 已知是虚数单位，若复数Z2ai在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ） 2i=2（+i），则z=（ ）

A．-2 B．1 C．2 D．3 5． 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z

A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i

6． 已知三个数a1，a1，a5成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{an}的前三 项，则能使不等式a1a2an11a1a21成立的自然数的最大值为（ ） anA．9 B．8 C.7 D．5 7． 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

A5 B4 C3 D2

8． 已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A．4x+2y=5

B．4x﹣2y=5

C．x+2y=5

D．x﹣2y=5

9． 在数列{an}中，a1=3，an+1an+2=2an+1+2an（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（ ） A．7049 B．7052 C．14098 D．14101

10．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）

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A．1：2：3 A．0

B．2：3：4 B．1

C．0∈{0}

C．3：2：4 C．2 D．∅={0}

D．3：1：2

D．3

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（ ） 12．下列关系式中，正确的是（ ） A．∅∈{0} B．0⊆{0}

二、填空题

13．已知过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且

ABBCCA2，则

球表面积是_________.

14．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”；其中所有正确

结论的序号是 ．

15．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），为 ． 16．

+

=．若数列{

= ．

}的前n项和大于62，则n的最小值

三、解答题

17．（本小题满分12分）

如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BDPC，若沿AB将三角形PAB折起，使

PAD，构成四棱锥PABCD，且

（1）求证：平面 BEF平面PAB； （2）当 异面直线BF与PA所成的角为

PCCD2. PFCE时，求折起的角度. 3第 2 页，共 17 页

18．f(x)sin2x

3sin2x. 2A2（1）求函数f(x)的单调递减区间；

（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()1，ABC的面积为33，求的最小值.

19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．

？若存在，说明点D的位置，

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20．如图在长方形ABCD中，

（1）若M是AB的中点，求证：

是CD的中点，M是线段AB上的点，

与

共线；

．

（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；

（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．

21．在ABC中已知2abc，sinAsinBsinC，试判断ABC的形状.

2第 4 页，共 17 页

22．（本小题满分12分）1111]

1已知函数fxalnxa0，aR．

x（1）若a1，求函数fx的极值和单调区间；

（2）若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得fx00成立，求实数的取值范围．

23．如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD上，且CE=DE．

（Ⅰ）求证：AB⊥CE；

（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．

第 5 页，共 17 页

古城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参）

一、选择题

1． 【答案】D

2

【解析】解：抛物线x=﹣4y即为

y2=﹣x， 可得准线方程为x=故选：D．

2． 【答案】A

【解析】解：∵S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R， ∴

，解得：﹣3＜a＜﹣1．

．

故选：A．

3． 【答案】D

【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m 则由题意知解得d=

．

，

故选：D．

【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．

4． 【答案】A 【解析】 试题分析：

4a02ai2ai2i4a(2a2)i，对应点在第四象限，故，A选项正确. 2i52i2i2a20考点：复数运算． 5． 【答案】B

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi， 由z

=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，

22

整理得a+b=2a+2（b﹣1）i．

则

所以z=1+i．

，解得．

第 6 页，共 17 页

故选B．

【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．

6． 【答案】C 【解析】

试题分析：因为三个数a1,a1,a5等比数列，所以a1a1a5,a3，倒数重新排列后恰

2好为递增的等比数列{an}的前三项，为,11111,，公比为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则8422an不等式a1a2an11a1a211n811212n8，整理，得等价为1an12122n27,1n7,nN，故选C. 1

考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 7． 【答案】C

【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3. 8． 【答案】B

，kAB=

=﹣，

【解析】解：线段AB的中点为∴垂直平分线的斜率 k=

=2，

∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0， 故选B．

【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．

9． 【答案】B

+

【解析】解：∵an+1an+2=2an+1+2an（n∈N），∴（an+1﹣2）（an﹣2）=2，当n≥2时，（an﹣2）（an﹣1﹣2）=2，

∴

，可得an+1=an﹣1，

因此数列{an}是周期为2的周期数列． a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4， ∴S2015=1007（3+4）+3=7052．

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【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．

10．【答案】D 【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R， 则球的体积V球=

3圆柱的体积V圆柱=2πR

3

=3：1：2

圆锥的体积V圆锥=

：

故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR：故选D

【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．

11．【答案】D 【解析】解：设等差数列{an}的公差为d， 则S4=4a1+联立解得∴S6=6a1+故选：D

d=3

d=﹣2，S5=5a1+，

d=0，

【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．

12．【答案】C

【解析】解：对于A∅⊆{0}，用“∈”不对，

对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确； 对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．

二、填空题

13．【答案】【解析】111]

 9第 8 页，共 17 页

考点：球的体积和表面积.

【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键. 14．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x． ∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0． ∵f（2x）=2f（x），

kk

∴f（2x）=2f（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确； ②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0． 若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0． …

mm+1

一般地当x∈（2，2），

则∈（1，2]，f（x）=2

m+1

﹣x≥0，

从而f（x）∈[0，+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，

nn+1nnn

∴f（2+1）=2﹣2﹣1=2﹣1，假设存在n使f（2+1）=9， nn

即2﹣1=9，∴2=10，

∵n∈Z，

n

∴2=10不成立，故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数， ∴若（a，b）⊆（2，2

k

k+1

）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．

故答案为：①②④．

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15．【答案】 1 ．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数， ∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

再左右扩展知f（x）为周期函数． 故答案为：1．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

16．【答案】 2 ． 【解析】解：故答案为：2．

=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

三、解答题

17．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

2． 3BAAD从而得到BA平面PAD，试题分析：（1）可先证BAPA，再证CDFE,CDBE可得CD平面BEF,由CD//AB,可证明平面BEF平面PAB；（2）由PAD,取BD的中点G，连接FG,AG,可得PAG即为异面直线BF与PA所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析：

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（2）因为PAD，取BD的中点G，连接FG,AG，所以FG//CD，FG1CD，又AB//CD，21ABCD，所以FG//AB，FGAB，从而四边形ABFG为平行四边形，所以BF//AG，得；同时，

22因为PAAD，PAD，所以PAD，故折起的角度.

3考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质． 18．【答案】（1）k【解析】

3,k5（k）；（2）23. 6第 11 页，共 17 页

试题分析：（1）根据2k得A22x62k3可求得函数f(x)的单调递减区间；（2）由2Af1可23，再由三角形面积公式可得bc12，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1

1131cos2xsin2xsin(2x)， 2226235令2k2x2k，解得kxk，kZ，

262365]（kZ）. ∴f(x)的单调递减区间为[k,k36试题解析:（1）f(x)

考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 19．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1， 又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1）， 设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以∵

=（0，1，），∴

•=（=

且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

，，﹣1）， =0，所以DF⊥AE；

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（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵

=（

，，），

=（

，﹣1），

，

．

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））． 由题可知面ABC的法向量=（0，0，1）， ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=解得

或

=

，即

，

=

，

（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．

20．【答案】

【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），

，

由

，可得

与

共线；

与

垂直，

（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得

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设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），

，

由

=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，

，使得

与

垂直； 在

∴线段AB上存在点

（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，则

有最大值为4．

上的投影最大，

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法， 是中档题．

21．【答案】ABC为等边三角形． 【解析】

试题分析：由sinAsinBsinC，根据正弦定理得出abc，在结合2abc，可推理得到abc，即可可判定三角形的形状．

22

考点：正弦定理；三角形形状的判定．

1a，1；22．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为1，，单调递减区间为0，（2）

e

e，．

【解析】

试题分析：（1）由a1f'x11x12．令f'x0x1．再利用导数工具可得：极小值和x2xx第 14 页，共 17 页

11，再将命题转化为fx在区间(0，e]上的最小值小于．当x0，aa即a0时，f'x0恒成立，即fx在区间(0，e]上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111] 单调区间；（2）求导并令f'x0x①

1e]成立，所以fx在区间(0，e]上单调递减， ，则f'x0对x(0，a11则fx在区间(0，e]上的最小值为fealnea0，

ee显然，fx在区间(0，e]的最小值小于0不成立． 若e11e，即a时，则有 ae 10， a- f'x ②若0fx 1 a0 极小值 1，e a+ ↘ ↗ 11所以fx在区间(0，e]上的最小值为faaln，

aa第 15 页，共 17 页

11由faalna1lna0，得1lna0，解得ae，即ae，，

aa1综上，由①②可知，a，e，符合题意．……………………………………12分

e考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用. 23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°， ∴∠CDB=30°，

∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°， ∴EC⊥BC，

又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC， ∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．

（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF， ∵AC=AB，∴AO⊥BC，

∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，

∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC， 以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系， 设DE=2，则A（0，0，1），B（0，C（0，﹣∴

，0），D（3，﹣2

，﹣1），

=（0，﹣

=（3，﹣

，0）， ，0），

，0），

设平面ACD的法向量为=（x，y，z）， 则

，取x=1，得=（1，

，﹣3），

又平面BCD的法向量=（0，0，1）， ∴cos＜

＞=

=﹣

， ．

∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为

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【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．

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