重庆市石柱中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

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高二（上期）理科数学期末考试题

（一）选择题（每题5分）

1．已知集合A＝{x|02C．存在x0∈R，使得x20≥0 D．不存在x∈R，使得x<0

3.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )

A．EF与CC1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与A1C1异面 D．EF与AD1异面

（第3题） （第4题）

4．已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中面积最大的是( )

A．3 B．25 C．8 D．6

5若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) 4321A. B. C. D. 55556．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有( ) 11111111A．f(2)1

x2

7．设平面区域D是由双曲线y－4＝1的两条渐近线和抛物线y2＝－8x的准线

2

所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x，y)∈D，则x＋y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．0 D．3

m1

8.一次函数y＝－nx＋n的图像同时经过一、三、四象限的必要不充分条件是 ( )A．m>1，且n<1 B．m>0，且n<0 C．mn<0 D．m<0，且n<0

3

9．若直线l过点P(－3，－2)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则直线l的方程为( )

A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或3x＋4y＋15＝0 3

C．x＝－3或y＝－2 D．x＝－3

x2y21

10．设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率e＝2，右焦点F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)在( ) A．圆x2＋y2＝2内 B．圆x2＋y2＝2上 C．圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情况都有可能

11.已知正三棱锥P—ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所2

成角的余弦值为3，则正三棱锥P—ABC的体积为( ) 3323333

A.8h3 B.8h3 C.4h3 D.8h3

12实数x，y满足x|x|－y|y|＝1，则点(x，y)到直线y＝x的距离的取值范围是（ ）

1

A．[1，2) B．(0,1] C．(0，2] D．(，1)

2

（二）填空题（每题5分）

13．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是________． 14.在抛物线y22px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为________ 2

x2y2

15．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点

abP，满足线段PF1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为________．

16.设p:x0且x1，q:xx，则p是q的________条件.

（三） 解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）

17. 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根。若p或q 为真，p且q为假。求实数m的取值范围。

18.设ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比

3数列，且sinAsinC.

4（1）求锐角B的大小；

（2）若x[0,),求函数fxsin(xB)sinx的值域。

x2y219.点A是椭圆点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，1长轴的左端点，

3620且位于x轴上方，PAPF.求点P的坐标；

3

20.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC2

＝CB＝2AB.

(1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

21. 如图，已知A（4a,0)(a0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足ABBQ0，BCCQ. (1)求动点Q的轨迹方程；

(2)设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，

A(4a,0)，求直线AE、AF的斜率之和

13

22.在等腰直角ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发经过BC、CA反射后又回到点P，光线交线段BC于点Q, 交线段CA于点R,若光线QR经过ABC的重心，求线段AP的长度。

4

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高二（上期）理科数学期末考试题答案

命题：彭家虎 审题：罗华成

（一）选择题

1．A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.B 10.A 11.D 12.B

（二）填空题

13.

5 14.2 15. 16.充要

33（三） 解答题

17.解： 由题意p,q中有且仅有一为真，一为假，

0p真x1x2m0m>2，q真<01xx1012m2m2若p假q真，则11m3m1a或m3综上所述：m∈(1,2]∪[3，+∞)．

18. 解：(1)因为a、b、c成等比数列,则b2ac.由正弦定理得sin2BsinAsinC. (2分)

又sinAsinC所以 B=333. (4分) ,所以sin2B.因为sinB0,则sinB2443 （6分）

(2)因为 B=3,则fxsin(x3)sinxsinxcos3cosxsin3sinx

33sinxcosx3sin(x). (9分) 226x[0,),则6x651,所以sin(x)[,1]. (11分) 662故函数fx的值域是[3,3]. (12分) 219解：由已知可得点A（－6，0），F（4，0）

设点P的坐标是(x,y),则AP{x6,y},FP{x4,y}，由已知得

x2y2132则2x9x180,x或x6. 36202(x6)(x4)y20 5

由于y0,只能x3535,于是y3,点P的坐标是(,3). 2222

20. 解析 (1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．

又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.

因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB＝

2

AB，得AC⊥BC. 2

→

以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

→→→

设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量， →n·CD＝0，则→n·CA＝0，

1

x1＋y1＝0，

即 2x1＋2z1＝0.

可取n＝(1，－1，－1)．

→

m·CE＝0，

同理，设m是平面ACE的法向量，则→

m·CA＝0.

1

1

可取m＝(2,1，－2)．

n·m36

从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝. |n||m|33

1y21. 解：（1）设Q(x,y),因为BCCQ,所以B(0,),

33 6

y4y又A(4a,0),所以AB(4a,),BQ(x,),

334由已知ABBQ0,则4axy20,

92y9ax.即Q点轨迹方程为y29ax. （2）设过点A的直线为yk(x4a)(k0).E(x1,y1),F(x2,y2)

y29ax 由ky29ay36a2k0(k0)y1y236a2 yk(x4a)(k0)ky1y2yx24ay1y2x14ay2AEkAFx1 14ax24a(x14a)(x24a)y22又y2y2y2y1119ax1,29ax2， 所以kAEk9a4ay1y29a4ay2AF (x14a)(x24a)(yy1y21y2)(9a4a)，由2(xy1y236a,得kAEkAF=0 14a)(x24a)22. 43

7