榕江县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（ ） A．{5，8}
B．{7，9}
C．{0，1，3}
D．{2，4，6}
2． 三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（ ） A．log0.56＜0.56＜60.5 B．log0.56＜60.5＜0.56
C．0.56＜60.5＜log0.56 D．0.56＜log0.56＜60.5
3． 函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（ ） A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）
4． 曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
11ann，则此数列的第4项是（ ） 22135A．1 B． C. D．
24816． 若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1x没有公共点，则实数k的最大值为（ ）
e1A．－1 B． C．1 D．3 25． 已知数列{an}的首项为a11，且满足an1【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
7． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A．10 13
B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 15
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8． 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
9． 若f（x）为定义在区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①f（x）=
，②f（x）=
，③f（x）=
，④f（x）=
．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
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11．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB．在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B．1﹣ C． D．1﹣
12．已知函数f（x）=31+|x|﹣A．
B．
，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
C．（﹣，） D．
二、填空题
13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
14．等差数列{an}的前项和为Sn，若a3a7a116，则S13等于_________.
15．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P（400＜X＜450）=0.3，则P（550＜X＜600）= ． 16．若复数zsin
34(cos)i是纯虚数，则tan的值为 . 55【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力． 17．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 . 第 3 页，共 17 页
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【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等. 18．函数f（x）=
﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是 ．
三、解答题
19．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD， PD=AD=2EC，EC∥PD．
（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角： （Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
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20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc． （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）如果cosB=
21．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a的取值集合A
abba
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证ab＞ab．
，b=2，求a的值．
22．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R． （Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若
，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数围．
的图象仅有1个公共点，求实数m的取值范
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23．
（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF. （1）求证EF∥BC；
（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．
24．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=为AD的中点，且CD⊥A1O （Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为由．
？若存在，求出BP的长；不存在，说明理
．若O
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榕江县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以CUA={2，4，6，7，9}，CUB={0，1，3，7，9}， 所以（CUA）∩（CUB）={7，9} 故选B
2． 【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1， 0＜0.56＜0.50=1， log0.56＜log0.51=0． ∴log0.56＜0.56＜60.5． 故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
3． 【答案】C
【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0， ∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）． 故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
4． 【答案】B
/22
【解析】解：y=3x﹣2，切线的斜率k=3×1﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．
5． 【答案】B 【解析】
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6． 【答案】C
1，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，xe11等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g10．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没
【解析】令gxfxkx11kx有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．
7． 【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×
，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值ex
8． 【答案】C
【解析】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C
9． 【答案】C
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【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1）， 总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），
等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数）， ①f（x）=②f（x）=③f（x）=＜0恒成立，
故③不为“上进”函数； ④f（x）=
的导数f′（x）=
，f″（x）=
，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．
的导数f′（x）=的导数f′（x）=
，f″（x）=，f″（x）=﹣•
，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数； ＜0恒成立，故②不为“上进”函数；
，f″（x）=
的导数f′（x）=
故④为“上进”函数． 故选C．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
10．【答案】D
【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减
结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C
当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B 故选D
【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题
11．【答案】B
【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为公式可得该点取自阴影部分的概率是故选：B．
【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
；
，所以阴影部分的面积为2﹣，由几何概型
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12．【答案】A
1+|x|
【解析】解：函数f（x）=3﹣
为偶函数，
当x≥0时，f（x）=3∵此时y=3
1+x
1+x
﹣
为减函数，
为增函数，y=
∴当x≥0时，f（x）为增函数， 则当x≤0时，f（x）为减函数， ∵f（x）＞f（2x﹣1）， ∴|x|＞|2x﹣1|， ∴x2＞（2x﹣1）2， 解得：x∈故选：A．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．
，
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，有一侧棱垂直与底面，高为2．∴棱锥的体积V=故答案为．
14．【答案】26 【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得a3a7a113a76a72，由等差数列的求和
=．
S1313(a1a13)13a726．
2
考点：等差数列的性质和等差数列的和． 15．【答案】 0.3 ．
【解析】离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】计算题；概率与统计．
【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）． ∴正态分布曲线的对称轴为x=500， ∵P（400＜ξ＜450）=0.3， 故答案为：0.3．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，
∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键． 16．【答案】3 434430，且cos0，所以cos，则tan. 5554【解析】由题意知sin17．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和15711131754. 18．【答案】 ﹣
．
﹣2ax+2a+1，
【解析】解：∵f（x）=
∴求导数，得f′（x）=a（x﹣1）（x+2）． ①a=0时，f（x）=1，不符合题意；
②若a＞0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（﹣2，1）是为减函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为增函数； ③若a＜0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（﹣2，1）是为增函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为减函数 因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（﹣2）f（1）＜0， 即（
）（
）＜0，解之得﹣
．
故答案为：﹣题．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识，属于基础
三、解答题
19．【答案】
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【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD， ∴EC⊥平面ABCD， 又BD⊂平面ABCD， ∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N， ∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC， ∴BD⊥平面AEC， ∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°． （Ⅱ）∵底面ABCD为正方形， ∴BC∥AD，
∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴ ∴平面BCE∥平面PAD， ∵BE⊂平面BCE， ∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ） 假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF， ∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD， ∴PD⊥CD，PD⊥AD， ∵PD=AD，F是PA的中点， ∴DF⊥PA， ∴∠PDF=45°，
∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD， ∴DF⊥平面PAE， ∴DF⊥PE，
∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D， ∴CD⊥平面PAD． 又DF⊂平面PAD， ∴DF⊥CD，
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∵PD=2EC，EC∥PD， ∴PE与CD相交， ∴DF⊥平面PDCE， ∴DF⊥PD，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．
【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．
20．【答案】
222222
【解析】解：（Ⅰ）∵b+c=a+bc，即b+c﹣a=bc，
∴cosA=
又∵A∈（0，π）， ∴A=
；
=，
（Ⅱ）∵cosB=∴sinB=
，B∈（0，π）， =
，
由正弦定理=，得a===3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
21．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10， 即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10， 所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）； （2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b， ∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1， 则
＞1恒成立，即
＞1，
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abab
所以，a﹣＞b﹣，
bb
将该不等式两边同时乘以ab得，
aabb＞abba，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．
22．【答案】
xxxx
【解析】解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=（x﹣1）e，f′（x）=e+（x﹣1）e=xe，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f（1）=e． 又∵f（1）=0，∴所求切线方程为y=e（x﹣1）， 即．ex﹣y﹣4=0
x2x2xx
（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）e+（ax+x﹣1）e=[ax+（2a+1）x]e=[x（ax+2a+1）]e，
①若a=﹣，f′（x）=﹣x2ex≤0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）， ②若a＜﹣，当x＜﹣当﹣
或x＞0时，f′（x）＜0；
＜x＜0时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣]，[0，+∞）；单调递增区间为[﹣，0]．
2x
（Ⅲ）当a=﹣1时，由（Ⅱ）③知，f（x）=（﹣x+x﹣1）e在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
在[﹣1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，在x=0处取得极大值f（0）=﹣1， 由
2
，得g′（x）=2x+2x．
当x＜﹣1或x＞0时，g′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0． 故g（x）在x=﹣1处取得极大值在x=0处取得极小值g（0）=m，
，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
∵数f（x）与函数g（x）的图象仅有1个公共点， ∴g（﹣1）＜f（﹣1）或g（0）＞f（0），即.
．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE.
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又B，C，F，E四点共圆， ∴∠ABC＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC. （2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形， 又EB＝EF＝2， ∴AF＝FC＝2，
设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y， 在△AED中，由余弦定理得 DE2＝AE2＋AD2－2AD·AEcos A.
1即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×，
2∴x2－y2＝4－2y，①
由切割线定理得DE2＝DF·DC， 即x2＝y（y＋2）， ∴x2－y2＝2y，②
由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝3. 24．【答案】
【解析】满分（13分）． （Ⅰ）证明：∵∠A1AD=∴A1O=∴
+AD2=AA12，
，且AA1=2，AO=1，
=
，…（2分）
∴A1O⊥AD．…（3分） 又A1O⊥CD，且CD∩AD=D， ∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，∵且取z=1，得
=
=
，
．…（8分）
），…（6分）
=（x，y，z），
设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为
=（1，m+1，0），
又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1
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∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD， ∴CD⊥平面A1ADD1． 不妨设平面A1ADD1的法向量为由题意得
=
=（1，0，0）．…（10分） =
，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为
．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．
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