2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区九年级(上)期中数学试卷 (解析版)

一．选择题（共10小题）. 1．（3分）已知A．

5 2a2ab的值为( ) ，则

b3a5B．

3C．

3 2D．

2 32．（3分）如图，点A，B，C在圆O上，若BOC72，则BAC的度数是( )

A．72

B．

C．36

D．18

3．（3分）把抛物线yx24先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为( ) A．y(x1)27

B．y(x1)27

C．y(x1)21

D．y(x1)21

4．（3分）在圆内接四边形ABCD中，A:B:C:D的度数之比可能是( ) A．1:2:3:4

B．4:2:1:3

C．4:2:3:1

D．1:3:2:4

5．（3分）如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC∽ADE的是( )

A．BD

B．CAED

C．

ABDE ADBCD．

ABAC ADAE6．（3分）一个扇形的弧长是10cm，面积是60cm2，则此扇形的圆心角的度数是(

)

A．300

B．150

C．120

D．75

7．（3分）点(2，y1)(3，y2)是抛物线y(x1)2m上的点，则y1，y2的大小关系为( )

A．y1y2 B．y1y2 C．y1y2

D．无法确定

8．（3分）如图， 已知AB和CD是O的两条等弦 ．OMAB，ONCD，垂足分

别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP． 下列四个说法中： ①ABCD；②OMON；③PAPC；④BPODPO，正确的个数是( )

A ． 1

B ． 2

C ． 3 D ． 4

9．（3分）如图，半径为5的A中，弦BC，若DE6，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD，BACEAD180，则弦BC的弦心距长等于( )

A．4

B．3

C．34 2D．41 210．（3分）如图是抛物线yax2bxc(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论： ①b2a； ②can；

③抛物线另一个交点(m,0)在2到1之间； ④当x0时，ax2(b2)x0；

1⑤一元二次方程ax2(b)xc0有两个不相等的实数根

2其中正确结论的个数是( )

A．1个 二．填空题

11．（3分）抛物线y3(x6)29的顶点坐标是 ．

12．（3分）在RtABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为 ． 13．（3分）如图，已知ABC∽ACP，A70，APC65，则B ．

B．2个

C．3个

D．4个

14．（3分）已知，在矩形ABCD中，AB3，AD4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在

A外，则半径r的范围是 ．

15．（3分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M(1,3)的特征线有：x1，y3，yx2，yx4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别1在x轴和y轴上，抛物线y(xa)2b经过B，C两点，顶点D在正方形内部．

8

若点D有一条特征线是yx2，则此抛物线的表达式是 ．

16．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB4cm，CAB60，P是

弧BC上的一个动点，连接AP，过C点作CDAP于D，连接BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是 ．

三．解答题

17． 如图所示，已知ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A(1,1)、B(4,3)、C(4,1)． （1）作出ABC关于原点O中心对称的图形△ABC；

（2）将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点的坐标．

18．已知：如图，点C，且AC1，求D在线段AB上，DB4．PCD是等边三角形，CD2，证：ACP∽PDB．

19．如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OC//BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AEED；

（2）若AB8，CBD30，求图中阴影部分的面积．

20．如图，在平面直角坐标系中，直线y5x5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2bxc经过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）x2bxc5x5的解集是 ；

（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，ABM面积为ABC的面积的

4倍，求此时点M的坐标． 5

21．如图，四边形ABCD内接于O，AC平分BAD，延长DC交AB的延长线于点E． （1）若ADC86，求CBE的度数； （2）若ACEC，求证：ADBE．

22．某商场经营某种品牌的计算器， 购进时的单价是 20 元， 根据市场调查： 在一段时间内， 销售单价是 30 元时， 销售量是 600 个， 而销售单价每上涨 1 元， 就会少售出 10 个 ．

（1） 不妨设该种品牌计算器的销售单价为x元(x30)，请你分别用x的代数式来表示销

售量y个和销售该品牌计算器获得利润w元， 并把结果填写在表格中：

销售单价 （元) 销售量y（个) 销售计算器获得利润w（元) x(x30) （2） 在第 （1） 问的条件下， 若计算器厂规定该品牌计算器销售单价不低于 35 元， 且商场要完成不少于 500 个的销售任务， 求： 商场销售该品牌计算器获得最大利润是多少？

23．四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

（1）如图1，在四边形ABCD中，ABC100，ADC130，BDBC，对角线BD平分ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（2）如图2，已知格点ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注:顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）

（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP:y3x(x0)上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分AOB，连接AB．若OC是四边形AOBC的“相似对角线”， SAOB63，求点C的坐标．

24．已知抛物线ya(x1)(x3)(a0)的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB//x轴交抛物线于点，过点B作直线lx轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB． （1）当a1时，求线段OB的长．

（2）是否存在特定的a值，使得OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．

（3）设OBD的外心M的坐标为(m,n)，求m与n的数量关系式．

参

一．选择题 1．（3分）已知A．解：

a2ab的值为( ) ，则

b3a5B．

35 2a2， b3C．

3 2D．

2 3b3， a2ab235， a22故选：A．

2．（3分）如图，点A，B，C在圆O上，若BOC72，则BAC的度数是( )

A．72

B．

C．36

D．18

11解：BACBOC7236．

22故选：C．

3．（3分）把抛物线yx24先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为( ) A．y(x1)27

B．y(x1)27

C．y(x1)21

D．y(x1)21

解：抛物线yx24的顶点坐标为(0,4)，

向左平移1个单位，再向下平移3个单位顶点坐标为(1,1)， 平移后抛物线解析式为y(x1)21

故选：D．

4．（3分）在圆内接四边形ABCD中，A:B:C:D的度数之比可能是( )

A．1:2:3:4 B．4:2:1:3 C．4:2:3:1 D．1:3:2:4

解：圆的内接四边形对角互补， ACBD180，

A:B:C:D的可能的值是4:2:1:3．

故选：B．

5．（3分）如图，如果BADCAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC∽ADE的是( )

A．BD 解：BADCAE， DAEBAC，

B．CAED C．

ABDE ADBCD．

ABAC ADAEA，B，D都可判定ABC∽ADE

选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C．

6．（3分）一个扇形的弧长是10cm，面积是60cm2，则此扇形的圆心角的度数是(

)

A．300 解：

B．150

C．120

D．75

一个扇形的弧长是10cm，面积是60cm2，

S11Rl，即60R10， 22解得：R12，

n122S60，

360解得：n150， 故选：B．

7．（3分）点(2，y1)(3，y2)是抛物线y(x1)2m上的点，则y1，y2的大小关系为(

)

A．y1y2 B．y1y2 C．y1y2

D．无法确定

解：二次函数的解析式为y(x1)2m， 抛物线的开口向下，对称轴为直线x1， 当x1时，y随x的增大而增大，

123，

y1y2．

故选：A．

8．（3分）如图， 已知AB和CD是

O的两条等弦 ．OMAB，ONCD，垂足分

别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP． 下列四个说法中： ①ABCD；②OMON；③PAPC；④BPODPO，正确的个数是( )

A ． 1

B ． 2

C ． 3 D ． 4

解： 如图连接OB、OD；

ABCD，

ABCD，故①正确

OMAB，ONCD，

AMMB，CNND，

BMDN， OBOD，

RtOMBRtOND， OMON，故②正确， OPOP，

RtOPMRtOPN，

PMPN，OPBOPD，故④正确， AMCN，

PAPC，故③正确，

故选：D．

9．（3分）如图，半径为5的A中，弦BC，若DE6，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD，BACEAD180，则弦BC的弦心距长等于( )

A．4

B．3

C．34 2D．41 2解：作直径CF，连接BF，如图，

BACEAD180，BACBAF180，

BAFEAD， BFDE6，

AF为直径， CBF90，

作AHBF，如图， BHCH，

AH为CBF的中位线， AH1BF3， 2即弦BC的弦心距长等于3． 故选：B．

10．（3分）如图是抛物线yax2bxc(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论： ①b2a； ②can；

③抛物线另一个交点(m,0)在2到1之间； ④当x0时，ax2(b2)x0；

⑤一元二次方程ax2(b12)xc0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是( )

A．1个

B．2个

C．3个

解：①因为抛物线的对称轴为x1， 即b2a1，所以b2a， 所以①错误； ②当x1时，yn，

所以abcn，因为b2a， 所以acn， 所以②正确；

③因为抛物线的顶点坐标为(1,n)， 即对称轴为x1，

D．4个

且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间， 所以抛物线另一个交点(m,0)在2到1之间； 所以③正确；

④因为ax2(b2)x0，即ax2bx2x 根据图象可知：

把抛物线yax2bxc(a0)图象向下平移c个单位后图象过原点， 即可得抛物线yax2bx(a0)的图象， 所以当x0时，ax2bx2x， 即ax2(b2)x0． 所以④正确；

1⑤一元二次方程ax2(b)xc0

21△(b)24ac

2因为根据图象可知：a0，c0， 所以4ac0，

1所以△(b)24ac0

21所以一元二次方程ax2(b)xc0有两个不相等的实数根．

2所以⑤正确． 故选：D． 二．填空题

11．（3分）抛物线y3(x6)29的顶点坐标是 (6,9)． ． 解：

y3(x6)29是抛物线解析式的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(6,9)．

故答案为：(6,9)．

12．（3分）在RtABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为 5 ． 解：由勾股定理得：AB628210， ACB90，

AB是O的直径，

这个三角形的外接圆直径是10； 这个三角形的外接圆半径长为5，

故答案为：5．

13．（3分）如图，已知ABC∽ACP，A70，APC65，则B 45 ．

解：ABC∽ACP， ACBAPC65， A70，

B180AACB180706545．

故答案为45．

14．（3分）已知，在矩形ABCD中，AB3，AD4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在

A外，则半径r的范围是 4r5 ．

解：由题意可知，r必须大于或等于AD，且小于AC， 而AD4，

AC32425，

所以r的范围为：4r5． 故答案为4r5．

15．（3分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M(1,3)的特征线有：x1，y3，yx2，yx4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别

1在x轴和y轴上，抛物线y(xa)2b经过B，C两点，顶点D在正方形内部．

8

1若点D有一条特征线是yx2，则此抛物线的表达式是 y(x4)26 ．

8解：由题意可知D(a,b)在yx2上， ba2，

正方形的边长为2a，

C(0,2a)，

1将点C代入y(xa)2b得到，

81(a)2a22a， 8a4

1y(x4)26，

81故答案为y(x4)26．

816．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB4cm，CAB60，P是弧BC上的一个动点，连接AP，过C点作CDAP于D，连接BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是 (131)cm ．

解：如图，以AC为直径作圆O，连接BO、BC．

CDAP，

ADC90，

在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，

AB是直径， ACB90，

在RtABC中，AB4cm，CAB60，

BCABsin6023，ACABcos602cm．

在RtBCO中，BOBC2OC212113，

ODBDOB，

当O、D、B共线时，BD的值最小，最小值为OBOD131，

故答案为(131)cm． 三．解答题

17． 如图所示，已知ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A(1,1)、B(4,3)、C(4,1)． （1）作出ABC关于原点O中心对称的图形△ABC；

（2）将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点的坐标．

解：（1）如图所示，△ABC即为所求；

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(1，1)B1(3，4)C1(1,4)．

18．已知：如图，点C，且AC1，求D在线段AB上，DB4．PCD是等边三角形，CD2，证：ACP∽PDB．

【解答】证明：PCD是等边三角形， PCDPDC60，PCCDPD2， PCAPDB120， AC1，BD4， 

AC1PD1，， PC2BD2ACPD， PCBDACP∽PDB．

19．如图，已知AB是O的直径，C，D是O上的点，OC//BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AEED；

（2）若AB8，CBD30，求图中阴影部分的面积．

【解答】证明：（1）ADB90， OC//BD，

AEOADB90，

AB是O的直径，

即OCAD， AEED；

（2）连接CD，OD，

OC//BD，

OCBCBD30， OCOB，

OCBOBC30， AOCOCBOBC60， COD2CBD60， AOD120，

S阴S扇形OADSADO1204211643243

3602320．如图，在平面直角坐标系中，直线y5x5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2bxc经过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）x2bxc5x5的解集是 0x1 ；

（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，ABM面积为ABC的面积的

4倍，求此时点M的坐标． 5

解：（1）因为直线y5x5与x轴、y轴分别交于A，C两点， 所以当x0时，y5，所以C(0,5) 当y0时，x1，所以A(1,0)

因为抛物线yx2bxc经过A，C两点， 所以c5，1b50，解得b6， 所以抛物线解析式为yx26x5．

当y0时，0x26x5．解得x11，x25． 所以B点坐标为(5,0)．

答：抛物线解析式为yx26x5． B点坐标为(5,0)；

（2）观察图象可知：

x2bxc5x5的解集是0x1．

故答案为0x1． （3）设M(m,m26m5) 因为SABM441SABC458． 5521所以4|m26m5|8

2所以|m26m5|4．

所以m26m90或m26m10 解得m1m23或m322．

所以M点的坐标为(3,4)或(322，4)或(322，4)． 答：此时点M的坐标为(3,4)或(322，4)或(322，4)．

21．如图，四边形ABCD内接于O，AC平分BAD，延长DC交AB的延长线于点E． （1）若ADC86，求CBE的度数； （2）若ACEC，求证：ADBE．

【解答】（1）解：四边形ABCD内接于O， ADCABC180，

又ADC86， ABC94，

CBE1809486；

（2）证明：ACEC，

ECAE， AC平分BAD， DACCAB， DACE，

四边形ABCD内接于O， ADCABC180，

又CBEABC180， ADCCBE，

在ADC和EBC中，

ADCEBC， DACEACECADCEBC，

ADBE．

22．某商场经营某种品牌的计算器， 购进时的单价是 20 元， 根据市场调查： 在一段时间内， 销售单价是 30 元时， 销售量是 600 个， 而销售单价每上涨 1 元， 就会少售出 10 个 ．

（1） 不妨设该种品牌计算器的销售单价为x元(x30)，请你分别用x的代数式来表示销售量y个和销售该品牌计算器获得利润w元， 并把结果填写在表格中：

销售单价 （元) 销售量y（个) 销售计算器获得利润w（元) x(x30) 10x900 （2） 在第 （1） 问的条件下， 若计算器厂规定该品牌计算器销售单价不低于 35 元， 且商场要完成不少于 500 个的销售任务， 求： 商场销售该品牌计算器获得最大利润是多少？

解： （1） 由题意可得，

y60010(x30)10x900；

w(x20)(10x900)10x21100x18000，

即y10x900，w10x21100x18000， 故答案为：y10x900，w10x21100x18000；

（2） 由题意可得，解得，35x40，

x35，

90010x500w10x21100x180010(x55)218000，

当x40时，w取得最大值， 此时w10(4055)21800010000，

即商场销售该品牌玩具获得最大利润是 10000 元 ．

23．四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

（1）如图1，在四边形ABCD中，ABC100，ADC130，BDBC，对角线BD平分ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（2）如图2，已知格点ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注:顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）

（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP:y3x(x0)上，点B在x轴正半轴上，对角线OC平分AOB，连接AB．若OC是四边形AOBC的“相似对角线”， SAOB63，求点C的坐标．

解：（1）如图1，对角线BD平分ABC，则ABDDBC50， ADB180ABDA130A，

BDCADCADB130(130A)A，又ABDDBC50， ABD∽DBC，

即BD是四边形ABCD的“相似对角线”； （2）如下图所示： ABCACD190，

ABBC，ABC∽ACD1， ACCD1故：以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1，

同理可得：以AC为“相似对角线”的四边形还有：ABCD2、ABCD3、ABCD4； 故：以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1、ABCD2、ABCD3、ABCD4；

（3）OACOCB，AOC∽COB， 则：OAOBOC2， SAOB113OByAOBOAsin60OAOB63， 224即：OAOB24，即：OC26， yCOCsin306，同理可得：xC32，

即点C的坐标为(32，6)．

24．已知抛物线ya(x1)(x3)(a0)的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB//x轴交抛物线于点，过点B作直线lx轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB． （1）当a1时，求线段OB的长．

（2）是否存在特定的a值，使得OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．

（3）设OBD的外心M的坐标为(m,n)，求m与n的数量关系式．

解：ya(x1)(x3)a(x24x3)，

则点C(0,3a)、函数的对称轴为：x2，则点B(4,3a)，点A(2,a)，点D(4,2a)； （1）点B(4,3)，故OB5；

（2）OD2164a2，OB2169a2，BD225a2，

①当ODOB时，即164a2169a2，解得：a0（舍去）； ②当ODBD时，同理可得：a21（正值已舍去）； 4③当OBBD时，同理可得：a1（正值已舍去）； 综上，a1或

1（3）线段OD的函数表达式为：yax，直线OD的中点为点A(2,a)，

221； 4则线段OD的中垂线的表达式为：y将点A的坐标代入上式并解得： 线段OD的中垂线的表达式为：y线段BD的中垂线的表达式为：y联立①②并解得：x故m3n22．

2xb， a24xa①， aa1a②， 2321a2m，yan， 42