第３３卷第２期 ２０１７年６月 焦作师范高等专科学校学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＪＩＡＯＺＵＯ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣＯＬＬＥＧＥ Ｖ０１．３３．ＮＯ．２ Ｊｕｎ．２０１７ 一道数学分析考研题的一般形式水 张智倍 ，吕月明 （１．黑龙江民族职业学院预科部，黑龙江哈尔滨１５００６６２；２哈尔滨理工大学应用数学系，黑龙江哈尔滨１５００８０） 摘要：介绍哈尔滨工业大学２００６年一道数学分析考研题的一般形式，并给出用狄利克雷判别法、绝对收敛与收敛关 系、柯西法则、方程式法等四种证法． 关键词：数学分析；证法；一般形式； 中图分类号：０１７３．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—３４６５（２０１７）０２—００６９一Ｏ２ 在学生学习过程中，应该注重发散性思维能力 的培养，在解题时，一题多解是数学学习过程中发散 性思维的体现．本文给出哈尔滨工业大学２００６年一 Ｊｔ ｌｉｍ ｎ＝０，由狄利克雷判别法知， —“ 收敛，即 ｛ ｝收敛． 证法二 利用绝对收敛与收敛关系． 道数学分析考研题的一般形式，并给出多种解法． ２００６年哈尔滨工业大学理学院数学系硕士研 究生入学考试的一道试题为 对于级数∑ｑｋｃｏｓｋａ，因为ｑｋｃｏｓｋｏｚ＜ｑ ，而 ∑ｑ 收敛，由比较原则， ∑ｑ ｃｏｓｋａ绝对收敛，即｛ ｝收敛． 证法三 利用柯西法则． 记ｈ：一１ｑ —设 ：掣＋掣＋．．・＋ ｃｏｓｎ，证明 收敛． 下面给出此题的一般形式，并用狄利克雷判别 法、绝对收敛与收敛关系、柯西法则、方程式法给出 证明…． １，则ｈ＞０，进而１一ｑ：ｇ ，对于 设Ｘ ｑｃｏｓａ＋ｑ２ｃｏｓ２ａ＋…＋ｇ“ｃｏｓｎｏｌ（０＜ｑ Ｖｐ∈Ｎ，有 ＜１，０＜ ＜２７ｒ），证明｛ ｝收敛． 证法一 利用狄利克雷判别法． 令Ｍ ＝ＣＯＳｎＯｌ，口 ｑ ，由于 １ Ｘ ＋ 一Ｘ Ｉ＝Ｉ ｑｎ＋ｌＣＯＳ（ｎ＋１） ＋ｑｎ＋２ＣＯＳ（ｎ＋ ２） ＋…＋ｇ“ ｃｏｓ（ｎ＋ｐ） ｌ＜ｑ“（ｑ＋ｑ ＋…＋ｑ ） 口“ １ １ ２ｓｉｎ了ｘ（了１＋∑ｃ。ｓ ）＝ｓｉｎ号＋（ｓｉｎ÷ａ一 …＜ ＜ 丽＜ ，则当ｎ＞Ｎ 占几 ＋［ｓｉｎ（ｎ＋ １） —ｓｉｎ（ｎ— １） ］＝ 对任给的占＞０，只要取Ⅳ＝ ｓｉｎ（ｎ＋ １）ａ， 时，对于Ｖｐ∈Ｎ，有Ｉ …一 Ｉ＜ ，即｛ ｝收敛． 证法四 利用方程式法． 当０＜ａ＜２仃，ｓｉｎ号≠０，故得到 ｎＸ ＝∑ｑ％ｏｓｋａ，两边同乘以２ｑｃ。ｓ ，得 ＝… ｑ ［ｃ。ｓ（ 十 ）ａ＋ｃ。ｓ（ 一 ）ａ］， 故∑ｕ 的部分和数列有界，又由于｛ 单调递减 Ｅ 收稿日期：２０１７—０３—１５ 等 ｌ ２ｑｃ。ｓ ：∑２ｑＭＴ ｃｏｓ ｃ。ｓｋａ＝ 基金项目：黑龙江省高等教育学会青年专项课题“互联网＋背景下黑龙江省民族预科提高《高等数学》教学质量的方法研究”（１６Ｑ３５Ｏ） 作者简介：张智倍（１９８７一），女，黑龙江双城人，黑龙江民族职业学 预科部讲师，理学硕士，研究方向为偏微分方程反问题． ・６９・ 焦作师范高等专科学校学报 且ｐ ２ｑｃｏｓａＸ ＝（ｑ ＣＯＳ（ｎ＋１） ＋Ｘ 一ｑｃｏｓ￣） ＋（ｑ ＋ｑ２Ｘ 一ｑｎ＋２ｃｏｓｎ￣）， ｑ＜ｌ可放宽至『ｑ ｌ＜１． 注二 此题还可改为：“设Ｘ ＝ｑｓｉｎａ＋ 解此方程得 Ｘ ＝ ｇ２ ｓｉｎ２ａ＋…＋ｇ ｓｉｎｎａ（Ｏ＜ｑ＜１），证明｛ ｝收 敛”． ！竺！ 二 ：！竺 （ ± ２ ±垡！ ！ 二 １＋ｑ 一２ｑｃｏｓａ ［参考文献］ ［１］华东师大数学系．数学分析（上｛ｌ｝Ｉ）［Ｍ］．ｊＥ京：高等教育出版 社，２００１：１７—２４． — 一１ ｑ 一２ｑｃｏｓａ 二 一（ｎ一。。）．即｛ ｝收敛． 。 ” 注一 利用证法三及证法四证明时，条件０＜ （上接第６８页） ｄ・ ［责任编辑：牛俊英］ ａＬ一 ＯＬ＝。， ｄ・ ＯＬ一 ＯＬ２０１０（１１）：１６—２０． ＝。可得⑥式 ［２］梁昆淼．力学（第四版）（上、下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版 社．２０１２． 及⑦式 ３讨论 ［３］王其申．经典力学（下册）［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版 社，２０１０：１９８． 由上面的分析讨论可知，在用拉格朗日方程处 理问题时要认真分析约束力和主动力 ，只有符合 条件时，才能用拉格朗日函数代人方程求解． 谨以此文纪念梁昆淼先生． ［参考文献］ ［１］尹新国，杨远贵，公丕锋，等．倒置摆的运动研究［Ｊ］．大学物理 ［４］周衍柏．理论力学［Ｍ］．南京：江苏科学技术出版社，１９７９：３２３． ［５］郭士越．理论力学（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社， ｌ９８５：３６． ［６］吴承埙．经典力学一理论纲要与习题［Ｍ］．长春：吉林大学出版 树：．Ｉ９８９：１３１—１３２． ［责任编辑：牛俊英］ ・７０・
