牛顿第二定律中的临界和极值问题

1．如图所示，物块A放在倾斜的木板上，已知木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块和木板间的动摩擦因数为( )． 1A． 2C．

2．如图所示，用轻滑轮悬挂重为G的物体．轻绳总长为L，绳能承受的最大拉力是2G，现将轻绳一端固定，另一端缓慢向右移动距离d而使绳不断，则d的最大值为( )． A． 22LC．

3

3．如图所示，粗糙水平面上放置B、C两物体，A叠放在C上，A、B、C的质量分别为m、2m和3m，物体

2 2

B．

3 25 2

D．

LB．D．

2

L 215L 4

B、C与水平面间的动摩擦因数相同，其间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为FT．现

用水平拉力F拉物体B，使三个物体以同一加速度向右运动，则 A．此过程中物体C受重力等五个力作用 B．当F逐渐增大到FT时，轻绳刚好被拉断 C．当F逐渐增大到1．5FT时，轻绳刚好被拉断 D．若水平面光滑，则绳刚断时，A、C间的摩擦力为

6

4．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为m0的托盘，托盘上有一个质量为m的木块．用竖直向下的力将原长为l0的弹簧压缩后突然撤去外力，则m即将脱离m0时的弹簧长度为( )． A．l0 C．l0－

B．l0－D．l0－

5．一盏电灯重力为G，悬于天花板上A点，在电线O处系一细线OB，使电线OA与竖直方向的夹角为β＝30°，如图所示，现保持β角不变，缓慢调整OB方向至OB线拉力最小为止，此时OB与水平方向的夹角

( )．

FT

m0＋mg kmgkm0g kα等于多少？最小拉力是多少？

1

6．一弹簧秤的秤盘质量M＝1.5 kg，盘内放一质量为m＝10.5 kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k＝800 N/m，系统处于静止状态，如图所示．现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2 s内F是变化的，在0.2 s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少(g＝10 m/s)?

7．电视台推出了一个游戏节目——推矿泉水瓶．选手们从起点开始用力推瓶一段时间后，放手让瓶向前滑动，若瓶最后停在桌上有效区域内，视为成功；若瓶最后不能停在桌上有效区域内或在滑行过程中倒下，均视为失败．其简化模型如图所示，AC是长度为L1＝5 m的水平桌面，选手们可将瓶子放在A点，从A点开始用一恒定不变的水平推力推瓶，BC为有效区域．已知BC长度为L2＝1 m，瓶子质量为m＝0．5 kg，瓶子与桌面间的动摩擦因数μ＝0．4．某选手作用在瓶子上的水平推力F＝20 N，瓶子沿AC做直线运动(g取10 m/s)，假设瓶子可视为质点，那么该选手要想游戏获得成功，试问： (1)推力作用在瓶子上的时间最长不得超过多少？ (2)推力作用在瓶子上的距离最小为多少？

1

8．如图所示，一水平传送装置由轮半径为R＝m的主动轮Q1和从动轮Q2及传送带等构成．两轮轴心相距

π8 m，轮与传送带不打滑，现用此装置运送一袋面粉(可视为质点)，已知这袋面粉与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0．4，这袋面粉中的面粉可不断地从袋中少量渗出．(g＝10 m/s)

2

2

2

(1)当传送带以4 m/s的速度匀速运动时，将这袋面粉由左端Q1轴心正上方A点轻放在传送带上后，这袋面粉由A点运送到Q2轴心正上方的B点所用的时间为多少？已知这袋面粉质量为50 kg，渗出面粉的质量不计，求摩擦力对这袋面粉所做的功？

(2)要想尽快将这袋面粉(初速度为零)由A点送到B点，传送带速度至少多大？

(3)由于面粉的渗漏，在运送这袋面粉的过程中会在深色传送带上留下白色的面粉痕迹，这袋面粉(初

2

临界和极值问题

1．答案 C解析 由题意可以判断出，当倾角α＝30°时，物块受到的摩擦力是静摩擦力，大小为Ff1＝mgsin 30°，当α＝45°时，物块受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为Ff2＝μFN＝μmgcos 45°，由Ff1＝Ff2得μ＝

2． 2

2．答案 D解析 以轻绳与滑轮接触处的一小段绳为研究对象，其受到轻滑轮对它的作用力大小等于

GG，两边的轻绳对它的等大的拉力为FT，设当d达到最大值时两绳张角为2θ，则FTcos θ＝，cos θ2

＝

L2－d222

L2

，比较两式易得最大值为

15

L，D项正确． 4

3．答案 C解析 三物体一起向右加速运动时，C受重力、水平面的支持力和摩擦力、物体A的压力和摩擦力及绳的拉力共六个力作用，A错；取三物体为整体则有F－6μmg＝6ma，取A、C为整体则有

FT－4μmg＝4ma，所以当绳要断时，联立以上两式可得F＝1．5FT，B错、C对；若水平面光滑，则a＝

FFFT

，隔离A则有FfCA＝ma＝＝，D错． 6m

m0g；当再加上木块时，弹簧被压缩的长k4．答案 A解析 弹簧上端只有托盘时，弹簧被压缩的长度为度为量为

m0＋mg；在力的作用下，弹簧被压缩得更多．撤去外力后，两者加速向上运动，当到达压缩km0＋mg时，速度达到最大而加速度为零，显然这时木块和托盘之间有压力作用，且压力等于k木块的重力．再向上做减速运动，由于木块处于失重状态，对托盘的压力变小．当恰好分离时，两者恰好无相互作用力，两者都处于完全失重状态，所以弹簧为原长，选项A正确． 5．答案：30°

2

解析：对电灯受力分析如图所示，据三力平衡特点可知：OA、OB对O点的作用力TA、TB的合力T与G等大反向，即T＝G①

在△OTBT中，∠TOTB＝90°－α ，又∠OTTB＝∠TOA＝β， 故∠OTBT＝180°－(90°－α)－β＝90°＋α－β 由正弦定理得＝②

sinβsin(90°＋α－β)

GTBTGsinβ联立①②解得TB＝

cos(α－β)

因β不变，故当α＝β＝30°时，TB最小，且TB＝Gsinβ＝G/2. 6．答案：168 N 72 N

解析：依题意，0.2 s后P离开了秤盘，0.2 s时秤盘支持力恰为零，力F最大为Fmax，则由牛顿第二

3

定律知此时加速度为a＝

Fmax－mg① mkx－Mg② ，所以kx＝M(g＋a)③ M此时M的加速度也为a，设此时弹簧的压缩量为x，则a＝

12

原来静止时，弹簧压缩量设为x0，则kx0＝(m＋M)g④ ，而x0－x＝at⑤

2由③④⑤得mg－Ma＝0.02ak ， a＝

mgM＋0.02k＝6 m/s⑥

2

⑥代入①得Fmax＝m(a＋g)＝10.5×(6＋10) N＝168 N ，F最大值为168 N. 刚开始运动时F为最小Fmin，对物体与秤盘这一整体应用牛顿第二定律得

Fmin＋kx0－(m＋M)g＝(m＋M)a⑦

④⑥代入⑦有Fmin＝(m＋M)a＝72 N ，F的最小值为72 N. 1

7．答案 (1) s (2)0．4 m

6

解析 (1)要想游戏获得成功，瓶滑到C点速度正好为零时，推力作用时间最长，设最长作用时间为

t1，有推力作用时瓶做匀加速运动，设加速度为a1，t1时刻瓶的速度为v，推力停止作用后瓶做匀减速

运动，设此时加速度大小为a2，由牛顿第二定律得：F－μmg＝ma1，μmg＝ma2

v2v2

加速运动过程中的位移x1＝ ，减速运动过程中的位移x2＝ 2a12a2

1

位移关系满足：x1＋x2＝L1，又：v＝a1t1 ，由以上各式解得：t1＝ s 6

v′2

(2)要想游戏获得成功，瓶滑到B点速度正好为零时，推力作用距离最小，设最小距离为d，则：＋

2a1v′22

＝L1－L2 ，v′＝2a1d，联立解得：d＝0．4 m． 2a2

8．解析 (1)面粉袋与传送带相对运动过程中，根据牛顿第二定律：a＝若传送带的速度v＝4 m/s，则面粉袋加速运动的时间t1＝＝1 s 12

在t1时间内的位移s1＝at＝2 m

2

其后以v＝4 m/s速度匀速运动s2＝lAB－s1＝vt2 ，解得：t2＝1．5 s 所以运动总时间：t＝t1＋t2＝2．5 s ，W＝fs1＝μmgs1＝400 J

12

(2)要想时间最短，面粉袋应一直向B端匀加速运动 ，由lAB＝at′得t′＝2 s

2此时传送带的速度v′＝at′＝8 m/s

(3)传送带速度越大，“痕迹”越长．当面粉的痕迹布满整条传送带时，痕迹达到最长． 即痕迹长l＝2lAB＋2πR＝18 m

在面粉袋由A端运动到B端的时间t′＝2 s内痕迹达到最长，传送带运动的距离s≥l＋lAB＝26 m

4

μmg2

＝μg＝4 m/s． mva则传送带的速度v＝

s≥13 m/s t′

5