2021-2022学年江西省上饶市师院附属学校高二数学理下学期期末试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 函数处的切线方程是（ ）

A．4πx+16y﹣π2=0 B．4πx﹣16y﹣π2=0 C．4πx+8y﹣π2=0

D．4πx﹣8y﹣π2=0

参：

C

【考点】62：导数的几何意义；63：导数的运算． 【分析】先利用导数的几何意义，求出k=y′|x=，再利用直线的点斜式求出切线方程．

【解答】解：∵y′=cos2x﹣2xsin2x，

∴

，

整理得：4πx+8y﹣π2

=0， 故选C．

2. 现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．

②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．

③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

参：

A

【考点】收集数据的方法．

【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．

【解答】解；观察所给的四组数据，

①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样， ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段， 在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，

在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样， ③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样， 故选A．

【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的． 3. 可导函数在闭区间的最大值必在（ ）取得

（A）极值点 （B）导数为0的点 （C）极值点或区间端点 （D）区间端点

参：

C

4. 对于R上可导的函数，若满足，则必有（ ）

A．

B．

C．

D．

参： C 略

5. 在△ABC中，

，

，

，则角B的大小为（ ）

A.

B.

C.

D.

或

参：

A 【分析】

首先根据三角形内角和为，即可算出角

的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B

【详解】在△ABC中有

,所以

,所以

,又因为

,所以

，所以

,因为

，，所以由正弦定理得，因为

,所以

。所以选择A

【点睛】本题主要考查了解三角形的问题，在解决此类问题时常用到：1、三角形的内角和为。2、

正弦定理。3、余弦定理等。属于中等题。 6. 且

,则乘积

等于（ ）

A.

B.

C.

D.

参：

B 由

,得m=15,

,应选B.

7. 已知命题p：x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1p∨q”是真命题；④命题“

p∨

q”是假命题，

其中正确的是( ) A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

参：

D

8. 等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（ ） A．15 B．30 C．31 D．

参：

A

【考点】8F：等差数列的性质．

【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，或根据等差中项的定义，ap+aq=am+an，从而求得a12的值．

【解答】解：方法一：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．

再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣

，d=．

故 a12 =a1+11d=﹣

+

=15，

方法二：∵数列{an}是等差数列， ∴ap+aq=am+an，

即p+q=m+n ∵a7+a9=a4+a12

∴a12=15 故选：A．

【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关

键，属于基础题．

9. 无穷数列1，3，6，10…的通项公式为 ( )

A. B. C. D.

参：

C

10. 若，则的取值范围是

A. B. C. D.

参： B

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 ．

参：

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】所哟的取法有=6种方法，用列举法求得满足条件的取法有3种，由此求得所求事件的概

率．

【解答】解：在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，共有=6种方法，

其中，满足其和大于积的取法有：（1，2）、（1，3）、（1，4）共三种， 故其和大于积的概率是 =，

故答案为．

12. 已知点A为抛物线C：x2

=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABF一定是 ．（填：钝角、锐角、直角）

参：

直角

【考点】K8：抛物线的简单性质．

【分析】求导数，利用点斜式方程求得过A的切线方程，解出B的坐标，求出，

的坐标，可得

计算

?

=0即可得出结论．

【解答】解：由x2

=4y可得y=x2

，求导y′=x，

设A（x0，），则

过A的切线方程为y﹣=x0（x﹣x0），

令y=0，可得x=x0，则B（x0，0）， ∵F（0，1），

∴=（x0，），

=（﹣x0，1），

∴

?

=0，

∴∠ABF=90°， ∠ABF一定是直角， 故答案为：直角．

13. 已知命题p：方程

+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率

e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是 ．

参：

0＜m≤，或3≤m＜5

【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．

【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程

+

=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，

实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）

为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案．

【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；

则9﹣m＞2m＞0，

解得0＜m＜3，

则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，

若命题q：双曲线

﹣=1的离心率e∈（，）为真命题；

则

∈（

，

），

即

∈（，2），

即＜m＜5，

则命题q为假命题时，m≤，或m≥5， ∵命题p、q中有且只有一个为真命题，

当p真q假时，0＜m≤， 当p假q真时，3≤m＜5，

综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．

故答案为：0＜m≤，或3≤m＜5 14.

(

N*)展开式中不含

的项的系数和为

参：

1 略

15. 函数f（x）=loga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为 ．

参：

（2，2）

【考点】对数函数的图象与性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由loga1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．

【解答】解：∵loga1=0，

∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，

则函数y=loga（x﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．

故答案为：（2，2）．

【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题．

16. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该

小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积

是 ．

参：

17. 甲、乙两队各有n个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次 （同队的队员

之间不握手），从这n2次的握手中任意取两次．记事件A：两次握手中恰有3个队员参与．若事件A

发生的概率P＜

，则n的最小值是_____________．

参：

20

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知数列

满足，且，数列满足。

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设，求满足不等式的所有正整数的值。

参：

19. 已知三棱柱，

平面，

，

，四边形

为正方形，

分别为

中点． （Ⅰ）求证：∥面； （Ⅱ）求二面角

—

—的余弦值．

参：

解：（Ⅰ）在

中

、

分别是

、

的中点

∴

∥

…………………………………………………………………3分

又∵平面 ，平面

∴

∥平面

………………………………………………………5分

（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系

，

则

，，，

，

，

∴， ………7分

平面的一个法向量 …9分

设平面

的一个法向量为

则

即

取. ……………………………………………………………

略

20. 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M在边PC上 （Ⅰ）当M在边PC上什么位置时，AP∥平面MBD？并给出证明． （Ⅱ）在（Ⅰ）条件之下，若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．

参：

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）M是PC中点时，AC与BD的交点O是AC的中点，从而OM∥PA，由此能证明AP∥平面MBD．

（Ⅱ）推导出PD⊥AD，AD⊥BD，PD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD． 【解答】解：（Ⅰ）M是PC中点时，AP∥平面MBD． 证明：∵底面ABCD是平行四边形， ∴AC与BD的交点O是AC的中点， 又M是PC的中点，∴OM∥PA， ∵OM?平面MBD，AP?平面MBD， ∴AP∥平面MBD．

证明：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD， 又AD⊥PB，PD∩PB=P，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥BD， ∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PD⊥BD，

∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．

21. 已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．

（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明． （2）若对任意x∈R，不等式 f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围； （3）讨论f（x）零点的个数．

参：

【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）当m=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．

（2）利用参数分离法将不等式 f（2x）＞0恒成立，进行转化，求m的取值范围； （3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论．

【解答】解：（1）当m=2，且x＜0时，是单调递减的．

证明：设x1＜x2＜0，则

=

=

=

又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，

所以

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 故当m=2时，

在（﹣∞，0）上单调递减的．

（2）由f（2x）＞0得

，

变形为（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2

而

，

当即x=﹣1时，

所以

．

（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+x（x≠0）

令

作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：

当或时，f（x）有1个零点． 当

或m=0或

时，f（x）有2个零点；

当

或

时，f（x）有3个零点．

【点评】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．

22. 已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为

（θ为参

数）

（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

）判断点P与直线l的位置关系

（Ⅱ）设点Q是曲线C上一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．

参：

考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程．

分析：（Ⅰ）首先把直线的参数方程转化成直角坐标方程，把点的极坐标转化成直角坐标，进一步判断出点和直线的位置关系．

（Ⅱ）把圆的参数方程转化成直角坐标方程，利用圆心到直线的距离，进一步求出圆上的动点到直线距离的最值．

解答： 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为

（t为参数），转化成直角坐标方程为：

，

点P的极坐标为（4，），则点P的直角坐标为：

由于点p不满足直线l的方程，

所以：点p不在直线上．

（Ⅱ）曲线C的参数方程为

（θ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=1

圆心坐标为：（2，0），半径为1．

所以：（2，0）到直线l的距离d=

．

所以：动点Q到直线l的最大距离：

．

动点Q到直线l的最小距离：．

点评：本题考查的知识要点：直线的参数方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程和直角坐标方程的互化，极坐标和直角坐标的互化，点与直线的位置关系，点到直线的距离的应用．属于基础题型．