【2011年全国高中数学联合竞赛 湖北省高一年级预赛试题 含参考答案】

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高一年级）

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1．计算：sin210sin220sin230sin290＝ 5 ．

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S1221，则a3a4a9a10＝____7____．

3．已知P是△ABC所在平面上一点，满足PAPB2PC3AB，则△ABP与△

ABC的面积之比为

1121:21123．

1123201167120114．(1)(1)(1)＝．

5．满足方程x28xsin(xy)160（xR,y[0,2)）的实数对(x,y)的个数为 8 ．

26．已知函数f(x)x2|x|2的定义域为[a,b]（其中ab），值域为[2a,2b]，

则符合条件的数组(a,b)为(,2212)．

7．设集合A{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.如果方程xmxn0（m,nA）至少有一个根x0A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．

2228．已知关于x的方程|xk|则实数k的取值范围是

0k1kx在区间[k1,k1]上有两个不相等的实根，

．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知二次函数yf(x)x2bxc的图象过点（1，13），且函数yf(x偶函数.

（1）求f(x)的解析式；

12)是

（2）函数yf(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

解 （1）因为函数yf(x轴方程为x1212)是偶函数，所以二次函数f(x)xbxc的对称

2，故b1. ------------------------------------------4分

又因为二次函数f(x)x2bxc的图象过点（1，13），所以1bc13，故c11. 因此，f(x)的解析式为f(x)x2x11. ------------------------------------------8分 （2）如果函数yf(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m,n2)，其中m为正整数，n为自然数，则m2m11n2，从而4n2(2m1)243，即

[2n(m2.------------------------------------------12分 1)n][2m(2注意到43是质数，且2n(2m1)2n(2，2n(2m1)0，所以有m1)2n(2m1)43,m10,解得 2n(2m1)1,n11.因此，函数yf(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）. -----------------------------16分

10．已知a,bR，关于x的方程xax2xbx10有一个实根，求ab的最小值．

解 设r为方程xax2xbx10的实根，则有rar2rbr10，即

(r1)r(arb)0.

22243222432432

显然r0.------------------------------------------5分 容易证明(ar2b)2(a2b2)(r41)，于是

(arb)r14222ab224[(r1)r422]21r144(r1)2424r(r1)(r2r1)r(r1)24422

(r1)4r(r1)4rr(r1)2424r1r24r42r142r1r244r42r148.

------------------------------------------15分

当且仅当

r1r244r42r1且

abr时等号成立，此时r21，ab.

2结合(r21)2r(ar2b)0可求得ab2,r1,或ab2,r1.

因此a2b2的最小值为8.------------------------------------------20分

11．已知数列{an}满足a113,an1an1214nann22(nN).证明：对一切nN，有

**（1）anan11； （2）an．

2解 （1）显然，an0，所以an1anakk22ann2an（nN）.

*所以，对一切kN，ak1ak1ak1ak11k2*ak1k2akak1，

所以. --------------------5分

所以，当n2时， 1an1a1n1(k11ak1ak1)1a1n1k11k2n13[1k21k(k1)n1]3[1(k1k)]k211

3[111n1]nn11，

所以an1. 又a1131，故对一切nN，有an1.

*因此，对一切nN*，

有anan11. ------------------------------------------10分 （2）显然a113141214.

akk2由an1，知ak1ak22akk22ak2，所以akk22k1ak1，所以

ak1akakkak1k2akk2k1ak1ak1k12akak1，

所以

1ak1ak11k12， ------------------------------------------15分

所以，当nN*且n2时， 1an1a1n1(k11ak)1ak1)1a1n1k11k12n13k11k(k1)n13(k11k1k1)

3(11n2n1n，

所以 ann2n11212(2n1)1214n. ----------------------------20分