线性代数练习题及答案

002-12f(A)= ，，则f(x)=x−5x+3 . -3300TT，2=（，1=（-1 ， 1 ， 0 ， -2）1 ， 2 ， -1 ， 1）已知向量组

T线性相关，a= 0 . 3=（1 ， 5 ， -2 ， a）4．已知向量组1=(1 , 0 , −1)T，2=(2 , 2 , 1)T，3=(1 , t , −1)T线性相关，则t= 0 . 4−174 . 5．已知矩阵A=47−1有特征值1=3 (2重)，2=12，则x= −4−4x6. 已知A为n阶方阵，且A=a0，A*为A的伴随矩阵. 如果A*有一个特征值为b，则A必有一个特征值为 .

ab7. 如果二次型

22f=x12+2x2+x3+2x1x2+4x1x3+4x2x3的秩为2，则

= 4 .

8. 设A为mn阶矩阵，则r(A)=4的充分必要条件是

(A) (B) (C) (D)

A的每一个4阶子式都不为0，而所有阶数大于4的子式都为0. A有一个4阶子式不为0，而所有5阶子式都为0.

A的每一个阶数不大于4的子式都不为0，而所有阶数大于4的子式都为0 .min{m , n}4. 【B】

9. 设A, B都是n阶实对称矩阵，且A正定，B与A相似，则B必是

(A) 对角矩阵. (B) 正定矩阵.

(C) 不可逆矩阵. (D)正交矩阵.

【B】

10. 设A、B均为n阶方阵，且A与B相似，则

（A）A与B有相同的特征值和特征向量 （B）I−A=I−B

（C）对任意常数t，tI−A与tI−B相似 （D）A与B都相似于同一对角矩阵

【C】 11. 设A=12，则与A合同的矩阵为 21（A）-303030-30 （B） （C） （D） 01010-10-1【 B or D 】

a1112. 设D=a21a31a12a22a323a213a22a13~a23=M，则行列式D=3a113a123a313a32a333a233a13= 3a33 (A) 3M. (B) −3M. (C) 27M. (D) −27M.

【D】 13. 设A是n阶反对称矩阵，且A可逆，则

(A) ATA−1=−E. (B) AAT=−E. (C) A−1=−AT. (D) AT=−A.

【A】

14. 设A是n阶方阵，是n维列向量，若秩A =秩A，则线性方程组 T 0(A) AX=必有无穷多解. (B) AX=必有惟一解. (C) A x=0仅有零解. (D) Ty 0A xT=0必有非零解.  0y 【D】

0115. 计算

111011110111. 10101，B=1 2 1，且XA=B，求X. 16. 设A=2112 1 110217. 求向量组

TT，2=（，1=（-1 ， 3 ， 1 ， -4）1 ， -2 ， 1 ， 2）TT， 4=（-2 ，的一个极大无关组，并用它表示3=（1 ， -1 ， 5 ， 0 ， 3 ， -6） 0）其余向量.

x1−2x2−3x3−5x4=02x−3x−4x−8x=1123418. 解线性方程组，用基础解系表示全部解.

−1x1−1x3+x4=−2−2x1+5x2+8x3+12x4=119. 设二次型f（x1 , x2 , x3）=2x1+3x2+3x3+4x2x3 ⑴写出该二次型对应的对称矩阵A，并求A的特征值；

⑵求正交变换X=QY，将该二次型化为标准型.

20. 设A=(aik)ml、B=(bkj)ln，证明: r(AB)min{r(A) , r(B)}.

222解析：

111015. 解：原式=-10111101 01111110=-0-10100-11 01111110=-0-10100-11 00121110=-0-10100-11 0003=-3.

20−116. 解: 由于A−1=−311，所以X=BA−1，即 −101X=1 2 120−1， 2 1 1−311 −101X=−5 2 2 0 1 0. 17. 解：

-111-2-13-2-151 , 2 , 3,4）=→→011300-420-601011→→012-10000.

0000 极大无关组为1，2.

111224-2-4-2-1-22 （

3=1+22,4=1-2.

1 −1 2 1 −2 −3 −5 01 0  2 −3 −4 −8 10 1 2 2 1， →→18. 解: A=−1 0 −1 0 0 0 0 01 −212 1−2 5 8 0 0 0 0 0对应的方程组为x1+x3−x4=2 . 基础解系为

x+2x+2x=13421=(−1 , −2 , 1 , 0)T、

2=(1 , −2 , 0 , 1)T，

特解为0=(2 , 1 , 0 , 0). 全部解为X=0+C11+C22 (C1，C2为任意常数).

T20019. 解：（1）二次型对应的对称矩阵A=032.

023−2 I−A=0000−3−2=(−1)(−2)(−5), −2−3 令I−A=0，得特征值1=1，2=2，3=5.

（2）A的特征值1=1，2=2，3=5所对应的特征向量分别为

TTT，2=（，3=（0 ，， 1=（0 ， -1 ， 1 ） 1 ， 1）1 ， 0 ， 0）标准化得

1=（0 ， -222T2TT，2=（，3=（0 ，， 1 ， 0 ， 0） ， ， ） ）2222令Q=(1 , 2 , 3)=−0222210002，则Q是正交矩阵，作正交变换X=QY，得 22222. f=y12+2y2+5y320. 证: 由于BX=0的解都是ABX=0的解，所以BX=0的基础解系向量的个数不多于

ABX=0

的础解系向量的个数，故r(AB)r(B).

由于ATY=0的解都是BTATY=0的解，所以ATY=0的基础解系向量的个数不多于

BTATY=0

的基础解系向量的个数，故r(BTAT)r(AT)，即r(AB)r(A).

综上所述， r(AB)min{r(A) , r(B)}.