椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

b2性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2

ax2y2性质二：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，

由椭圆的第一定义得r1r22a,(r1r2)4a.

2在△F1PF2中，由余弦定理得：r1r22r1r2cos(2c).

222.

22配方得：(r1r2)2r1r22r1r2cos4c. 即4a2r1r2(1cos)4c.

22222(a2c2)2b2r1r2.

1cos1cos由任意三角形的面积公式得：

SF1PF21sinr1r2sinb2b221cos2sin22b2tan.

22cos22cosSF1PF2b2tan.

2y2x2同理可证，在椭圆221（a＞b＞0）中，公式仍然成立.

abx2y2性质三：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

abPF1F2中F1PF2,则cos12e2.

性质三

证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c22a22c2 cos1

2r1r22r1r22r1r22 1

2a22c22a22c21112e2. 命题得证。 2rr2a2(12)22x2y21上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260， 例1. 若P是椭圆

100求△F1PF2的面积.

x2y21中，a10,b8,c6,而60. 例1．解法一：在椭圆

100记|PF1|r1,|PF2|r2.

点P在椭圆上，

由椭圆的第一定义得：r1r22a20.

2在△F1PF2中，由余弦定理得：r1r22r1r2cos(2c).

22配方，得：(r1r2)3r1r2144.

24003r1r2144.从而r1r2SF1PF2256. 31125633r1r2sin. 22323x2y22解法二：在椭圆1中，b，而100SF1PF2b2tan60.

2tan303. 3

x2y2例2.已知P是椭圆1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，

259若PF1PF2|PF1||PF2|1，则△F1PF2的面积为（ ） 2A. 33 B. 23 C. 3 D.

PF1PF2|PF1||PF2|1，60. 23 3 解：设F1PF2，则cosSF1PF2b2tan29tan3033.故选答案A.

2

x2y2例3.已知椭圆1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一

169个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ） A.

9999797 B. C. D. 或

44775b29解：若F1或F2是直角顶点，则点P到x轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，

a4设点P到x轴的距离为h，则SF1PF2b2tan7h9，h29tan459，又SF1PF21(2c)h7h, 297.故选D. 7

y2x21. 椭圆1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面积为

4924（ ）

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 解：F1PF290,b224，SF1PF2b2tan

x22. 椭圆y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为1时，

4PF1PF2的值为（ ）

224tan4524.故选D.

A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 解：设F1PF2，SF1PF2b2tan2tan21，

245,90，PF1PF20.故选A.

x23. 椭圆y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积最大时，

4PF1PF2的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 解：a2,b1,c3，设F1PF2， SF1PF2b2tantan，

22当△F1PF2的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，120， PF1PF2|PF1||PF2|cosa2cos1202.

故答案选D. 4．已知椭圆

x22a且F1PF260，则|PF1||PF2|的值为（ ）

y21（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，

3

A．1

1 B．

3 C．24 3

3， 3 D．

2 3 解：F1PF260，b1，SF1PF2b2tan又SF1PF2tan3013|PF1||PF2|sin|PF1||PF2|， 24334，从而|PF1||PF2|. |PF1||PF2|433故答案选C.

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上， 直线PF1与PF2倾斜角的差为F1PF290，△F1PF2的面积是20，且c/a=√5/3， 求椭圆的标准方程.

解：设F1PF2，则90.  SF1PF2b2tanc又eaa2b25， a32b2tan45b220，

205b2512，即12.

99aa解得：a245.

x2y2y2x2所求椭圆的标准方程为1或1.

45204520

专题2：离心率求法：

1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )

2356A. B. C. D. 2233

1.解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形， c2∴＝. a2

2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) 4321A. B. C. D. 55552.解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2， ∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.

∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.

3

∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．

5

3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为

4

________．

3.解析：依题意，得b＝3，a－c＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，

c44

∴椭圆的离心率为e＝＝. 答案：

a55

x2y2

4.已知A为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、 F2，且与

ab

椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．

4.解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m，

∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4m. 又在Rt△AF1F2中，

|F1F2|＝|AF1|2－|AF2|2＝22m.

2c|F1F2|22m2∴e＝＝＝＝.

2a2a4m2

5．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，

2

其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．

3

5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，

2

M点的坐标为(c，b)，

3

则△MF1F2为直角三角形． 在Rt△MF1F2中，

|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，

4

即4c2＋b2＝|MF1|2.

9

42

而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋b2＋b＝2a，

93

整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，

b24

所以3b＝2a.所以2＝. a9

c2a2－b2b2552

∴e＝2＝2＝1－2＝， ∴e＝.

aaa93法二：设椭圆方程为 x2y2

＋＝1(a>b>0)， a2b2

2c24b2

则M(c，b)．代入椭圆方程，得2＋2＝1，

3a9bc25c55所以2＝，所以＝，即e＝. a9a33

5

椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）

离心率求法：6

y P F1 O F2 x

性质二