2023-2024学年山西省太原市高二下册期中数学试题1(含解析)

一、单选题1．随机变量X的分布列为X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P|X|1等于A．116B．3C．1

2D．23【正确答案】D【详解】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,又a+b+c=1,所以b=1

3,所以P(|X|=1)=a+c=2

3，故选D.2．在等差数列an中，a5a6a7a8a9450，则a3a11的值为（）A．45B．75C．180D．300【正确答案】C【分析】利用等差数列的性质求出a7，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由a5a6a7a8a9a5a9a6a8a75a7450，得到a790，则a3a112a7180．故选：C.3．已知无穷等差数列an中，它的前n项和Sn，且S7S6，S7S8那么(A．an中a7最大B．an中a3或a4最大C．当n8时，an0

D．一定有S3S11

)

【正确答案】C【分析】根据等差数列中，S7S6，得a7S7S60，又由S7S8，得a8S8S70，进而得到da8a70，即可得到答案．【详解】由题意，因为无穷等差数列an中，它的前n项和Sn，且S7S6，S7S8，由S7S6，可得a7S7S60，又由S7S8，可得a8S8S70，所以da8a70，所以当1n7,nN时，an0，当n8,nN时，an0．故选C．本题主要考查了等差数列前n项和与通项an的关系的应用，其中解中熟记等差数列的前n项和与通项an之间的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列【正确答案】B【详解】由已知条件，可得x2a

b由②③得{

y2c

bx2y2

代入①，得＝2b，bb即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差数列，故选B.5．已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于（A．1

7）D．B．16C．1514【正确答案】A【分析】服从二项分布，由二项分布的期望和方差公式解出p即可.【详解】由于随机变量Bn,p，则Enp7，Dnp1p6，∴1p故选：A.本题主要考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题.6．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是A．1C．3261，∴p，77B．2D．5

2【正确答案】A【分析】利用二项分布求解即可【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为=，11

∴X~B(4,)，∴E(X)41.44111224故选A.求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布B~(n,p)，也可以直接利用公式E()np求数学期望.7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A．100【正确答案】B3【详解】试题分析：10人中任选3人的组队方案有C10120，B．110C．120D．180没有女生的方案有C5310，所以符合要求的组队方案数为110种排列、组合的实际应用8．安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有A．30种【正确答案】C利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A照顾老人甲的情况和B照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A照顾老人甲的同时B照顾老人乙的情况，从而得到结果.22

【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：C6C490种安排方法B．40种C．42种D．48种12其中A照顾老人甲的情况有：C5C430种B照顾老人乙的情况有：C5C430种A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有：C4C312种1

1

12符合题意的安排方法有：9030301242种本题正确选项：C

本题考查利用排列组合解决实际问题，对于条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.二、多选题9．数列an是递减的等差数列，an的前n项和是Sn，且S6S9，以下结论正确的是（）A．a80

B．当n等于7或8时，Sn取最大值；C．存在正整数k，使Sk0；D．存在正整数m，使SmS2m.【正确答案】ABCD【分析】由S6S9及等差中项的性质可得a80，根据a80以及等差数列的性质即可逐一求解.【详解】S6S9，S9S6a7a8a90，由等差数列的性质得3a80，a80，故A正确；数列an是递减的等差数列，a1a2La7a80a9L，当n的值等于7或8时，Sn取得最大值，故B正确；1

存在正整数k15时，又a80，则S15(a1a15)1515a80，使Sk0，故C正确；2a80，由等差数列的性质，得S10S5a6a7a8a9a105存在正整数m5，使SmS2m，故D正确；故选：ABCD．10．已知数列an是等比数列，以下结论正确的是（A．{an}是等比数列B．若a32，a732，则a58C．若a1a2a3，则数列an是递增数列n

D．若数列an的前n项和Sn3r，则r1

2）【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答.n1【详解】令等比数列an的公比为q，则ana1q，2ana21(n1)2q2，且a120，则{an}是等比数列，A正确；对于A，2anan2

对于B，a320，则a5a3q0，B错误；a1(q1)0q0n1对于C，由a1a2a3知，，则，an1anqa1(q1)0，a1q(q1)0a1(q1)0

即nN，an1an，数列an是递增数列，C正确；a1(1qn)aa1qn1，而Sn3nr，对于D，显然q1，则Sn1qq1q1a1a1,r11，D正确.因此q3,q1q1故选：ACD11．下列等式成立的是（mA．Cn

）32

B．3C82C5128

m1m1Cn1n1rr1

C．rCnnCn112nnD．CnCnCn2

【正确答案】AC【分析】根据组合数公式计算可以判断A,B,C选项，特殊值法可以判断D选项.m【详解】Cn

n1!n!m1m1m1n!

,Cn1,A选项正确;m!nm!n1n1nm!m1!m!nm!32

3C82C535620148,B选项错误;rCrnr

n1!n!n!n!1,nCr,C选项正确;n1n

r!nr!r1!nr!r1!nr!r1!nr!12212nn当n2时，C2C232,CnCnCn2错误,D选项错误.故选:AC.12．已知离散型随机变量X服从二项分布Bn,p，其中nN,0p1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有（A．ab1C．0p

1

时，a随着n的增大而增大2）B．pD．1

时，ab21

p1时，a随着n的增大而减小2【正确答案】ABC【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把a的表达式写出，然后利用单调性分析即可.【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，ab1，故A正确，对于B选项，由p

11时，离散型随机变量X服从二项分布Bn,，22

1

则PXkC

2

knnk112

nkk0,1,2,3,,n，n11135n1所以aC1，CC2nnn22211124n1bC0nCnCn2，222

nn所以ab，故B正确，1pp1pp112p，对于C,D选项，a22n

1112p当0p时，a为正项且单调递增的数列，22nnn故a随着n的增大而增大故选项C正确，当1np1时，a12p为正负交替的摆动数列，2故选项D不正确.故选：ABC.三、填空题213．在3x的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______．xn【正确答案】112【详解】由题意可得：2n256,n8，结合二项式展开式通项公式可得：Tr1C令r

8

x38r

r2r

2C8xx

r

84r3，84r2

0可得：r2，则常数项为.2C82428112314．从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为____.【正确答案】17【详解】①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时loga1=0，a=2

或3或4或7或9．

②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个，分别作为底数与

3924log4,log3log9真数可有54=20个对数，但是其中log2，

4923

log2log3,log4log9．

综上可知：共可以得到20+1﹣4=17个不同的对数值．故答案为17．

3924

点睛：本题是一道易错题，防止重复，其中log2log4,log3log9，

4923log2log3,log4log9，处理计数原理问题，贵在不重不漏，需要同学们熟练掌握

对数的运算法则.

15．一个等差数列的前12项和为3，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d为_________.【正确答案】5【分析】设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k27k3可得k的值，根据公差d

32k27k

求得结果．632k27k5k5，66【详解】设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k27k59k3可得k6，故公差d故5．本题考查等差数列的定义和性质，得到k6，公差d

22

16．数列an的通项ann(cos

32k27k

，是解题的关键．6nnsin2)，其前n项和为Sn，则S30__________．33nn2nsin2)n2cos333【正确答案】47022

【详解】试题分析：ann(cos

S3012cos

2422cos32cos2302cos2033111111

12232425262282292302

2222221

[(1222232)(4252262)(2822922302)]

21

[(1232)(4262)(282302)(2232)(5262)(292302)]

21

[2(4101658)(5111759)]

2，故答案应填：470．数列求和．【方法点晴】本题考查了二倍角的余弦公式，分组求和方法的应用，是中档题．解题的关键是平方差公式的应用，首先利用二倍角公式将数列的通项公式化简后代入到求和公式中，求出特殊角的三角函数值之后，注意分组，再利用平方差公式求解．四、解答题17．（1）将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法?（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数?【正确答案】（1）67200；（2）1260【分析】（1）先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以数量相同组数的全排列；（2）分取出的数字有0和没有0两种情况讨论，先将数字取出，再进行排列.33

C10C347C4A【详解】（1）依题意可得共有467200种不同的分法；A33

2（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字有C510种取法，从0，2，4，6中任取2个数字，12113若取出的有0，则有C33种，再将取出的数字排列，则有C5C3A3A30个；2224若取出的没有0，则有C33种，再将取出的数字排列，则有C5C3A4720个；综上可得共有07201260个没有重复数字的四位数.2

18．Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an2an=4Sn3.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn

1

,求数列{bn}的前n项和.anan111

【正确答案】（Ⅰ）2n+1（Ⅱ）

n6【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：（Ⅱ）求出bn

1

，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．anan1

【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn

111

（11），anan12n12n322n12n31111111111

（）（）23557232n32n12n3∴数列{bn}的前n项和Tn

11

.n6本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互.（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.【正确答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2024323【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互，且每天7:30之前到校的概率均为，23k3k

2k21故X~B3,，从面PXkC3k0,1,2,3.333

所以，随机变量X的分布列为：X

P0127129249382722.3随机变量X的数学期望E(X)3

2

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则Y~B3,.3

且M{X3,Y1}{X2,Y0}.由题意知事件X3,Y1与X2,Y0互斥，且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互，从而由(Ⅰ)知：P(M)PX3,Y1X2,Y0PX3,Y1PX2,Y0P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0)

824120.279927243本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.20．某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教．(1)设所选3人中女教师的人数为X，写出X的分布列，求X的数学期望及方差；(2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．【正确答案】(1)分布列详见解析，E(X)(2)21

924

，D(X)；749【分析】（1）确定X的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X的分布列，E(X)和D(X)；（2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率.【详解】（1）解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，2

C118C343C44且P(X0)3，P(X1)3，C735C73521

C3C412C313P(X2)3，P(X3)3，C735C735所以X的分布列为：XP04

3511835212353135故E(X)04181219123，3535353579491129124

D(X)(0)2(1)2(2)2(3)2

735735735739（2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，211C1C1424AC3C5P(AB)则P(A)，，3A37A777

所以P(BA)

PABPA

1

.221．已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN,bn是an和an1的等差中项.22*（Ⅰ）设cnbn1bn,nN，求证：cn是等差数列；*

（Ⅱ）设a1d,Tn1bk,nN，求证：2

k1

2n

k

11.2T2dk1k

n

【正确答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析2【详解】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：bnanan1，从而22cnbn1bnan1an2anan12dan1，因此根据等差数列定义可证：cn1cn2dan2an12d2（Ⅱ）对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简22222

b32b4b2Tn1bn2b12b2n1b2n2dnn1，再利用裂项相消法求和k12n

n

11

22dk1Tk

n11

22dk1kk1n

2dkk1

k1

n

11

11

1，易得结论.2n1

222

试题解析：（I）证明：由题意得bnanan1，有cnbn1bnan1an2anan12dan1，因此cn1cn2dan2an12d2，所以cn是等差数列.222222（Ⅱ）证明：Tnb1b2b3b4b2n1b2n2da2a4a2n2d

nna2a2n2d2nn1211n11n1111121所以22d2n12d2.T2dkk12dkk1k1kk1k1等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的22．某险种的基本保费为a（单位：元）本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数保费00.85a

1a

2341.75a

5

2a1.25a1.5a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数概率00.3010.1520.2030.2040.105

0.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【正确答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）【详解】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.

3

；（Ⅲ）1.23．11（Ⅱ）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A)因此所求概率为3.11P(AB)P(B)0.153.P(A)P(A)0.5511（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X

P0.85a

a

1.25a0.201.5a0.201.75a2a0.300.150.100.05

EX0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23条件概率，随机变量的分布列、期望【名师点睛】条件概率的求法：（1）定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝P(AB)

，求出P（B|A）；P(A)（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝n(AB)

.n(A)求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；（2）求X取每个值时的概率；（3）写出X的分布列；（4）由均值定义求出EX．