山西省太原市2020-2021学年高一下学期期末数学试卷及答案

试题 山西省太原市2020-2021学年高一下学期期末数学试题 一、单选题 1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设A“第一枚正面朝上”，B“第二枚反面朝上”，则事件A与事件B（ ） A．相互 B．互为对立事件 C．互斥 D．相等 2．将一个容量为n的样本分成2组，已知第一组频数为8，第二组的频率为0.80，则n为（ ） A．20 B．40 C．60 D．80 3．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（ ） A．正面朝上的概率为0.7 B．正面朝上的频率为0.7 C．正面朝上的概率为7 D．正面朝上的概率接近于0.7 4．在三棱锥PABC中，PO平面ABC，垂足为O，且PAPBPC，则点O一定是ABC的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 5．某学校为了调在学生的学习情况，从每班随机抽取5名学生进行调查.若一班有45名学生，将每一学生从01到45编号，请利用下面的随机数表选取5个编号，选取方法是从随机数表的第2行的第7､8列开始由左向右依次选取两个数字(作为编号)，如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，直到取足样本，则第四个编号为（ ） 附随机数表(下表为随机数表的前3行)： 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 14 10 guomeng2014

A．32 B．37 C．42 D．27 6．我国古代数学名著《九章算术》中有“堑堵”一说“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示的“堑堵”ABCA1B1C1中，ABC90，M，N分别为棱BB1，AC的中点，则直线AM与C1N的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法判断 7．已知一组数据为1，2，4，5，6，7，8，8，9，9，则第40百分位数是（ ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 8．如图，在长方体ABCDA1BC11D1中，AB2.BC1.则直线AA1与平面 BDD1B1的距离为（ ） A．5 B．55 C．255 D．25 9．现采用随机模拟的方法估计某篮球运动员投篮3次至少投中2次的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有投中，2，3，4，5，6，7，8，9表示投中；因为投篮3次，故以每3个随机数为一组.代表投篮3次的结果.经随试题 机模拟产生了如下20组随机数： 二、填空题 52702971498503443786141469031623261804601366958742671428 据此估计，该篮球运动员投篮3次至少投中2次的概率为（ ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 10．在正四面体ABCD的棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线成60角的概率是（ ） A．15 B．25 C．35 D．45 11．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则估计该组数据的平均数为（ ） A． B．65 C．66 D．67 12．对于两个不同的平面，和三条不同的直线a，b，c.有以下几个命题： ①若a//b，b//c，则a//c； ②若a//，b//，则a//b； ③若a//b，b//，则a//； ④若a//，a//，则//； ⑤若a//，//，则a//. 则其中所有错误的命题是（ ） A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ guomeng2014

13．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为___________． 14．甲､乙两名同学同时做某道压轴选择题，两人做对此题的概率分别为233和4，假设两人是否能做对此题相互.则至少有一人能做对该题的概率为___________. 15．正四面体相邻两个面所成二面角的余弦值为___________. 三、双空题 16．从1，2，3，4四个数字中，随机地选取两个数字，若数字的选取是不放回的，则两个数字的和为偶数的概率为___________；若数字的选取是有放回的，则两个数字的和为偶数的概率为___________. 四、解答题 17．从甲､乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下： 甲7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 （1）分别计算甲､乙两人射击命中环数的平均数： （2）经计算可得甲､乙两人射击命中环数的标准差分别为1.73和1.10，从计算结果看，选派谁去参赛更好？请说明理由. 18．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均相等. 试题 （1）在图中作出过AC1与侧面AA1B1B垂直的三棱柱的截面，并说明理由； （2）求直线AC1与侧面AA1B1B所成角的余弦值. 19．从某校高一年级学生中随机抽取了50名学生，将他们的数学检测成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)按40,50，50,60，…，90,100分成六组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）若该校高一年级共有学生600名，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数； （2）估计高一年级数学成绩的80%分位数. guomeng2014

20．投掷一颗质地均匀的骰子2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b. （1）写出试验的样本空间； （2）求满足2ab10的概率. 21．投掷一颗质地均匀的骰子2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b. （1）写出试验的样本空间； （2）若向量ma,b，n2,1.求mn10的概率. 22．如图，在三棱锥PABC中，PC平面ABC， （1）若CDPB，ABBC.求证：CDPA； （2）若D，E，F分别在棱PB，AC，PA上，且AEEC，PD2DB，PF3AF.求证：CD//平面BEF. 23．如图，在三棱锥PABC中，PC平面ABC， 试题

（1）若CDPB，ABBC.求证：CDPA；

（2）若E，F分别在棱AC，PA上，且AEEC，PF3AF，问在棱PB上是否存在一点D，使得CD//平面BEF.若存在，则求出

PD的值；若不存在.请说明理由. DBguomeng2014

试题

参

1．A

根据题意，求得PABPAPB，结合事件的定义，即可求解. 解：

分别抛掷两面均匀的硬币，设事件A“第一枚正面朝上”，B“第二枚反面朝上”， 11111则PA,PB,PAB,

22224所以PABPAPB，所以事件A与B相互. 故选：A. 2．B

先求出第一组的频率，再利用频数与频率的关系可求出n 解：

解：因为将一个容量为n的样本分成2组，第二组的频率为0.80， 所以第一组的频率为10.80.2， 因为第一组频数为8， 所以n840， 0.2故选：B 3．B

频率等于频数除于总数. 解：

正面朝上的频率是故选：B 【点睛】

本题考查频率与概率的区别，属于基础题. 4．B

70.7，正面朝上的概率是0.5. 10guomeng2014

试题

根据题意，结合勾股定理，求得OAOBOC，即可求得答案. 解：

如图所示，分别连接OA,OB,OC，

因为PO平面ABC，可得POOA,POOB,POOC 又因为PAPBPC，利用勾股定理，可得OAOBOC， 所以点O一定是ABC的外心. 故选: B.

5．A

根据随机数表法的读取方法，依次读取，即可求解. 解：

根据题意，从随机数表的第2行的第7､8列开始由左向右依次选取两个数字， 结合随机数表的读取方法，可得样本的5个编号分别为：42,14,20,32,37， 所以第四个编号为32. 故选：A. 6．C

如图，连接CM，取CM的中点G，连接NG，C1G，则有NG∥AM，从而可得AM∥平面NC1G，由此可得直线AM与C1N没有公共点，而NGC1NN，NG∥AM，由此可得直线AM与C1N不可能平行，从而可得结论 解：

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试题

如图，连接CM，取CM的中点G，连接NG，C1G， 因为N为AC的中点， 所以NG∥AM，

因为NG平面NC1G，AM平面NC1G， 所以AM∥平面NC1G，

所以AM与平面NC1G没有公共点，

因为C1N平面NC1G，所以直线AM与C1N没有公共点，所以直线AM与C1N不可能相交，因为NGC1NN，NG∥AM， 所以直线AM与C1N不可能平行， 所以直线AM与C1N是异面直线， 故选：C

7．D

根据百分位数的计算方法，即可求解. 解：

由1040%4，所以数据1，2，4，5，6，7，8，8，9，9，则第40百分位数是故选：D. 8．C

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565.5. 2试题

过A作AE⊥BD于E，则直线AA1与平面 BDD1B1的距离为AE，在直角三角形ABD中，解三角形，即可求出AE. 解：

因为ABCDA1BC11D1为长方体，所以面 BDD1B1⊥面ABCD，

过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面 BDD1B1，所以直线AA1与平面 BDD1B1的距离为AE. 在直角三角形ABD中，由等面积法可得：

AEADABBCAB1225 22BDBD512

故选：C 9．C

根据随机模拟数据找出该篮球运动员投篮3次至少投中2次的情形，根据古典概型求解即可. 解：

据此估计，该篮球运动员投篮3次至少投中2次的情形有

527029714985034437828742623261804671366958469共17种，

故该篮球运动员投篮3次至少投中2次的的概率为P故选：C. 10．D

170.85. 20根据正四面体的结构特征，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 解：

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试题

2由题意，正四面体ABCD共有6条棱，其中任取两条，共有C615种取法，

其中在正四面体ABCD中，只有AB与CD，AC与BD，AD与BC，三组互相垂直， 其余任意两条棱夹角都为60，所以这两条棱所在直线成60的概率P故选：D. 11．D

根据频率分布直方图的平均数的计算公式，准确计算，即可求解. 解：

根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：

1534. 155x(550.03650.04750.015850.01950.005)1067. 故选：D. 12．D

根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断②③④⑤. 解：

解：因为a//b，b//c，根据空间中直线平行的传递性，得a//c，故①正确； 因为a//，b//，所以直线a,b平行，异面，相交均有可能，故②错误； 若a//b，b//，则a//或a，故③错误； 若a//，a//，则平面,平行或相交，故④错误； 若a//，//，则a//或a，故⑤错误. 所以错误的命题是②③④⑤. 故选：D. 13．15 解：

设样本容量为x人，14．

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7350,x15 x75011 12试题

先求出两人都做错的概率，再利用对立事件的概率公式求解. 解：

至少有一人能做对该题的反面是两个都做错，

111两人都做错的概率为，

34121111由对立事件的概率公式得至少有一人能做对该题的概率为1.

3412故答案为：115．

311 12

取AB的中点为O，连接SO,OC，由二面角的定义以及等边三角形的性质得出SOC为二面角SABC的平面角，最后由余弦定理得出正四面体相邻两个面所成二面角的余弦值. 解：

该正四面体如下图所示，取AB的中点为O，连接SO,OC 因为SASB,ACBC，所以SOAB,OCAB 即SOC为二面角SABC的平面角 设AB2，则OCSO3，cosSOC3341

23331因为二面角SABC为锐角，所以正四面体相邻两个面所成二面角的余弦值为

3

1故答案为：

3116．

312

根据事件的概率乘法公式，结合互斥事件的概率加法公式，准确运算，即可求解. 解：

由题意，从1，2，3，4四个数字中，随机地选取两个数字，且数字的选取是不放回的，

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试题

若两个数字之和为偶数，可分为两种情况：

111； ①第1次为偶数，第2次也是偶数，其概率为P1236111②第1次为奇数，第2次也是奇数，其概率为P2，

236所以两个数字的和为偶数的概率为PP1P21； 311111若数字的选取是有放回的，可得两个数字的和为偶数的概率为P.

2222211故答案为：；2.

317．（1）x甲7，x乙7；（2）选择乙参赛，理由见解析.

（1）利用平均数公式计算即可； （2）由标准差的性质进行判断即可. 解：

解：（1）计算得

x甲786865910747

10x乙95787686777

10（2）由（1）可知，甲､乙两人的平均成绩相等，但s甲s乙，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛. 18．（1）作图答案见解析，理由见解析；（2）

平面（1）如图，取AB的中点D，连接A1D，CD，则可得截面ACD，再证明平面ACD1110. 4AA1B1B；

（2）直线AC1与侧面AA1B1B所成角为CA1D，再解三角形得解. 解：

. 解：（1）如图，取AB的中点D，连接A1D，CD，则可得截面ACD1guomeng2014

试题

理由如下：

∵三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱， ∴ABC为等边三角形，又D为AB中点， ∴CDAB，

∵A1A平面ABC，CD平面ABC，∴A1ACD， ∵A1AABA，A1A,AB平面AA1B1B，

∴CD平面AA1B1B，

平面AA1B1B. 又CD平面ACD，故平面ACD11（2）由（1）可知直线AC1与侧面AA1B1B所成角为CA1D， 设正三棱柱ABCA1B1C1为所有棱长均为2，

22，AD则在直角三角形ACD中，AC5， 111∴cosCA1DA1D10， AC41因此直线AC1与侧面AA1B1B所成角的余弦值为19．（1）210；（2）86.

10. 4（1）先求出频率分布直方图，成绩不低于80分的频率，再估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数；

（2）先得出80%分位数一定在80,90之间，由0.650.025x800.8得出高一年级数学成绩的80%分位数x.

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试题

解：

解：（1）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为100.0250.010.35. 由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为6000.35210.

（2）由图可知数学成绩在80分以下所占比例为1100.0250.010.65 数学成绩在90分以下所占比例为1100.010.9

因此，80%分位数一定在80,90之间，设该校高一年级数学成绩的80%分位数为x 由0.650.025x800.8可得x86

估计该校高一年级数学成绩的80%分位数为86. 20．（1）Ωa,b1a6,1b6,a,bZ；（2）

（1）利用描述法表示即可；

（2）列举出满足2ab10的所有情况，再由概率公式求解即可. 解：

解：（1）试验的样本空间为Ωa,b1a6,1b6,a,bZ

（2）由（1）可知样本空间中的样本点共36个，满足2ab10的样本点有2,6，3,4，

1. 124,2共3个，故所求概率为

1. 127. 1221．（1）Ωa,b1a6,1b6,a,bZ；（2）

（1）根据试验的结果可得答案；

（2）列出满足2ab10的样本点，由古典概型概率计算公式可得答案. 解：

（1）试验的样本空间为Ωa,b1a6,1b6,a,bZ

（2）由（1）可知样本空间中的样本点共36个，满足mn10即2ab10的样本点有2,6，

3,4，3,5，3,6，4,2，4,3，4,4，4,5，4,6，5,1，5,2，5,3，5,4，

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试题

5,5，5,6，6,1，6,2，6,3，6,4，6,5，6,6，共21个，

故所求概率为

7. 1222．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

（1）先证明PCAB，即可证明CD平面PAB，利用线面垂直的性质即可证明CDPA. （2）如图，作PA的中点M，连接CM，DM，先证明平面BEF//平面CDM，即可证明CD//平面BEF. 解：

证明：（1）∵PC平面ABC，AB平面ABC， ∴PCAB，

又∵ABBC，PCBCC，∴AB平面PBC， CD平面PBC，

∴ABCD，

∵CDPB，ABPBB，∴CD平面PAB，

PA平面PAB，

∴CDPA.

（2）如图，作PA的中点M，连接CM，DM，

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试题

由PF3AF得PM2FM，又∵PD2DB， ∴DM//BF，DM平面BEF，BF平面BEF， ∴DM//平面BEF，

又∵E，F分别为AC，AM的中点，

∴EF//CM，CM平面BEF，EF平面BEF， ∴CM//平面BEF， ∵CMDMM，CM平面CDM，DM平面CDM，

∴平面BEF//平面CDM， ∵CD平面CDM， ∴CD//平面BEF. 【点睛】

立体几何解答题的基本结构：

(1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理；

(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法. 23．（1）证明见解析；（2）存在，

（1）由已知PCAB，ABBC得AB平面PBC，由线面垂直得ABCD， 结合CDPB得CD平面PAB，再由线面垂直可得答案；

（2）作PA的中点M，连接CM，DM，由已知得DM//平面BEF，由中位线得EF//CM，由线面平行、面面平行的判定定理和性质定理可得答案. 解：

证明：（1）∵PC平面ABC，ABguomeng2014

PD2. DB平面ABC，

试题

∴PCAB，

又∵ABBC，PCBCC，∴AB平面PBC， CD平面PBC，∴ABCD，

∵CDPB，ABPBB，∴CD平面PAB， ∵PA平面PAB， ∴CDPA. （2）存在，且理由如下：

如图，作PA的中点M，连接CM，DM，

PD2， DB

由PF3AF得PM2FM，又∵PD2DB， ∴DM//BF，DM平面BEF，BF平面BEF， ∴DM//平面BEF，

又∵E，F分别为AC，AM的中点，

∴EF//CM，CM平面BEF，EF平面BEF， ∴CM//平面BEF， ∵CMDMM，CM平面CDM，DM平面CDM，

∴平面BEF//平面CDM， ∵CD平面CDM， ∴CD//平面BEF.

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