特级教师高考数学复习方法指导〈数学复习版〉(高中数学知识点总结)

高中数学知识点总结

1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

2．进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1，若BA，则实数a的值构成的集合为

0， 答：1，3．注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n （2）若ABA13BA，ABB；

B（3）德摩根定律：CUACACB，CUUUABCACB

UU4．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式值X围。

ax50的解集为M，若3M且5M，某某数a的取2xaa·35∵3M，∴0532aa1，·553∵5M，∴a052a25 9，5．可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（）、“且”（）和“非”（）

若pq为真，当且仅当p、q均为真 若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假 6．命题的四种形式及其相互关系是什么？

word （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7．对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8．函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域） 9．求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y答：0，2x4xlgx32的定义域是

33，4 2，10．如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。

答：a，a

11．求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f令tx1exx，求f(x)

x1，则t0，∴xt21，∴f(t)etx2121t21，

∴f(x)ex21x0

12．反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1xx0如求函数f(x)2的反函数

xx0x1x1答：f(x) xx0113．反函数的性质有哪些？

word ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf1∴f1f(a)f1(b)a，ff(b)f(a)b

1(b)a，

14．如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

，u(x)（内层），则yf(x) yf(u)（外层）

当内、外层函数单调性相同时，f(x)为增函数，否则f(x)为减函数

如：求ylog1x2x的单调区间。

22设ux2x，由u0，则0x2且log1u，ux11，如图

222当x(01]，时，u，又log1u，∴y

2当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2∴……）

15．如何利用导数判断函数的单调性？

u O 1 2 x 在区间a，b内，若总有f'(x)0，则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大值是

3A．0

2B．1 C．2 D．3

令f'(x)3xa3xaaaxx0，则或x333a， 3由已知f(x)在1，上是增函数，则a1，即a3，∴a的最大值为3 316．函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

word 若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图像关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图像关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0

a·2xa2如：若f(x)为奇函数，则实数a x21a·20a20，∴a1 ∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0，即

2012x又如：f(x)为定义在(11)，求f(x)在，上的奇函数，当x(01)，时，f(x)x41(11)，上的解析式。

2x令x1，0，则x01，，f(x)x

412x2x又f(x)为奇函数，∴f(x)x x41142x0)4x1,x(1，又f(0)0，∴f(x)0,x0

2xx,x0，14117．你熟悉周期函数的定义吗？

若存在实数T，在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是（T0）一个周期。

如：若fxaf(x)，则

答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期。

又如：若f(x)图像有两条对称轴xa，xb即f(bx)f(bx)，

word

f(ax)f(ax)，则f(x)是周期函数，2|ab|为一个周期

如图：

18．你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图像关于y轴对称 f(x)与f(x)的图像关于x轴对称 f(x)与f(x)的图像关于原点对称 f(x)与f1(x)的图像关于直线yx对称 f(x)与f(2ax)的图像关于直线xa对称 f(x)与f(2ax)的图像关于点(a,0)对称

左移a(a0)个单位将yf(x)图像右移a(a0)个单位yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b yf(xa)下移b(b0)个单位yf(xa)b注意如下“翻折”变换：f(x)|f(x)|,f(x)f(|x|) y 如：f(x)log2x1 y=log2x 作出y|log2x1|及ylog2|x1|的图像 O 1 x 19．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ （1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：y曲线。

kk推广为k0ybk0是中心O'(a，b)的双

xxab4acb2（3）二次函数yaxbxca0ax的图像为抛物线 2a4a22b4acb2b，x顶点坐标为，对称轴 2a4a2a开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4a (k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a word a0，向下，ymax4acb2

4a应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个

交点，也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程axbxc0的两根都大于

220bkk，一根大于k，一根小于kf(k)0

2af(k)0（4）指数函数：yax y (a>0) O k x1 x2 x a0，a1

（5）对数函数：ylogaxa0，a1

由图象记性质！（注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求

k 最值的区别是什么？ O k x 20．你在基本运算上常出现错误吗？

10p指数运算：a1(a0)，ap(a0)， aaa(a0)，amnnmmn1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

logaM1logaMlogaN，loganMlogaM Nnlogax对数恒等式：ax

word 对数换底公式：logab21．如何解抽象函数问题？

logcbnlogambnlogab logcam（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。 先令xy0f(0)0，再令yx，……

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为偶函数。 先令xytf[(t)(t)]f(tt)，∴f(t)f(t)f(t)f(t)， ∴f(t)f(t)……

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2…… 22．掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （1）y2x3134x

（2）y2x4 x3 R 1弧度 2（4）yx49x（设x3cos，0，）

O R 2x2（3）x3，y

x3（5）y4x，x(0，1]

23．你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

y T B S P α O M A x 9x11l||·R，S扇·lR||·R2

2224．熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sinMP，cosOM，tanAT

word

如：若80，则sin，cos，tan的大小顺序是

又如：求函数y12cosx的定义域和值域。 2∵12cos∴2k2x）12sinx0，∴sinx

225x2kkZ，0y12 4425．你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

|sinx|1，|cosx|1

y ytgx x   O  22

对称点为k，0，kZ 232kkZ，2kkZ，ysinx的增区间为2k，减区间为2k，2222图像的对称点为k，0，对称轴为xk2kZ

ycosx的增区间为2k，2kkZ，减区间为2k，2k2kZ，图像

word

的对称点为k，0，对称轴为xkkZ 2ytanx的增区间为(k，k)kZ

2226．正弦型函数y=Asinx+的图像和性质要熟记。（或yAcosx）

（1）振幅|A|，周期T2 ||若fx0A，则xx0为对称轴；若fx00，则x0，0为对称点，反之也

对

（2）五点作图：令x依次为0，，，，2，求出x与y，依点（x，y）作

232图象。

（3）根据图像求解析式。（求A、、值）

(x1)0如图列出，解条件组求、值

(x2)2正切型函数yAtanx，T ||27．在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的X围。

如：cosx∵x23，x，，求x值。 622375513，∴，∴x，∴xx 2663641228．在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

x0时，y2sinx[2,2]，x0时，y0，∴y[2,2]

29．熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换） 平移公式：

word P（（1）点P，则（x，y）'x'，y'）平移至a(h，k)x'xh

y'yk（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0

如：函数y2sin2x象？

1的图像经过怎样的变换才能得到ysinx的图4y2sin2x14横坐标伸长到原来的2倍1y2sin2x124上平移1个单位2sinx141纵坐标缩短到原来的倍2左平移个单位4y2sinx1y2sinxysinx

30．熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如

：

1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan4sin2cos0……称为1的代换。

“k·2，“奇”、“偶”指k”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”

取奇、偶数。

如：cos97tan46sin21 又如：函数yA．正值或负值

sintan，则y的值为

coscot

B．负值

C．非负值

D．正值

sin2sincos1cosy0，∵0

coscos2sin1cossinsin31．熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

令sin22sincos sinsincoscossincoscoscossinsin令cos2cos2sin2word 2cos2112sin2

tantantan2tan，tan2

1tan·tan1tan2cos21cos21cos22，sin 22b aasinbcosa2b2sin，tansincos2sin

4sin3cos2sin

3应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

（1）角的变换：如，（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

2……

22sincos21，tan，求tan2的值。

1cos23sincoscos1由已知得：，∴ 1tan22sin2sin22又tan，

321tantan321 ∴tan2tan1tan·tan2181·32如：已知

32．正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2c2a2余弦定理：abc2bccosAcosA

2bc222（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

word a2RsinAabc2Rb2RsinB 正弦定理：

sinAsinBsinCc2RsinCS1a·bsinC 2∵ABC，∴ABC，∴sinABsinC，sin如：ABC中，2sin（1）求角C

2ABCcos 22ABcos2C1 2c2（2）若ab，求cos2Acos2B的值

222（1）由已知得1cosAB2cosC11

2又ABC，∴2cosCcosC10，∴cosC又0C，∴C221或cosC1（舍） 23

（2）由正弦定理及ab123c得2sin2A2sin2Bsin2Csin2 234331cos2A1cos2B，∴cos2Acos2B

44233．用反三角函数表示角时要注意角的X围。

反正弦：arcsinx，，x11， 22反余弦：arccosx0，，x11， 反正切：arctanx，，xR 2234．不等式的性质有哪些？

（1）ab，c0acbc

c0acbc（2）ab，cdacbd （3）ab0，cd0acbd （4）ab01111，ab0 ababword nanb （5）ab0ab，nn（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa 如：若

2110，则下列结论不正确的是 ab2A．ab 答案：C

B．abb C．|a||b||ab|

2D．

ab2 ba35．利用均值不等式：

abab2aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注意到

2222“a，bR”且“等号成立”时的条件，积（ab）和（ab）其中之一为定值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

a2b2ab2ababa，bR，当且仅当ab时等号成立 22aba2b2c2abbccaa，bR，当且仅当abc时等号成立 ab0，m0，n0，则

如：若x0，23x设y23xbbmana1 aambnb4的最大值为 x442212243，当且仅当成立， 3xxx23时，ymax243 3xy又x0，∴x又如：x2y1，则24的最小值为

x2yx2y221，∴最小值为22 ∵222236．不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明1111…2 22223nword 1111111……1…… 2232n21223n1n11111111……22

223n1nn37．解分式不等式

f(x)aa0的一般步骤是什么？ g(x)（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38．用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x12x230

39．解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论 40．对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 如：解不等式|x3||x1|1

解集为x|x1 241．会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1) 证明：|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)||(xa)(xa1)|(|xa|1)

222|xa||xa1||xa1||x||a|1

又|x||a||xa|1，∴|x||a|1，∴|f(x)f(a)|2|a|22|a|1 （按不等号方向放缩）

42．不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：af(x)恒成立af(x)的最小值

word af(x)恒成立af(x)的最大值 af(x)能成立af(x)的最小值

如：对于一切实数x，若|x3||x2|a恒成立，则a的取值X围是 设u|x3||x2|，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

umin325，∴5a，即a5

或者：|x3||x2||x3x2|5，∴a5 43．等差数列的定义与性质

定义：an1and（d为常数），ana1n1d 等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sna1annna21nn1d 2性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列

（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad （4）若an，bn是等差数列，Sn，Tn为前n项和，则

amS2m1 bmT2m12（5）an为等差数列Snanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二

次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，

an0即：当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。

a0n1当a10，d0，由an0可得Sn达到最小值时的n值。

an10word 如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n 由anan1an233an13，∴an11 又S3a1a3·33a221，∴a21 311na1anna2an1·n318，∴n27

∴Sn22244．等比数列的定义与性质

定义：

an1n1q（q为常数，q0），ana1q an2等比中项：x、G、y成等比数列Gxy，或Gxy na1(q1)前n项和：Sna11qn（要注意！）

(q1)1q性质：an是等比数列

·anap·aq （1）若mnpq，则am（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列 45．由Sn求an时应注意什么？

n1时，a1S1，n2时，anSnSn1

46．你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法 如：数列an，解：n1时，

111a12a2……nan2n5，求an 2221a1215，∴a114① 2111n2时，a12a2……n1an12n15②

222①—②得：

14(n1)1n1a2aa2，∴，∴ n1nnnn22(n2)word ［练习］数列an满足SnSn1注意到an1Sn1Sn，代入得

5an1，a14，求an 3Sn14 Snn又S14，∴Sn是等比数列，Sn4

·4n1 n2时，anSnSn1……3（2）叠乘法

如：数列an中，a13，n1aann，求an n1解：

aaa2a312n11·……n·……，∴n a1a2an123na1n又a13，∴an3 n（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

a3a2f(3)n2时，两边相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)∴ana0f(2)f(3)……f(n) ［练习］数列an中，a11，an3n1a2a1f(2)an1n2，求an

an1n31 2（4）等比型递推公式

ancan1d（c、d为常数，c0，c1，d0）

可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x 令(c1)xd，∴x列

ddd，c为公比的等比数，∴an是首项为a1c1c1c1word ∴anddn1dn1da1·caac，∴ n1c1c1c1c13an1an4，求an ［练习］数列an满足a19，4an83n11

（5）倒数法 如：a11，an12an，求an an2由已知得：

a2111111n，∴ an12an2anan1an2∴1111111n1·n1， 1为等差数列，，公差为，∴an22a12an2 n1∴an47．你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：an是公差为d的等差数列，求

1 aak1kk1n解：由

11111d0

ak·ak1akakddakak1n11111111111∴…… aadaadaaaaaak1kk1k1k1223n1kn1n111 da1an1［练习］ 求和：1111…… 12123123……n1an…………，Sn2

n1（2）错位相减法：

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由

word SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比。

23n1如：Sn12x3x4x……nx①

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn②

①—②1xSn1xx2……xn1nxn

x1时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn1 2（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1［练习］

x2已知f(x)，则f(1)f(2)21x21ff(3)21ff(4)31f 412xx21x1由f(x)f1 2222x1x11x1x1x∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f121314111113 2248．你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

nn1Snp1rp12r……p1nrpnr……等差问题

2△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

word nn11r1r1n1n2p(1r)nx1rx1r……x1rxxx r11r∴xpr1rn1rn1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nm1m2……mn（mi为各类办法中的方法数）

分步计数原理：Nm·1m2……mn（mi为各类办法中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An

mAnnn1n2……nm1mn!mn，规定0!1

nm!（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合的个数记为Cn

mnn1……nm1Ann!0，规定Cn1 CmAmm!m!nm!mnmnmmm1m01nn（4）组合数性质：CnCn，CnCnCn1，CnCn……Cn2

m50．解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩xi89，2，3，4)，且90，，9192，93(i1，满足x1x2x3x4，则这四位同学考试成绩的所有可能情况是

A．24

B．15

C．12

D．10

解析：可分成两类： （1）中间两个分数不相等

word 4有C55（种）

（2）中间两个分数相等

x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种， ∴有10种。∴共有5＋10＝15（种）情况

51．二项式定理

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnab…Cnab…Cnb

rnrr1……n)，Cnr为二项式系数（区别于该二项展开式的通项公式：Tr1Cnab(r0，项的系数）

性质：

（1）对称性：CnCnrnr，，2，……，n r0101nn135024n1（2）系数和：CnCn…Cn2，CnCnCn…CnCnCn…2

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第n2nn1项，2二项式系数为C；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式系数最大，即第

n1n1n12及第1项，其二项式系数为CnCn2

2n1项2如：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为（用数字表示） ∵n＝11，∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第由C11x又

r11r11126或第7项 265(1)r，∴取r5，即第6项系数为负值为最小C11C11426

如：

12x2004a0a1xa2x2……a2004x2004xR，则

a0a1a0a2a0a3……a0a2004（用数字作答）

令x0，得a01；令x1，得a0a2……a20041 ∴原式2003a0a0a1……a20042003112004）

word 52．你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0 （2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A

A B （3）事件的和（并）：AB或A

“A与B至少有一个发生”叫做A与B的和（并）。 B，

（4）事件的积（交）：A·B或A“A与B同时发生”叫做A与B的积 B，

（5）互斥事件（互不相容事件）：A“A与B不能同时发生”叫做A、B互·B，斥。

（6）对立事件（互逆事件）：A立（逆）事件A

A，AA，“A不发生”叫做A发生的对

（7）独立事件：A与B独立，A与B，A与B也相互独立，A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 53．对某一事件概率的求法：

word 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)A包含的等可能结果m

一次试验的等可能结果的总数n（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB （4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率：Pn(k)Cnp1pkknk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

2C42（1）从中任取2件都是次品：P 12C101523C4C610（2）从中任取5件恰有2件次品：P2 5C2110（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品： 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

2213而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”，∴mC3·464

C32·42·64344P3

103125（4）从中依次取5件恰有2件次品：

解析：∵一件一件抽取（有顺序），∴nA，mCAA510242536，∴

223C4A5A610P4 5A1021分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。 54．抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。 55．对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

word

要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差xmaxxmin （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

其中，频率=小长方形的面积=组距×

频率 组距1x1x2……xn n12222样本方差：Sx1xx2x……xnx

n样本平均值：x如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

4C10C52 6C1556．你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。 （2）向量的模——有向线段的长度，|a|

（3）单位向量|a0|1，a0a|a||0|0 （4）零向量0，

长度相等,ab，在此规定下向量可以在平面（或空间）平行（5）相等的向量方向相同移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：

word

OAOBOC,OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一实数对

1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

（9）向量的坐标表示

i，j是一对相互垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得axiyj，

称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标表示。

bx2，y2，设ax1，y1，则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2

ax1，y1x1，y1

若Ax1，y1，Bx2，y2，则ABx2x1，y2y1， |AB|x2x1y2y122，A、B两点距离公式

57．平面向量的数量积

·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）（1）a，为向量a与b的夹

角，0，

word B  b O  a D A

数量积的几何意义：a·b等于a与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积 （2）数量积的运算法则

①a·bb·a

②(ab)ca·cb·c

·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2 ③a注意：数量积不满足结合律(a·b·)ca·(b·c)

bx2，y2 （3）重要性质：设ax1，y1，·b0x·①a⊥ba1x2y·1y20

②a∥ba（b0， ·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|ab唯一确定）

x1y2x2y10

|a·b||a|·|b| ③a|a|xy，222121④cos［练习］

a·b|a|·|b|x1x2y1y2xy·xy21212222 （1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则|abc|

答案：22

1b4，x，当x时，a与b共线且方向相同 （2）若向量ax，，答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|

答案：13

58．线段的定比分点

oword 设P，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在l上1x1PP2，则叫做P分有向线段PP且不同于P1、P2，若存在一实数，使PP112所成的

x比（0，P在线段P，且0，P在线段P1P2外）1P2内，

yx1x2x2中点时，

yy2y12如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3 则ABC重心G的坐标是x1x21，P为线段P1P2y1y21x1x2x3y1y2y3， 33※．你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59．立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面判定性质线⊥线线⊥面面⊥面线面平行的判定：

线∥线线⊥面面∥面a∥b，b面，aa∥面

a b  线面平行的性质：∥面，面，三垂线定理（及逆定理）：

ba∥b

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

word P O a

线面垂直：a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：a⊥面，a面⊥，面⊥面， α a l β l，a，a⊥la⊥

a⊥面，b⊥面a∥b;面⊥a，面⊥a∥

a b 

60．三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0o时，b∥或b

word

0180 （3）二面角：二面角l的平面角，oo

三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。

三类角的求法： ①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。证明：

coscos·cos

A θ O β B C D α

为线面成角，∠AOC=，∠BOC=

word

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B 36①arcsin；②60o；③arcsin

43（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面 P F ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二 面角的大小。 ∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点， D C 作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线…… A E B 61．空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

D C 如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： A B （1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________； （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； D1 C1 （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； A1 B1 （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

62．你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

11，V锥底面积×高 S正棱锥侧C·h'（C—底面周长，h'为斜高）

23word

63．球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR2d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。 （4）S球4R，V球243R 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 A．3 答案：A

64．熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktan

B．4

C．33

D．6

y2y1，xx，y1，12，P1x1x2x12P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

（2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在） 斜截式：ykxb 截距式：

xy1 ab一般式：AxByC0（A、B不同时为零） （3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离d|Ax0By0C|AB22

（4）l1到l2的到角公式：tan65．如何判断两直线平行、垂直？

k2k1kk1| ；l1与l2的夹角公式：tan|21k1k21k1k2A1B2A2B1l1∥l2，k1k2l1∥l2（反之不一定成立）

AC12A2C1word

A1A2B1B20l1⊥l2，k·1k21l1⊥l2

66．怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67．怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”

y b O F1 F2 a x a2x c0相交；0相切；0相离

68．分清圆锥曲线的定义

2a2c|F1F2|椭圆|PF1||PF2|2a，2a2c|F1F2| 第一定义双曲线||PF1||PF2||2a，抛物线|PF||PK|第二定义：e|PF|c |PK|a e>1 e=1 P 0x2y221ab0a2b2c2 2abx2y22221a0，b0cab 22abx2y2x2y269．与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220

abab70．在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式|PP12|xx1k2122124x1x212y1y24y1y2 k71．会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

|PF2|x2y2a2e，|PF2|ex0ex0a,|PF1|ex0a 如：221,ab|PK|cword y P(x0,y0) K F1 O F2 x l y A P2 O F x P1 B

y22pxp0，

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72．有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mxny1与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连线的斜

22率为

2m，则的值为 2nm2 n2答案：

73．如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

由

axx'yy'，bx'2ax，y'2by22，只要证明

A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y'

kAA·AA'⊥l'kl1（2）点A、A'关于直线l对称

AA'中点在l上AA'中点坐标满足l方程74．圆xyr的参数方程为222xrcos（为参数）

yrsinxacosx2y2椭圆221的参数方程为（为参数）

abybsin75．求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论X围。

直接法、定义法、转移法、参数法

76．对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，

word 求出目标函数的最值。